Wiskunde is sexy

Puzzels en wiskunde

Martin Gardner mag gerust een blogger van het eerste uur genoemd worden. Welk onderwerp we in deze blog ook willen toelichten, Gardner heeft er wel iets over geschreven. Vandaag gaat het hier over dissectie-puzzels. Hier zie je een klassiek voorbeeld van Henry Dudeney, uit zijn boek Amusements in Mathematics:

Als je problemen hebt met de oplossing ervan, klik dan even op de figuur.
Van dit soort puzzels zijn er veel te vinden, bijvoorbeeld in Gardner's boeken die zijn columns in de Scientific American bundelen. In Penrose tiles to trapdoor ciphers vind je de volgende opgave. Verdeel deze figuur in twee gelijke delen.

Soms zijn de opgaven doortrapt, zoals hier: op de volgende figuur zie je de verdeling van de gegeven vorm in twee gelijke delen. Kan je diezelfde vorm ook opdelen in drie gelijke stukken?

Er zijn natuurlijk allerlei varianten van dit soort puzzels. Een iets moeilijkere soort is die waar gevraagd wordt een gegeven vorm op te splitsen in stukken waarmee je dan een andere gegeven vorm moet maken. Het bekendste voorbeeld is ongetwijfeld de Haberdasher's puzzle, opnieuw van de hand van Henry Dudeney: verdeel een gelijkzijdige driehoek in vier delen (die deze keer niet allemaal dezelfde vorm moeten hebben) zodat je met de vier stukken een vierkant kan vormen. Hier zie je een animatie:

Het gaat hier bovendien om een Hinged Dissection: door op de juiste plaats scharnieren aan te brengen, kan je zoals je ziet de omvorming mechanisch laten gebeuren. Lees in dit kader zeker de volgende leuke column in de Guardian (waarin verschillende personen/onderwerpen van deze blog samenkomen). Je leest daar o.a. hoe Erik Demaine dit probleem van Dudeney veralgemeend heeft.
Er wordt nogal wat wiskundig onderzoek gedaan naar puzzels, en bij dit soort dissectiepuzzel kan je je de vraag stellen: hoeveel verschillende oplossingen zijn er en hoe bewijs je dat? Het antwoord is niet altijd eenvoudig. Je kan best starten met een niet te moeilijke vraag, bijvoorbeeld de volgende.

Gegeven een vlakke figuur. Kan je deze opdelen in een eindig aantal gelijke (congruente) delen
die dezelfde vorm hebben (maar dan kleiner) als de oorspronkelijke figuur?

De eerste opgave was er zo een (als we tenminste spiegelingen toestaan). Hier zie je er nog een, met de oplossing:

En dit is er een die je eerst zelf kan proberen (voor je doorklikt). Vier delen.

We kunnen al dadelijk een eigenschap afleiden uit deze figuren. We hebben hier een oplossing in 4 stukken, en dat impliceert dat er ook een oplossing is met 16 stukken, en met 64 stukken,... Meer algemeen hebben we een eerste stelling:

is er een oplossing bestaande uit n delen, dan is er ook een met n² stukken.

Dat er niet voor elke beginvorm een oplossing is, dat zal duidelijk worden als je als beginfiguur een cirkel neemt. Voor welke figuren gaat het dan wel? Ook die vraag is te moeilijk om zomaar te beantwoorden. We beperken nog:

welke beginfiguren kunnen opgesplitst worden in 2 gelijke delen die beide dezelfde vorm hebben als het origineel?

Blijkbaar is dit een goede vraag, want in 1999 werd dit probleem opgelost door S. Ngai, V. Sirvent, P. Veerman, en Y. Wang, in hun artikel On 2-reptiles in the plane. Het antwoord is verbazend: er zijn precies zes beginfiguren.

De meest eenvoudige is een rechthoek waarvan de lengte gelijk is aan wortel 2 keer de breedte. Dit is ook een bekend geval: een blad A4-papier is de helft van een blad papier van het formaat A3. De papierformaten A0, A1, A2, enz. zijn precies zo gedefinieerd.

De tweede mogelijkheid zie je op de volgende figuur. Het gaat om een rechthoekige gelijkbenige driehoek.

En dan wordt het interessant. Er zijn dus nu nog 4 andere beginvormen.Waar de eerste twee echt wel eerder gewoon waren, zijn de andere vier wel erg speciaal: elk van de vier heeft een fractale rand. Ze dragen ook sprookjesachtige namen. Hier zie je ze:

Heighway dragon:

Twindragon:

Tame Twindragon:

Levy dragon:

Het bewijs vind je in bovenvermeld artikel, maar het is absoluut niet eenvoudig. Zoals dat ten andere wel vaker gebeurt: eenvoudige problemen hebben niet altijd eenvoudige oplossingen.
Meer over dergelijke lichtere wiskundedingen kan je lezen in het erg mooie boek van Jean-Paul Delahaye.

Jean-Paul Delahaye, Mathématiques pour le plaisir: Un inventaire de curiosités,
Belin - Pour La Science (2010).

Dit boek is een bundeling van columns geschreven voor het tijdschrift Pour La Science. Er zijn vijf delen, met als titels Kunst (met o.a. een hoofdstuk over ambigrammen, en over de kunstenaar Jos Leys), Meetkunde (o.a. over schoenveters en hoe je die toch nog kan gebruiken als er een stuk afbreekt, en over dissecties), Spellen (o.a. over hoe je een Sudoku kan oplossen, en over flexagons), Getallen, en tot slot, Hersenbrekers. Een erg leuk en mooi geïllustreerd boek.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Martin Gardner, de vader van de recreatieve wiskunde, is niet meer

Martin Gardner, de wiskundige puzzelaar bij uitstek, is deze week op 95-jarige leeftijd overleden.

Vorig jaar verschenen er nog twee nieuwe boeken van hem, wat het totaal op zo'n 70 brengt. Voor wie Gardner niet kent, hij is bekend geworden door zijn column Mathematical Games in de Scientific American. Die column (1956-1981) werd gretig gelezen, en heeft de recreatieve wiskunde tot een wetenschap gemaakt. Gardner haalde zelfs wiskundige aprilgrappen uit met zijn lezers: op 1 april 1975 publiceerde hij een landkaart die niet met vier kleuren te kleuren viel. Dit zou dan in tegenspraak zijn met een vermoeden van Francis Guthrie uit 1852 dat je elke landkaart (die aan bepaalde voorwaarden voldoet) kan inkleuren met vier kleuren op zo'n manier dat aangrenzende landen een verschillende kleur krijgen. Dit resultaat staat nu bekend als de Vierkleurenstelling - op twijfelachtige wijze bewezen in 1976). Hier zie je de kaart:

(Als je er op klikt, dan zie je de kleuring door Stan Wagon...).
Nu zijn die columns van Gardner in de Scientific American al lang geleden in boekvorm uitgebracht. En om even te laten zien hoe actueel (en hoe leuk) ze nu nog zijn en ook om hulde te brengen aan Martin Gardner, wil ik het in deze column even hebben over de eerste bundeling, The First Scientific American Book of Puzzles and Games uit 1959, ondertussen al verschillende keren heruitgegeven (met soms ook een andere titel):

Het is leuk de verschillende kaften te bekijken, want ze vertellen je al heel wat over de inhoud van het boek. Er staat bijvoorbeeld een hoofdstuk in over hexaflexagons:

Meer over hexaflexagons lees je hier, en zie je hier. En hier vind je er een om zelf te maken, gebaseerd op de afbeeldingen in deze blog.
Hexaflexagons zijn verwant met kaleidocycles, en zo komen we uit bij Escher. Gardner heeft namelijk ook een rol gespeeld in de Escherrage van een aantal jaren geleden. Gardner bezat zelf een originele Escher, een van mijn persoonlijke favorieten:

Wat vind je nog in dit boek? Iets over de band van Möbius, en over het probleem van de torens van Hanoi. Een hoofdstuk over de polyominoes van Solomon W. Golomb die aan de basis liggen van een aantal spelletjes die nu in de speelgoedwinkels te krijgen zijn. Er is ook een hoofdstuk met als titel Sam Loyd, America's Greatest Puzzlist. Telkens gaat het om korte bijdragen, maar ze doen je zin krijgen in meer.

Je leest er bijvoorbeeld ook het volgende raadsel (dat nu niet meer zo politiek correct is): kan je zes sigaretten zo leggen dat elke sigaret alle anderen raakt? Natuurlijk kan dit, en op de kaft rechtsboven zie je een oplossing met 7 sigaretten, waarover Gardner vertelt dat ze aangebracht werd door 15 lezers van zijn oorspronkelijke column.

Ik wil het tot slot hebben over nog een ander onderwerp: wiskundige goocheltrucs met speelkaarten. Daarover gaat hoofdstuk 10. En hier vind je een versie van een van de oudste en tegelijkertijd leukste hersenbrekers, namelijk het bekende wijn/water mixing probleem:

Je hebt twee gelijke glazen,
een ervan is gevuld met wijn, het andere met water.
Beide glazen zijn precies even vol.
Je brengt een lepel wijn uit het ene glas over naar het andere.
Je mengt, en dan breng je een lepel van het mengsel over naar het glas met wijn.
Zit er nu meer water in het glas met wijn dan wijn in het glas met water, of net omgekeerd?

Dit probleem heeft alle kwaliteiten van een goed raadsel: niet te eenvoudig, en het leidt steeds tot overloze discussies omdat de oplossing tegenintuïtief is. Gardner brengt het aan via een kaarttruc, die werkelijk verbluffend overkomt. Wil je er meer van weten, lees dan het boek.

Na dit eerste boek met columns zullen er nog 14 andere volgen. En dit is slechts een klein deel van het omvangrijke oeuvre van Martin Gardner. In mijn boekenkast nemen zijn boeken alvast een prominente plaats in:

Martin Gardner, Hexaflexagons, Probability Paradoxes, and the Tower of Hanoi,
Cambridge University Press (2008).

Het eerste deel in een vijftiendelige heruitgave van de columns van Martin Gardner in de Scientific American. Nog steeds erg actueel, prettig om te lezen door de grote afwisseling. De oorspronkelijke editie werd grondig aangepakt, de hoofdstukken zijn langer geworden, geactualiseerd, en je vindt er nu telkens ook een uitgebreide bibliografie. Een aanrader.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Stapelgekke wiskunde

Meestal begint het met artisjokken en eindigt het met wc-papier, maar het kan ook omgekeerd. Dit verhaal begint in een supermarkt van Delhaize waar we gisteren deze rol toiletpapier vonden:

Voortaan kunnen we ons dus schoonvegen met vergelijkingen van Maxwell en formules van andere helden. De psychologische gevolgen voor de mensheid in het algemeen, en voor jonge wetenschappers en fysicastudenten in het bijzonder, zijn voorlopig niet te overzien.

Nu, als toiletpapier arrogant uit de hoek komt, voelen we ons uitgedaagd en gaan we in de tegenaanval. Het viel ons namelijk op dat de manier waarop papierrollen doorgaans verpakt worden, meer winkelruimte verspilt dan nodig. Van bovenuit gezien lijkt een pak wc-rollen op identieke cirkels die het vlak opvullen:

Gewoonlijk opteert de fabrikant helaas voor het "vierkantpatroon".
De verpakkingsdichtheid, gedefinieerd als de fractie van het vlak dat door de cirkels ingenomen wordt, kan eenvoudig berekend worden als de oppervlakte van de cirkel gedeeld door de oppervlakte van een omgeschreven vierkant.

In dit geval vinden we dus:

pi/4 ≈ 0,785

Meer dan 21% ruimte blijft dus onbenut.

Nochtans kondigde Axel Thue al in 1890 zijn theorema aan: de meest optimale manier om met cirkels het vlak op te vullen gebeurt volgens een "zeshoekpatroon":

Nu zijn de cirkels ingeschreven in regelmatige zeshoeken die het vlak betegelen. De verpakkingsdichtheid is dan de fractie van de oppervlakte die binnen de zeshoek bedekt wordt door een cirkel:

pi/√(12) ≈ 0,907

We hoeven dus niet meer dan 10% ruimte verspillen!

Merk op dat de middelpunten van de gestapelde cirkels (wc-rollen) op een regelmatig rooster liggen, zowel bij het vierkantpatroon als bij het zeshoekpatroon. Inderdaad, als we de middelpunten van drie elkaar wederzijds rakende cirkels coördinaten (0,0), (1,0) en (0,1) geven, dan liggen de andere middelpunten op (m,n) met m en n gehele getallen (let op, het assenstelsel is enkel rechthoekig in geval van het vierkantpatroon). Carl Friedrich Gauss bewees al eerder dat het zeshoekpatroon de hoogste dichtheid heeft als we ons beperken tot cirkels op een regelmatig rooster, maar het Theorema van Thue is algemener.

Denk in bovenstaande optimale cirkelconfiguratie de cirkels even weg, zodat enkel de zeshoeken overblijven. We herkennen onmiddellijk de structuur van de honingraat.

Wat is er zo speciaal aan zeshoeken dat ze zo geliefd zijn door bijen (en over het hoofd gezien door toiletpapier-verpakkers)?

Om te beginnen zijn er niet zo veel regelmatige veelhoeken waarmee het vlak kan betegeld worden. Gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en regelmatige zeshoeken, en dan hebben we het gehad.

Maar waarom kiezen bijen dan niet voor de driehoek, het vierkant, of misschien een andere niet-veelhoekige vorm?

Dit brengt ons bij het befaamde honingraatvermoeden :

"Van alle mogelijke vlakverdelingen in cellen met gelijke oppervlakte gebruikt de honingraat het minste materiaal (dus, de totale omtrek van de celranden is minimaal als we voor regelmatige zeshoeken kiezen)"

In 1943 gaf Lázló Fejes Tóth hiervoor een bewijs in de veronderstelling dat de cellen convexe veelhoeken zijn, Pappus van Alexandrië wist dit al in het geval de cellen regelmatige veelhoeken zijn, maar in 1999 bewees Thomas C. Hales het vermoeden in volle algemeenheid, vanaf toen de honingraatstelling.

Het voorgaande probleem heeft een boeiende 3D-versie: hoe kunnen we de ruimte in cellen van gelijk volume verdelen zodat de oppervlakte van de celranden geminimaliseerd worden? Dit staat bekend als het probleem van Kelvin. Uit wat ze tot hiertoe geleerd heeft, zou de lezer kunnen concluderen: kijk naar de bijtjes (en vooral niet naar verpakkers van papierrollen).

Inderdaad, eigenlijk bestaat een honingraat uit 3D-cellen:

Meetkundig worden deze honingraatcellen gevormd door een combinatie van een zeshoekig prisma en een "ruitdodecaheder".

Maar L.F. Tóth ontdekte in 1965 dat de natuur in deze kwestie een steekje had laten vallen: de honingraatcel is niet de oplossing van Kelvin's probleem. De boog kan niet altijd gespannen staan, moeten de anders zo ijverige bijen ditmaal gedacht hebben. Lord Kelvin zelf suggereerde een oplossing, gebaseerd op een "gesnoeide octaheder", maar in 1994 spatte dit vermoeden als een zeepbel uit elkaar toen D. Phelan en R. Weaire "schuim" ontdekten met gelijk volume maar kleinere oppervlakte dan het Kelvinschuim.

Op het einde van de zestiende eeuw, het tijdperk van kapers en zeevaarders, stelde Thomas Harriot formules op voor het aantal kanonskogels in een piramidevormige stapel.

Deze manier van bolstapeling kan in heel de ruimte voortgezet worden. Als we een horizontale laag doorsnijden met een vlak door alle middelpunten, dan vinden we onze optimale vlakke cirkelstapeling terug (zeshoekpatroon). De volgende laag is een halve boldiameter verschoven zodat de kogels in de kuiltjes van de vorige laag passen, maar zodanig dat ze precies boven de kogels liggen van twee lagen eronder. Scheikundigen kennen dit als een "kubisch vlakkengecentreerde atoomstructuur", fruitkramers als de voor de hand liggende manier om sinaasappels in een hoop te leggen. Op deze manier wordt 26% ruimte verloren. Meer bepaald, de dichtheid van deze "kanonkogelstapeling" is gelijk aan

pi/√(18) ≈ 0,74

In 1611 beweerde Johannes Kepler dat geen enkele bolstapeling een efficiëntere dichtheid kon hebben dan deze pi/√(18), maar kon het niet bewijzen. Deze bewering staat sinds dan bekend als het vermoeden van Kepler. Er zijn nog enkele andere stapelingen bekend die even opvullend zijn, telkens opgebouwd uit lagen die het zeshoekpatroon volgen. Hieronder zie je een veelgebruikt alternatief (de "hexagonaal compacte stapeling"):

In 1831 bewees Gauss dat pi/√(18) de grootst mogelijke dichtheid is voor een bolstapeling met middelpunten op een regelmatig rooster. Maar dit sloot het bestaan niet uit van onregelmatige compactere stapels. In het vlak zijn de dingen veel eenvoudiger. Rond iedere cirkel kunnen we precies zes identieke cirkels leggen, die de gegeven cirkel allemaal raken. Probeer dit maar uit met euromunten. Wiskundigen zeggen dat het vlak kusgetal zes heeft. Dit verklaart waarom het zeshoekpatroon werkt bij cirkels in het vlak. Het ruimtelijke kusgetal is gelijk aan twaalf; twaalf identieke bollen kunnen een bol met dezelfde straal simultaan raken, en voor een dertiende is er geen plaats (deze observatie gaat terug tot Newton). Maar in tegenstelling tot het vlak is het kussen nu geen starre aangelegenheid: de rakende bollen kunnen nog een beetje bewegen relatief t.o.v. elkaar. Dit leidt tot heel veel mogelijkheden van "lokaal compacte situaties".

In 1998 stuurde Thomas Hales (jawel, de man van het honingraatvermoeden) het bericht de wereld rond dat hij het vermoeden van Kepler bewezen had. Hij had het probleem eerst herleid tot ongeveer 5000 mogelijk kanshebbers, die daarna een voor een uitgesloten werden met behulp van de computer (en zijn student Ferguson). Dit doet onwillekeurig denken aan het bewijs van Appel en Haken voor het vierkleurenprobleem. Het nadeel van dergelijke computerbewijzen is dat ze moeilijk controleerbaar zijn. In 2003 werd het resultaat van T. Hales dan toch gepubliceerd, maar met een kanttekening van de uitgevers waarbij ze de correctheid niet garandeerden. Dit was de aanleiding voor Hales en Ferguson om het Flyspeck project te starten ("Formal Proof for Kepler").

Stapelproblemen kunnen ook statistisch bekeken worden. Als we knikkers willekeurig stapelen dan mogen we een dichtheid van ongeveer 60% verwachten. Na het schudden van de doos knikkers wordt de stapeling lokaal geoptimaliseerd, wat gemiddeld een dichtheid van 65% oplevert. Iedereen heeft dit fenomeen al waargenomen bij een doos met keukenzout. Als je nu geduldig alle zoutkorrels stapelt als kanonkogels dan zou dit een extra winst van 9% geven.

Stanislaw Ulam vermoedde dat iedere hoop van identieke convexe objecten zodanig kan gestapeld worden dat de dichtheid groter is dan die van een stapel kanonkogels. Bij mijn weten is dit vermoeden nog niet bewezen. Even leek het erop dat regelmatige tetraeders nog slechter te stapelen zijn dan bollen. Sinds John Conway in 2006 de race naar compacte tetraederstapels gestart heeft, zijn al een hele reeks verbeteringen gepubliceerd. Het huidige record geeft een dichtheid van 85,63% (ver boven de 74% van een kanonkogelstapel, conform met het vermoeden van Ulam) en staat sinds dit jaar op naam van Chen, Engel en Glotzer.

In ieder geval hebben de wiskundigen nog genoeg problemen op stapel staan. Wat dacht je bijvoorbeeld van de volgende uitdaging, een e-mail die Thomas Hales van een groenteboer kreeg net nadat hij het probleem van Kepler opgelost had: "We need you down here right away. We can stack the oranges, but we're having trouble with the artichokes."?

Verder lezen: (met aandrang aanbevolen)

"Cannonballs and honeycombs" door Thomas Hales.

G. Szpiro, Kepler's Conjecture: How Some of the Greatest Minds in History Helped Solve One of the Oldest Math Problems in the World, John Wiley & Sons, 2003.

De maand april is MAM. MAM staat voor Mathematics Awareness Month.

Elke maand is er wel iets wiskundigs. Nu gaat het niet om 1 april, maar om de volledige maand april. Die is in de USA uitgeroepen tot Mathematics Awareness Month of MAM. Oftewel de maand van het zich bewust zijn van de wiskunde. Hiermee wordt waarschijnlijk niet bedoeld wat Thomas Pynchon een van de figuren in zijn roman Against The Day laat zeggen:

"Seeing that, on the face of it, all mathematics leads, doesn't it, sooner or later, to some kind of human suffering."

Ik citeer de website:

Its goal is to increase public understanding of and appreciation for mathematics.

En daar kunnen we in deze blog wel achter staan. In April 2010 is het thema van de MAM Wiskunde en Sport, wat natuurlijk twee keer precies hetzelfde is.

Ik stel voor dat we dan nu wat wiskunde doen, en wel in de vorm van enkele Sangaku's. Een Sangaku is een plaatje dat een wiskundige stelling voorstelt. Opdracht is je bewust worden om welke stelling het gaat, en ze dan even bewijzen. Sangaku's komen uit Japan. Een beetje wiskunde zal nodig zijn, maar we zullen die beperken tot wat rekenen met breuken en wortels, de stelling van Pythagoras, en de merkwaardige producten (x + y)² = x² + 2xy + y² en (x - y)² = x² - 2xy + y².

We beginnen met deze:

Wat willen we weten? Je kan je dadelijk de vraag stellen: hoe tekenen we dit? Vertrekkend van twee cirkels en een lijn, hoe kunnen we de twee cirkels op die lijn leggen zodat ze elkaar raken? Stel dat de cirkels straal R₁ en R₂ hebben, dan is het voldoende dat we de afstand tussen de twee streepjes op de gegeven rechte kennen. Noem die x. De stelling van Pythagoras geeft dan het antwoord:

We zien inderdaad dat x² + (R₁ - R₂)² = (R₁ + R₂)². Haakjes uitwerken, vereenvoudigen en een wortel nemen resulteert in een eerste stelling:

We zijn nu klaar voor de tweede:

(een Sangaku uit 1824). Er is een extra cirkel die raakt aan de twee andere en aan de rechte. De vraag die logisch volgt is: hoe groot is die cirkel? Stel dat hij als straal R₃ heeft. Bekijk even de volgende figuur:

Uit onze eerste stelling en uit het feit dat x = x₁ + x₂ is, volgt na wat rekenen (merk op dat x₁ = 2 √R₁R₃ en x₂ = 2 √R₂R₃) de tweede stelling:

Hier is nog een derde:

De breuken onder de lijn geven de relatieve positie aan van de streepjes. Enige vraag die we ons hierbij kunnen stellen is: hoe groot zijn de cirkels? Of anders gezegd, bepaal R₁, R₂ en R₃. Uit de figuur kunnen we x, x₁ en x₂halen, en, rekening houdend met het extra gegeven dat b.c - a.d = 1 is het dan opnieuw niet zo moeilijk om in te zien dat we voor de stralen het volgende vinden:

Let op de vorm: in dit schema hoort bij een breuk met noemer N blijkbaar een cirkel met als straal 1/(2N²).
Dit inzicht laat ons toe verder te gaan. Als we starten met twee cirkels bij de breuken a/b = 0/1 en c/d = 1/1, dan kunnen we (zoals hierboven) nieuwe cirkels blijven toevoegen, en dit levert de volgende figuur op:

We zijn nu al ver doorgedrongen in de wiskunde. De cirkels in de vorige figuur worden Ford cirkels genoemd. En voor de liefhebbers, ze kunnen in verband gebracht worden met de Riemann zeta functie: de totale oppervlakte van de getekende cirkels, in de veronderstelling dat we oneindig lang cirkels blijven toevoegen, is precies gelijk aan

De laatste figuur toont wel wat gelijkenis met deze mooie Sangaku uit 1788:

die al een stuk moeilijker is. Veel meer over Sangaku's kan je lezen in het hieronder vermelde boek. We zetten een streep onder deze blogbijdrage met een fractaalachtige figuur die enkel opgebouwd is uit Ford cirkels:

Fukagawa Hidetoshi en Tony Rothman, Sacred Mathematics. Japanese Temple Geometry.
Princeton University Press (2008).

Een boek vol Sangaku's met ook de geschiedenis van de Sangaku. De basis is opnieuw de stelling van Pythagoras. Ook de berekening van benaderingen voor het getal pi vind je er in terug. Je leest er verder het fascinerende reisdagboek van de Japanse negentiende-eeuwse wiskundige Yamaguchi Kanzan die te voet door Japan trok om Sangaku's te verzamelen.
Het boek won de 2008 PROSE Award for Professional and Scholarly Excellence in Mathematics van de associatie van Amerikaanse uitgevers. Het is inderdaad een prachtig boek, en een must voor elke Sangaku-liefhebber!

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Zondag pi-dag, maar vandaag de dag van de vrouw (van Ludolf Van Ceulen)

Allicht wist je dat het op zondag 14 maart π-dag is? Waarom? Omdat in de Amerikaanse schrijfwijze de datum 14 maart genoteerd wordt als 3/14 en 3,14 is een benadering voor het getal π. We hebben hierover vroeger al geschreven, i.v.m. graancirkels en ook hier.

Toevallig is het ook dit jaar precies 400 jaar geleden dat Ludolf Van Ceulen, die vooral bekend (gebleven) is door zijn berekening van het getal π tot op 35 decimalen, stierf. In zijn boek Vanden Circkel heeft hij de berekening van de eerste 20 decimalen beschreven. Je ziet hier een uittreksel uit de tweede editie van 1615:

(Je kan de tekst vergroten door er op te klikken.) Maar speciaal vandaag, op vrouwendag, willen we ook de vrouw van Ludolf, Adriana Symonsz, eren. Zij heeft er uiteindelijk voor gezorgd dat alle 35 decimalen van manlief op zijn grafzerk gebeiteld werden. Een daad van toewijding waarbij wij mannen alleen maar stil en nederig worden. Dit stond op de grafzerk in kwestie:

en uit wat D. Bierens de Haan er over schreef in 1878 blijkt eens te meer hoe groot de rol is die Adriana hierbij gespeeld heeft:

Maar wist je ook ...

... dat op 31 december 2009 een nieuw wereldrecord decimalen-van-π-berekenen is gevestigd door Fabrice Bellard? In totaal werden 2 699 999 990 000 decimalen berekend, op een gewone desktop computer. De berekening is gedaan met wat bekend staat als de Chudnovsky reeks:

met A=13591409, B=545140134, C=640320. Elke volgende term geeft 14 extra decimalen. De berekening gebeurde binair en nam 103 dagen in beslag.

... dat de laatste twee van de 16 decimalen van π die Isaac Newton eigenhandig berekende in 1665-1666 fout waren? Newton gebruikte de volgende integraal:

Hij berekende een benadering van deze integraal met zijn binomiaalreeks.
Newton zei achteraf zelf: "I am ashamed to tell you to how many figures I carried these computations, having no other business at the time".

... dat de getallen van de rij van Fibonacci gebruikt kunnen worden om een benadering van π te berekenen?
Als we de getallen van deze rij van Fibonacci voorstellen door F_n : F₀=1, F₁=1, F₂=2, F₃=3 en F_n+2=F_n+1+F_n, dan kunnen we eenvoudig bewijzen dat

Dit is een gevolg van de volgende eigenschap:

... dat de volgende prachtige formule in de notaboekjes van Ramanujan te vinden is?

... dat Andriy Tychonovych Slyusarchuk, een Oekraïense neurochirurg en professor, in juni 2009 beweerde dat hij de nieuwe wereldrecordhouder decimalen-van-π-uit-het-hoofd-kennen was, omdat hij 30 miljoen decimalen gememoriseerd had. Die 30 miljoen decimalen stonden in 20 boeken. Hoewel hij niet al die decimalen heeft opgezegd, is zijn bewering toch geverifieerd door een jury. Deze jury koos willekeurige passages uit de 20 boeken, en Slyusarchuk kon inderdaad de decimalen op de gekozen pagina's reciteren.

... dat in de Disney-film High School Musical, die zich afspeelt in een school, in een bepaalde scene een reeks voor π van de hand van Ramanujan te zien is op het schoolbord? Een van de leerlingen vraagt aan de lerares: "Moet in die tweede vergelijking niet staan zestien gedeeld door pi?". Waarop de lerares haar rekentoestel bovenhaalt, begint te rekenen, en de fout verbetert.

... dat de studie van het maken en gebruiken van mnemotechnische middelen om de decimalen van π te memoriseren, een speciale naam heeft? We noemen het de pifilologie. (Let op het mooie samengaan van π en het getal van de gulden snede φ in deze naam;-) In de pifilologie zijn pidichten (in het Engels piems) erg belangrijk. Pidichten zijn gedichten die het getal π op de volgende manier voorstellen: het aantal letters in elk woord geeft een decimaal aan van π. Hier is bijvoorbeeld een Engels pidicht:

How I wish I could enumerate pi easily, since all these bullshit
mnemonics prevent recalling any of pi's sequence more simply.

... dat er veel pandigitale benaderingen zijn voor π? Pandigitaal betekent dat elk cijfer van 1 tot 9 er precies 1 keer in voorkomt. Hier is een voorbeeld. Het getal

geeft een benadering voor π die tot op 9 cijfers na de komma correct is. (Merk op dat er een vele betere pandigitale benadering bestaat voor het getal e:

is tot op 18457734525360901453873570 decimalen correct.)

... dat in de 21ste aflevering ("Marge in de boeien") van het vierde seizoen van de reeks The Simpsons de eigenaar van de Springfieldse Kwik-E-Mart Apu Nahasapeemapetilon in de rechtbank zegt dat hij in staat is 40000 decimalen van het getal π op te zeggen? Apu merkt verder terecht op dat het 40000ste cijfer gelijk is aan 1. Blijkbaar hebben de schrijvers van deze aflevering deze scene voorbereid door aan de NASA te vragen wat de 40000ste decimaal van π is. NASA heeft hen dan een uitprint gestuurd van de eerste 40000 cijfers.

... dat het naaldenexperiment van Buffon niet de enige vreemde methode is om een benadering te vinden voor het getal π? Botsingen tellen in een eenvoudig dynamisch systeem met twee bollen kan ook. Het verschil met Buffon is dat deze methode volledig deterministisch is, en dat je er π mee kan berekenen tot op gelijk welke nauwkeurigheid. Hier zie je de opstelling:

Er wordt verondersteld dat de muur absoluut elastisch is. Laat de grote bol rollen in de richting van de kleine bol. Als de massa van de grote bol 100^N keer zo groot is als de massa van de kleine bol, dan is het aantal botsingen in dit systeem een getal met N+1 cijfers. De eerste N cijfers van dit getal zijn precies de eerste N decimalen van het getal π (beginnend bij de 3).

... dat het volgende extra korte C programma het getal π berekent tot op 15000 decimalen?

a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;
main(){for(;b=c-=14;h=printf("%04d",
e+d/f))for(e=d%=f;g=-b*2;d/=g)
d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%-g;}

... dat e^{π
√ 163} en e^π-π twee bekende voorbeelden zijn van getallen die bijna geheel zijn (almost integer)?

(http://www.xkcd.com)

Hier vind je deze informatie in flyer-vorm, ter lering en vermaak van vrienden en/of collega's.

Logische valkuilen en Logicomix

Wiskunde heeft nu eenmaal een niet al te beste naam bij veel mensen, en dit om allerlei redenen. Wat men zeker niet kan zeggen van wiskunde, is dat het iets saais is. Bewijs daarvan zijn de talloze verrassende dingen die je als wiskundige tegenkomt. Ik bedoel met verrassend bijvoorbeeld tegenintuïtief, of ook paradoxaal klinkend. Een typevoorbeeld hiervan is de zogenaamde paradox van Banach-Tarski uit 1924. Het gaat hier om een stelling die paradoxaal klinkt, maar toch wel degelijk bewezen is (weliswaar gebruik makend van een axioma, maar dat gebeurt wel vaker in de wiskunde). De stelling zegt bijvoorbeeld dat je een massieve bol in 5 stukken kan verdelen en die aan elkaar kan passen zodat je twee bollen hebt die net zo groot en net zo massief zijn als de oorspronkelijke bol.

Zie ook de boekbespreking enige tijd geleden in deze blog.

Iets anders nu. Bekijk even de volgende figuur.

In de figuur wordt verondersteld dat de gekleurde gebroken lijnen trapvormig van het ene hoekpunt naar het andere lopen. Stel verder dat het omgeschreven vierkant zijde 1 heeft. Het is dan eenvoudig in te zien dat de totale lengte van zo'n gekleurde lijn gelijk is aan de som van twee zijden van het vierkant, dus gelijk is aan 2. Dat geldt zowel voor de rode, als voor de groene en voor de blauwe lijn. Dus de blauwe lijn heeft ook totale lengte 2. Als we zo steeds fijner en fijner werken, dan zal het resultaat steeds meer gaan lijken op de diagonaal van het vierkant. Hoe fijn we ook werken, de lengte van zo'n 'traplijn' zal steeds 2 zijn. Maar... de lengte van de diagonaal van het vierkant is wel gelijk aan √2 . Hoe zit dat dan?
Dit is de bekende Diagonaalparadox (niet te verwarren met de diagonaalparadox van Cantor).

Nummer 3. In de volgende figuur veronderstellen we dat het rode vlakdeel naar rechts verder loopt tot op oneindig.

We kunnen wiskundig bewijzen (met een integraal) dat de totale oppervlakte van het rode vlakdeel oneindig groot is.
We wentelen nu dit vlakdeel om zijn symmetrie-as. Het resultaat ziet er ongeveer zo uit:

Van deze 3d-figuur kunnen we de inhoud berekenen (opnieuw met een integraal). Blijkt dat deze inhoud eindig groot is (meer bepaald pi m³ als we de eenheden in m uitdrukken).
Kan dit wel? De resulterende figuur wordt de Hoorn van Gabriel (of de Trompet van Torricelli) genoemd. Zie ook de paradox van de schilder die verwant is met dit probleem:

Paradox van de schilder

(Je kan bewijzen dat de manteloppervlakte van de
hoorn van Gabriel oneindig groot is.
De inhoud van de hoorn is gelijk aan pi.)

Een schilder wil de binnenkant van de hoorn
geel schilderen.
Omdat de oppervlakte die geschilderd moet worden
oneindig groot is, ziet de schilder het niet zitten.
De schildersgast komt met een goed idee:
omdat de inhoud van de hoorn eindig groot is,
kunnen we hem volledig vullen met verf.
Dan is de binnenkant ineens mee geschilderd.

Hoe zit dit eigenlijk?

Een overzicht geven van alle bekende paradoxen is onbegonnen werk. Daarom volgt hier een bloemlezing.
De beroemdste zijn natuurlijk die van Zeno (490-430) (bijvoorbeeld die van Achilles en de schildpad, maar er zijn er meer).

Achilles en de schildpad

Achilles en de schildpad
houden een loopwedstrijd.

De schildpad krijgt hierbij een voorsprong.
Achilles zal de schildpad echter nooit
kunnen inhalen want telkens
als hij de afstand tot de schildpad
heeft overbrugd, is de schildpad
weer een eindje verder geraakt.

Ook de paradox van de kapper is algemeen bekend:

Paradox van de kapper

De kapper van het dorp scheert alle mannen
die zichzelf niet scheren.
Vraag is, scheert hij zichzelf?

Als het antwoord op deze vraag ja is,
dan scheert hij zichzelf niet: een contradictie.

Is het antwoord neen,
dan moet hij zichzelf scheren: opnieuw een contradictie.

En je kent waarschijnlijk wel de paradox van de leugenaar (die aan de basis ligt van de onvolledigheidsstelling van Kurt Gödel), hier te zien in een variant:

Paradox van de leugenaar

En dan heb je bijvoorbeeld ook nog de paradox van Berry, de paradox van de onverwachte toets,...
Bij de paradox van de kapper en de leugenaar speelt het begrip zelfreferentie een grote rol. Een beroemd voorbeeld van zelfreferentie vinden we in het schilderij van René Magritte Ceci n'est pas une pipe. Ook in de Prentengalerij van Escher, in de vorm van het Droste-effect.

Een leuk voorbeeld vinden we ook in het boek Finite Dimensional Vector Spaces van Paul Halmos.
Daar staat op p. 198 in de index: Hochschild, G.P. ... 198.

Zelfreferentie leidt vaak tot logische problemen. zoals bijvoorbeeld in de klassenparadox van Bertrand Russell (1872-1970). We kunnen deze als volgt kaderen.

De bibliothecaris in de bibliotheek van Babel vindt dat je niet genoeg kan classificeren. Hij heeft dan ook in de loop der jaren allerlei indexen gemaakt in boekvorm met de bedoeling een boek gemakkelijk te kunnen terugvinden in de reusachtige bibliotheek. Zo heeft hij een boek waarin alle boeken (en hun plaats in de bib) zijn opgenomen die een rode omslag hebben. Niet toevallig heeft deze index zelf ook een rode kaft.
Hij heeft bijvoorbeeld ook een boek gemaakt dat alle boeken van meer dan 3000 pagina's oplijst. Dit boek is niet al te dik.
Nu vindt de bibliothecaris dat hij ook een index moet maken met daarin alle boeken die zichzelf vermelden zoals het rode boek over de rode boeken. Noem deze index Z.
En dan ook een index met boeken die zichzelf niet vermelden (zoals het >3000 p. boek). Noem deze NZ.
Deze twee boeken bevatten samen alle boeken van de bibliotheek van Babel.

De klassenparadox van Russell

In welk van deze beide boeken
moet hij het boek NZ vermelden?

Is het antwoord op deze vraag NZ,
dan staat het boek NZ in NZ
en hoort het te staan in Z.

Dus moet het staan in boek Z,
maar in Z staan enkel de boeken
die zichzelf vermelden: een contradictie.

Russell was filosoof en wiskundige. Hij vond deze paradox in 1901, toen hij al bezig was aan zijn magnum opus, de Principia Mathematica. Deze paradox deed de wiskunde, meer bepaald de verzamelingenleer, op haar grondvesten beven. Meer over deze periode kan je lezen in het erg leuke stripverhaal Logicomix.

Apostolos Doxiadis, Christos H. Papadimitriou, Alecos Papadatos, Annie Di Donna, Logicomix. Een epische zoektocht naar de waarheid.
De Vliegende Hollander (2009) 345 pagina's.

Dit stripverhaal over de beginselen van de wiskunde en de vragen en problemen waarmee de wiskundigen van het begin van de twintigste eeuw geconfronteerd werden, kent een enorm succes. De figuur van Bertrand Russell staat centraal.

De Engelse versie van dit boek komt voor in verschillende lijstjes bij de 10 beste boeken van 2009. Een aanrader.
Apostolos Doxiadis is bij ons bekend van zijn roman Oom Petros en het vermoeden van Goldbach.

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Θ

Wiskunde en sneeuw

Deze combinatie doet me dadelijk denken aan het boek Frøken Smillas fornemmelse for sne (Smilla's gevoel voor sneeuw) uit 1992 van de Deense auteur Peter Høeg waarin de hoofdrolspeelster Smilla op een bepaald ogenblik zegt ”Het valt me makkelijker me voor de wiskunde te interesseren dan van mijn medemensen te houden”. (Nu ik terugdenk aan dit boek, weet ik plots weer waar ik de sfeer uit het boek De eenzaamheid van de priemgetallen van Paolo Giordano van ken.)

In deze uitspraak worden twee zaken met elkaar in verband gebracht waarvan ik liever heb dat ze niet samen genoemd worden. Het staat er wel niet letterlijk, maar het beeld van de mensenschuwe wiskundige is dichtbij.

Mensenschuw en sneeuwpret liggen dan gelukkig weer mijlenver uit elkaar. Stan Wagon, een wiskundige (en o.a. auteur van het boek The Banach-Tarski Paradox), en een aantal collega's laten de sneeuw in elk geval niet liggen. Elk jaar doen ze mee aan een internationale sneeuwsculptuurwedstrijd in Breckenridge (Colorado). Ze maken dan samen een wiskundige sneeuwsculptuur (en halen er nog prijzen mee binnen ook). Zoals de bovenstaande uit 2003, met de naam Whirled White Web (pdf, 2.7 MB). Zilveren medaille.

In het jaar 2000 maakten ze een Enneper-oppervlak, een oppervlak genoemd naar de Duitse wiskundige Alfred Enneper (1830-1885) (waar waarschijnlijk niemand die dit leest al ooit van gehoord heeft). Hier zie je wat meer ervan: in volgorde Enneper zelf, een stelsel parametervergelijkingen van het bewuste oppervlak en de sneeuwsculptuur van Team Minnesota. Zilveren medaille.

Het gaat om een zogenaamd minimaaloppervlak. Minimaaloppervlakken kom je (behalve als sneeuwsculpturen) in de natuur wel vaker tegen, bijvoorbeeld bij zeepbellen. Ook in de kunst duiken ze op. Het oppervlak van Enneper deed me denken aan het kunstwerk dat ik recent nog gezien heb, naar aanleiding van het bezoek van Erik Demaine aan België. Hij neemt een ringvormig stuk karton en maakt daarin (met veel geduld) cirkelvormige plooien. Als hij dan de zwaartekracht haar werk laat doen na het plooien, dan is bijvoorbeeld dit het resultaat:

Mensenschuw kan je wiskundige Demaine zeker niet noemen, als je kijkt naar zijn indrukwekkende lijst co-auteurs.

Lees het artikel 'De Mozarts van de wskunde' (pdf) over Erik en Martin Demaine (Eos-magazine, februari 2009, door wiskundige Dirk Huylebrouck)

De wraak van Pythagoras

Zouden er in Vlaanderen mensen rondlopen die niet weten wat de stelling van Pythagoras is? Misschien wel, maar waarschijnlijk hebben die dan al wel ooit gehóórd van die stelling. Bij de BW's bekleedt Pythagoras ongetwijfeld een ereplaats.
Of de benaming hypotenusa nog lang gebezigd zal worden, dat is een andere vraag. De stelling is in elk geval zo bekend dat ze kan gebruikt worden in cartoons, of moppen. En er is (was?) ook een strip die Pythagoras als held heeft. Ook bekend is natuurlijk het gelijknamige wiskundetijdschrift voor jongeren.

Pythagoras van Samos werd rond 580 voor Christus geboren op het gelijknamige eiland.

Naast zijn stelling is vooral de Pythagoreïsche school bekend. Pythagoras stichtte zijn school, die wel wat weg heeft van een sekte, rond 530 v. C. in Crotone, een stad gelegen in de hiel van Italië. De Pythagoreeërs geloofden in de onsterfelijkheid van de ziel, en in reïncarnatie. Om die reden aten ze ook geen vlees.
Maar terug naar de stelling en het bewijs ervan:

Er zijn heel veel bewijzen te vinden van deze stelling. Bruno Ernst, bekend door zijn boeken over M.C. Escher, schreef er dit over. De leukste vind ik persoonlijk die waar weinig uitleg bijhoort. Ik geef er hier enkele. Een van de bekendste:

Of dit veel minder bekende:

Er is er ook een leuke in de categorie Hinged Dissections.

Paul J. Nahin, vooral bekend van zijn schitterende boek An Imaginary Tale (over de complexe getallen), geeft in zijn laatste boek een bewijs "vanuit de fysica". Het vertrekt van de volgende figuren:

Nahin merkt op dat het duidelijk is dat de oppervlakte van de driehoek links volledig bepaald is door de waarden van A en φ. Omdat de eenheden die bij een oppervlakte horen het kwadraat zijn van de eenheden voor een lengte, zal die afhankelijkheid zo moeten zijn: oppervlakte = A² maal (uitdrukking die afhangt van de hoek φ). Uit de tweede figuur halen we dan dat de oppervlakte van de blauwe en de rode rechthoek gelijk zijn aan respectievelijk B² maal (uitdrukking die afhangt van de hoek φ) en C² maal (uitdrukking die afhangt van de hoek φ). Uit de gelijkheid van de oppervlakte links en rechts en de gelijkheid van de hoeken in kwestie, volgt dan de stelling.

Als je geïnteresseerd bent in de geschiedenis van de stelling van Pythagoras, dan is het boek van Eli Maor (zie verder), die we ook kennen van Trigonometric Delights, en e: The Story of a Number, een aanrader. Zoals we gewoon zijn van Maor is zijn boek zeer volledig. Je vindt er dus ook een aantal bewijzen van de stelling, en er worden heel wat verbanden gelegd met andere dingen, zoals de relativiteitstheorie en de laatste stelling van Fermat. Wat ik er niet in terugvind, dat is het recente inzicht dat er al een bewijs van de stelling te vinden is in de Indische geschriften bekend als de Apastamba Sulba Sutra uit 600 v.C. Er is dan ook een theorie in omloop die zegt dat Pythagoras het bewijs gekopieerd heeft tijdens een reis door India.

Heel recent verscheen ook een boek voor de liefhebbers van het genre waar Dan Brown bekend voor is. Wat bekendheid betreft moeten Pythagoras en zijn stelling niet onderdoen voor Da Vinci en de gulden snede. En omdat er toch nog steeds een waas van mysterie hangt rond Pythagoras, is hij de ideale figuur om een boek rond te schrijven.
Titel: De Wraak van Pythagoras, auteur: Arturo Sangalli, een wiskundige die ook wetenschapsjournalist is. Een aanrader waar ik niet teveel over ga vertellen.

Maar ... een exemplaar van het boek in kwestie is te winnen.

Wat moet je doen om kans te maken? Schrijf in een commentaar op deze blog jouw antwoord neer op de vraag: "Waarom hebben wiskundigen een beter gevoel voor humor?", of op de vraag "Wat is uw beste herinnering aan Pythagoras?".

(Het boek is ondertussen verloot tussen de eerste inzendingen.)

Eli Maor, The Pythagorean Theorem, A 4.000-Year History. Princeton University Press (2007) 259 pagina's.

Volgens Eli Maor is de stelling van Pythagoras de meest gebruikte stelling uit de wiskunde. In dit boek vertelt hij er ons alles over. Het boek is zeer goed geschreven en heel mooi geïllustreerd.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Arturo Sangalli, Pythagoras' Revenge, A Mathematical Mystery. Princeton University Press (2009) 183 pagina's.

Zoals al blijkt uit de ondertitel: wiskunde en mysterie worden in elkaar verweven in dit erg vlot lezende boek.
Een aanrader!

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Ο Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Paul J. Nahin, Mrs. Perkins Electric Quilt. Princeton University Press (2009) 391 pagina's.

Dit boek gaat over de interactie tussen fysica en wiskunde. Een aantal fysische verschijnselen zoals de zwaartekracht binnen in een bol, en de beweging van een kogel (met en zonder wrijving) worden wiskundig volledig uitgebeend. Nahin slaagt erin ons al vanaf het begin te verbazen door de limietdefinitie van de exponentiële functie af te leiden uit de bewegingswetten van Newton. En hij gaat zeer grondig te werk in zijn afleidingen. Dat maakt het boek eerder moeilijk, er komen ook Fourierreeksen en Monte Carlo methodes in voor. Het boek is bedoeld voor mensen die een wetenschappelijke richting gevolgd hebben in het hoger onderwijs.

De score onderaan is in dit geval heel persoonlijk. Ik vond het te moeilijk voor deze blog.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο

Gelden in Bulgarije andere toevalswetten?

Vorige week donderdag veroorzaakte een klein artikeltje in de krant een glimlach op het gezicht van menig wiskundige. De lottotrekking van 10/09 in Bulgarije gaf als uitslag

4, 15, 23, 24, 35 en 42

Op zich niets speciaals, ware het niet dat bij de trekking hiervoor, op 06/09, juist dezelfde balletjes uit de draaiende trommel vielen (weliswaar niet in dezelfde volgorde).

Grote opschudding bij de Bulgaren, met als gevolg dat experten nu onderzoeken of het toeval niet een beetje gemanipuleerd werd. De organisatie van de Bulgaarse lotto is verontwaardigd over deze verontwaardiging en sluit formeel iedere vorm van fraude uit.

Wat is de kans dat deze week bij de lotto dezelfde cijfers worden getrokken als vorige week? Iedere wiskundige zal hierop antwoorden dat deze kans gelijk is aan 1 op 5245786 (omdat er juist zoveel combinaties zijn van 6 getallen uit 42). Behalve dan de Bulgaarse wiskundige Konstantinov volgens het artikel in De Morgen, maar deze arme kerel werd allicht verkeerd geciteerd door de krant (dan haal je als wiskundige eens de internationale pers). De kans dat zoiets gebeurt is inderdaad microscopisch klein, maar het is even onwaarschijnlijk dat deze week de combinatie die u ingevuld hebt uit de bus komt. Lottoballetjes hebben immers geen geheugen, en door het systeem van de draaiende trommel garandeert de organisatie dat iedere keuze van zes getallen evenveel kans heeft. Ook deze van vorige week.

Surf tijdens uw lunchpauze eens naar de website van Lotto. Daar kan je statistieken opvragen over de frequentie van de getrokken getallen van 1978 tot nu. Het bijbelse geluksgetal 7 blijkt het meest populair, en is bijna 28% meer uit de trommel gevallen dan het meest zeldzame getal, namelijk 41, toevallig een Sophie-Germainpriemgetal (lees onze bijdrage over dit wiskundemeisje). Duidt dit dan toch op een manipulatie van het toeval? Zouden na vele jaren van lottotrekkingen niet alle frequenties ongeveer gelijk moeten zijn? Belangrijk in deze bewering is natuurlijk wat men bedoelt met "vele jaren" en "ongeveer gelijk". De beroemde wet van de grote getallen (of beter: grote aantallen) stelt wel dat een uniforme verdeling voor de getrokken getallen van 1 tot 42 met de tijd waarschijnlijker wordt, maar ze sluit helemaal niet uit dat af en toe de grilligheden van het lot roet in het uniforme eten gooien. Elke wiskundeleraar die met kanssimulaties experimenteert in de klas, maakt soms tot zijn grote frustratie mee dat het frequentiehistogram na 500 dobbelsteenworpen beter de uniforme verdeling benaderde dan na 1000 worpen.

Nog een toepassing van de wet van de grote getallen:

De menselijke intuïtie neigt naar een overdreven patroonherkenning in de willekeur van het toeval. Een kanstheoreticus maakt gemakkelijk het onderscheid tussen een rij van 200 echte muntstuktossen en een door de mens bedachte rij. De Psychology of Randomness is in dit verband een leuk artikel. Nee, er is niets aan de hand met onze lotto, en er is niets speciaal met 7 of 41 (toch niet in deze context).

Dus, lach je collega nooit uit als hij op zijn lottoformulier de winnende combinatie van vorige week invult. Hij getuigt dan enkel van een gezond kanstheoretisch inzicht. Dit kan ook gezegd worden van de 18 Bulgaarse winnaars bij de bewuste trekking van 10/09. Achttien! Dit is pas een statistische uitschieter (in Bulgarije zijn er zeker niet meer deelnemers dan in België of Nederland). De verklaring ligt natuurlijk in de menselijke psychologie, en niet in de kanstheorie. Balletjes hebben dan wel geen geheugen, maar mensen wel. En dus waren 4, 15, 23, 24, 35 en 42 niet zo maar willekeurige getallen. De dag dat 1, 2, 3, 4, 5 en 6 uit de trommel vallen, voorspel ik ook verbazend veel winnaars, omdat deze combinatie voor ons mensen een speciaal patroon vormt (en dus is de kans groter dat meer mensen hiervoor kiezen).

Besluit: Wiskundigen kunnen je niet helpen bij het invullen van je lottoformulier, ze kunnen je alleen vertellen hoe klein je winstkans is (bekijk deze cartoon). Maar dat was ze ook voor de winnaar van deze week.
(RP)

Hoe eenzaam zijn die priemgetallen eigenlijk?

Dit vroegen velen zich onlangs af na het lezen van de bestseller “De eenzaamheid van de priemgetallen”, of gewoon nadat ze de titel hoorden. We zijn intussen bekomen van de steek van jaloersheid (waarom bedenken wij niet zulke titels?) en gaan laaghartig in de tegenaanval. Want, beste mensen, eigenlijk hebben de priemgetallen niet zo te klagen over eenzaamheid. Priemtweelingen, priemneven en zelfs de zogenaamde sexy priemgetallen hebben het best gezellig samen. Nee, dan leiden bijvoorbeeld de Mersenne-priemgetallen of de Andersen-getallen een veel schraler bestaan, om nog maar te zwijgen over sociale gevallen zoals de priemvampiergetallen.

Toegegeven, naarmate we oprukken in de rij der getallen worden de priemgetallen steeds zeldzamer. Inderdaad, uit de priemgetallenstelling volgt dat voor een (groot) priemgetal x de afstand tot het volgende priemgetal gemiddeld ln(x) bedraagt (lees onze bijdrage op deze blog over Het Bewijzenboek). Hierbij is ln(x) het natuurlijke logaritme (staat op het meest eenvoudige rekentoestel). Maar dit betekent ook dat voor een priemgetal met bijvoorbeeld 5 cijfers het verschil tot het dichtstbijzijnde priemgetal gemiddeld 13 bedraagt. Dit is geen onoverbrugbare kloof als je het ons vraagt, dus wat die zogenaamde eenzaamheid betreft, zal het wel best meevallen. En dan zwijgen we nog discreet over promiscue voorvallen zoals priemtweelingen (het verschil is slechts 2, bijvoorbeeld 11 en 13), priemneven (het verschil is slechts 4, bijvoorbeeld 43 en 47) of sexy priemgetallen (het verschil is slechts 6, bijvoorbeeld 97 en 103).

Anderzijds kan je wel pech hebben als priemgetal, want de afstand tot het volgende priemgetal kan soms ver boven het gemiddelde liggen. Bijvoorbeeld, na het priemgetal 1425172824437699411 gaapt een gat van lengte 1476 (tot het volgende priemgetal), meer dan 35 keer de verwachte opening ln(1425172824437699411). Dit priemgat is dit jaar gespot door Tomás Oliveira e Silva. De zoektocht naar grote priemgaten heeft al een hele reeks records opgeleverd. Verbaas u hierover op de website van Jens Andersen. We weten wel dat willekeurig grote priemgaten kunnen optreden, maar het blijkt niet eenvoudig om effectief een priemgat te vinden en te verifiëren dat het er een is (alle getallen in het gat moeten ontbindbaar zijn en de eindpunten niet). Toen J. Andersen en T. Alm in 2004 een priemgat van lengte 337446 ontdekten, was dit dankzij de nodige slimme wiskundige software. Dat sommige wiskundigen hun dagen vullen met het opsporen van priemgaten, zoals sommige astronomen zwarte gaten in het heelal zoeken, lijkt op het eerste zicht de wereldvreemdheid van het vak te bevestigen. Op het tweede zicht ook. Al kan het tegenover de belastingbetaler verdedigd worden met het excuus dat dit soort onderzoek bijdraagt tot het inzicht in hoe priemgetallen zich verspreiden tussen de andere getallen, en priemgetallen zijn per slot van rekening de bouwstenen van de getaltheorie. Hetzelfde argument legt uit waarom het zo belangrijk is dat eindelijk eens iemand het Vermoeden van Riemann bewijst.

Maar we wijken af, want we hadden het eigenlijk over eenzame priemgetallen. De omkeerbare priemgetallen zijn redelijk dun gezaaid. Zo is 13 bijvoorbeeld een omkeerbaar priemgetal, want 31 is ook een priemgetal. Met hoeveel ze zijn, eventueel oneindig veel, kan voorlopig niemand zeggen. Als een priemgetal een palindroom is, dan is het natuurlijk vanzelf omkeerbaar, bijvoorbeeld 10301. Het grootste palindroompriemgetal dat we vandaag kennen, is 10¹⁸⁰⁰⁰⁴ + 248797842 × 10⁸⁹⁹⁹⁸ + 1 (H. Dubner, 2007). Het grootste omkeerbaar priemgetal dat geen palindroom is (in het Engels een “emirp”) staat op naam van Jens Andersen (2007): 10¹⁰⁰⁰⁶+941992101×10⁴⁹⁹⁹+1. Een leuk weetje, handig als het gesprek aan tafel stilvalt, is dat 37 het 12^de priemgetal is, terwijl zijn omgekeerde (73) het 21^ste priemgetal is, en merk op dat 21 het omgekeerde van 12 is!

Duidelijker(?): als de functie P(n) het n-de priemgetal geeft, dan is n=12 een oplossing voor de vergelijking:

P(omgekeerde(n)) = omgekeerde(P(n))

Sinds het artikel van J.L. Pe wordt n=12 een “palin point” voor de functie P genoemd (bij het googlen wel de optie –sarah meegeven). Probeer zelf ook eens een palinpunt voor P(n) te vinden (dit is een geschikt moment om het gezelschap te verlaten en de schotel in de oven te zetten). De enige voorbeelden die een normaal mens kan vinden zijn de voor de hand liggende eerste vijf priemgetallen. Het is opnieuw J. Andersen die als eerste een palinpunt voor P(n) ontdekte groter dan 12: n = 8114118 en P(n)=143787341 (door een gelukkig toeval zijn zowel n als P(n) palindromen). Een meer haalbare puzzel is het zoeken naar palinpunten voor de kwadraatfunctie f(n) = n² (bijvoorbeeld n=13, want 13²=169 en 31²=961).

Als de vorige anekdote uw gasten niet boeit en als hun kaken dreigen te verrekken tijdens het geeuwen, is het misschien tijd om het probleem van 196 op tafel te gooien. Dit verhaal gaat over algemene palindroomgetallen, niet noodzakelijk priem. Bijvoorbeeld 303, toevallig het aantal palindromen in de Dikke Van Dale (dit laatste kan je met uitgestreken gezicht beweren, want wie gaat zoiets controleren?). Als een getal geen palindroom is, bijvoorbeeld 42, dan tel je hierbij het omgekeerde op, 42+24, en het is goed mogelijk dat je dan wel een palindroom krijgt, zoals hier 66. Maar soms heb je pech, maar dan herhaal je de procedure:

95 + 59 = 154

154 + 451 = 605

605 + 506 = 1111

En uiteindelijk kom je terecht bij een palindroomgetal! Test dit maar zelf uit met enkele willekeurige getallen. Maar tot hiertoe heeft nog niemand kunnen bewijzen dat dit werkelijk bij ieder getal lukt (als je de procedure maar lang genoeg volhoudt). Het is zelfs zo dat sommige getallen zich hardnekkig verzetten om een palindroom te worden. Het kleinste probleemgeval is 196. Wat is er mis met 196? Hele generaties computers hebben steeds het omgekeerde opgeteld bij de uitkomst, startend met 196, maar tot nu toe werd geen palindroom bekomen. Algemeen wordt vermoed dat dit nooit zal gebeuren, maar een wiskundige bewijs is nog niet gevonden.

U merkt hoe moeilijk het is om ons te beheersen en bij de les te blijven. We hadden het dus over eenzame priemgetallen. Een Mersenne-priemgetal M is een priemgetal van de vorm 2ⁿ – 1 (bijvoorbeeld 7 = 2³-1). Het is noodzakelijk dat de macht n zelf priem is, want anders is M zeker ontbindbaar. Helaas is dit niet voldoende: 2¹¹−1 = 2047 = 23×89 is geen priemgetal. Mersenne-priemgetallen zijn zeer zeldzaam en moeilijk te vinden. Tot heden zijn er nog maar 47 gevonden; de laatste hiervan in april van dit jaar door de Noor O. Strindmo. Ook het grootste tot nu gevonden priemgetal is een Mersennegetal: 2^43112609-1 (wat geen toeval is, omdat voor Mersennegetallen een efficiëntere priemtest bestaat dan voor willekeurige getallen). Men vermoedt dat er oneindig veel Mersenne-priemgetallen bestaan, maar zeker is dit (nog) niet. In dit geval zouden er ook oneindig veel perfecte getallen bestaan, want ieder even perfect getal is van de vorm 2^(n-1).(2ⁿ - 1) met 2ⁿ - 1 priem. Een perfect getal is de som van zijn delers (zichzelf niet meegerekend). Bijvoorbeeld 28 = 2²· (2³ – 1) =1+2+4+7+14. Tot de dag van vandaag heeft men nog geen oneven perfect getal gevonden. Perfecte getallen werden reeds in de oudheid bestudeerd en kregen dikwijls een mystieke of religieuze betekenis.

Joseph L. Pe, de man die de term “palinpoints” uitvond, introduceerde het begrip spiegelperfecte getallen (puur voor het puzzelplezier, wat ons inziens een gezonde motivatie is). Neem bijvoorbeeld 10311. Dit getal is niet perfect, want het is niet gelijk aan de som van zijn (echte) delers:

1 + 3 + 7 + 21 + 491 + 1473 + 3437.

Maar als men het spiegelbeeld van deze som beschouwt,

7343 + 3741 + 194 + 12 + 7 + 3 + 1,

dan is de uitkomst gelijk aan 11301, het spiegelbeeld van 10311. We noemen 10311 hierom een spiegelperfect getal. Ook voor deze getallen heeft men nog weinig zicht op hun verspreiding (de “eenzaamheid”) tussen de andere getallen, en weet men niet of ze oneindig in aantal zijn. Jens Andersen, hij weeral, de man van de grote getallen, heeft een stelling gevonden waarmee gigantisch grote spiegelperfecte getallen kunnen geconstrueerd worden. Eerst zoekt hij een priemgetal van de vorm p=140z10n89, waarbij z een rijtje nullen is (eventueel lengte 0) en n een rijtje negens (eventueel lengte 0). Daarna vermenigvuldigt hij dit priemgetal met 57, en hij heeft bewezen dat de uitkomst (een “Andersen-getal”) altijd spiegelperfect is. Bijvoorbeeld

p = 140000109999989

is toevallig priem. Het bijbehorende Andersen-getal

57 x p = 7980006269999373

is dus spiegelperfect. Misschien moeten we maar eens een boek schrijven met als titel “Het onuitputtelijke puzzelplezier van de priemgetallen”.

(RP)