Logische valkuilen en Logicomix

Dinsdag, 19 Januari 2010

Wiskunde heeft nu eenmaal een niet al te beste naam bij veel mensen, en dit om allerlei redenen. Wat men zeker niet kan zeggen van wiskunde, is dat het iets saais is. Bewijs daarvan zijn de talloze verrassende dingen die je als wiskundige tegenkomt. Ik bedoel met verrassend bijvoorbeeld tegenintuïtief, of ook paradoxaal klinkend. Een typevoorbeeld hiervan is de zogenaamde paradox van Banach-Tarski uit 1924. Het gaat hier om een stelling die paradoxaal klinkt, maar toch wel degelijk bewezen is (weliswaar gebruik makend van een axioma, maar dat gebeurt wel vaker in de wiskunde). De stelling zegt bijvoorbeeld dat je een massieve bol in 5 stukken kan verdelen en die aan elkaar kan passen zodat je twee bollen hebt die net zo groot en net zo massief zijn als de oorspronkelijke bol.

Zie ook de boekbespreking enige tijd geleden in deze blog.

Iets anders nu. Bekijk even de volgende figuur.

In de figuur wordt verondersteld dat de gekleurde gebroken lijnen trapvormig van het ene hoekpunt naar het andere lopen. Stel verder dat het omgeschreven vierkant zijde 1 heeft. Het is dan eenvoudig in te zien dat de totale lengte van zo'n gekleurde lijn gelijk is aan de som van twee zijden van het vierkant, dus gelijk is aan 2. Dat geldt zowel voor de rode, als voor de groene en voor de blauwe lijn. Dus de blauwe lijn heeft ook totale lengte 2. Als we zo steeds fijner en fijner werken, dan zal het resultaat steeds meer gaan lijken op de diagonaal van het vierkant. Hoe fijn we ook werken, de lengte van zo'n 'traplijn' zal steeds 2 zijn. Maar... de lengte van de diagonaal van het vierkant is wel gelijk aan √2 . Hoe zit dat dan?
Dit is de bekende Diagonaalparadox (niet te verwarren met de diagonaalparadox van Cantor).

Nummer 3. In de volgende figuur veronderstellen we dat het rode vlakdeel naar rechts verder loopt tot op oneindig.

We kunnen wiskundig bewijzen (met een integraal) dat de totale oppervlakte van het rode vlakdeel oneindig groot is.
We wentelen nu dit vlakdeel om zijn symmetrie-as. Het resultaat ziet er ongeveer zo uit:

Van deze 3d-figuur kunnen we de inhoud berekenen (opnieuw met een integraal). Blijkt dat deze inhoud eindig groot is (meer bepaald pi m³ als we de eenheden in m uitdrukken).
Kan dit wel? De resulterende figuur wordt de Hoorn van Gabriel (of de Trompet van Torricelli) genoemd. Zie ook de paradox van de schilder die verwant is met dit probleem:

Paradox van de schilder

(Je kan bewijzen dat de manteloppervlakte van de
hoorn van Gabriel oneindig groot is.
De inhoud van de hoorn is gelijk aan pi.)

Een schilder wil de binnenkant van de hoorn
geel schilderen.
Omdat de oppervlakte die geschilderd moet worden
oneindig groot is, ziet de schilder het niet zitten.
De schildersgast komt met een goed idee:
omdat de inhoud van de hoorn eindig groot is,
kunnen we hem volledig vullen met verf.
Dan is de binnenkant ineens mee geschilderd.

Hoe zit dit eigenlijk?

Een overzicht geven van alle bekende paradoxen is onbegonnen werk. Daarom volgt hier een bloemlezing.
De beroemdste zijn natuurlijk die van Zeno (490-430) (bijvoorbeeld die van Achilles en de schildpad, maar er zijn er meer).

Achilles en de schildpad

Achilles en de schildpad
houden een loopwedstrijd.

De schildpad krijgt hierbij een voorsprong.
Achilles zal de schildpad echter nooit
kunnen inhalen want telkens
als hij de afstand tot de schildpad
heeft overbrugd, is de schildpad
weer een eindje verder geraakt.

Ook de paradox van de kapper is algemeen bekend:

Paradox van de kapper

De kapper van het dorp scheert alle mannen
die zichzelf niet scheren.
Vraag is, scheert hij zichzelf?

Als het antwoord op deze vraag ja is,
dan scheert hij zichzelf niet: een contradictie.

Is het antwoord neen,
dan moet hij zichzelf scheren: opnieuw een contradictie.

En je kent waarschijnlijk wel de paradox van de leugenaar (die aan de basis ligt van de onvolledigheidsstelling van Kurt Gödel), hier te zien in een variant:

Paradox van de leugenaar

liar

En dan heb je bijvoorbeeld ook nog de paradox van Berry, de paradox van de onverwachte toets,...
Bij de paradox van de kapper en de leugenaar speelt het begrip zelfreferentie een grote rol. Een beroemd voorbeeld van zelfreferentie vinden we in het schilderij van René Magritte Ceci n'est pas une pipe. Ook in de Prentengalerij van Escher, in de vorm van het Droste-effect.

Een leuk voorbeeld vinden we ook in het boek Finite Dimensional Vector Spaces van Paul Halmos.
Daar staat op p. 198 in de index: Hochschild, G.P. ... 198.

Zelfreferentie leidt vaak tot logische problemen. zoals bijvoorbeeld in de klassenparadox van Bertrand Russell (1872-1970). We kunnen deze als volgt kaderen.

De bibliothecaris in de bibliotheek van Babel vindt dat je niet genoeg kan classificeren. Hij heeft dan ook in de loop der jaren allerlei indexen gemaakt in boekvorm met de bedoeling een boek gemakkelijk te kunnen terugvinden in de reusachtige bibliotheek. Zo heeft hij een boek waarin alle boeken (en hun plaats in de bib) zijn opgenomen die een rode omslag hebben. Niet toevallig heeft deze index zelf ook een rode kaft.
Hij heeft bijvoorbeeld ook een boek gemaakt dat alle boeken van meer dan 3000 pagina's oplijst. Dit boek is niet al te dik.
Nu vindt de bibliothecaris dat hij ook een index moet maken met daarin alle boeken die zichzelf vermelden zoals het rode boek over de rode boeken. Noem deze index Z.
En dan ook een index met boeken die zichzelf niet vermelden (zoals het >3000 p. boek). Noem deze NZ.
Deze twee boeken bevatten samen alle boeken van de bibliotheek van Babel.

De klassenparadox van Russell

In welk van deze beide boeken
moet hij het boek NZ vermelden?

Is het antwoord op deze vraag NZ,
dan staat het boek NZ in NZ
en hoort het te staan in Z.

Dus moet het staan in boek Z,
maar in Z staan enkel de boeken
die zichzelf vermelden: een contradictie.

Russell was filosoof en wiskundige. Hij vond deze paradox in 1901, toen hij al bezig was aan zijn magnum opus, de Principia Mathematica. Deze paradox deed de wiskunde, meer bepaald de verzamelingenleer, op haar grondvesten beven. Meer over deze periode kan je lezen in het erg leuke stripverhaal Logicomix.

Apostolos Doxiadis, Christos H. Papadimitriou, Alecos Papadatos, Annie Di Donna, Logicomix. Een epische zoektocht naar de waarheid.
De Vliegende Hollander (2009) 345 pagina's.

Dit stripverhaal over de beginselen van de wiskunde en de vragen en problemen waarmee de wiskundigen van het begin van de twintigste eeuw geconfronteerd werden, kent een enorm succes. De figuur van Bertrand Russell staat centraal.

De Engelse versie van dit boek komt voor in verschillende lijstjes bij de 10 beste boeken van 2009. Een aanrader.
Apostolos Doxiadis is bij ons bekend van zijn roman Oom Petros en het vermoeden van Goldbach.

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Θ