17, en toch al wiskundig sexy
Nieuwsflash 17x17-probleem opgelost! Lees meer hier.
Toen hij 17 jaar was bewees de jonge Carl Friedrich Gauss dat de regelmatige 17-hoek te construeren is met passer en liniaal, een onwaarschijnlijke krachttoer. In 2000 jaar was er namelijk niets interessants gebeurd wat betreft constructies: de oude Grieken hadden geen problemen met regelmatige driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, en ze konden ook een hoek in twee delen, dus zeshoeken, achthoeken, tienhoeken lukten ook. Vijftienhoeken waren een combinatie van driehoek en vijfhoek, ook daar geen probleem. En dan kwam Gauss, en bleek dat de 7-hoek niet maar de 17-hoek wel te construeren was.
Met passer en liniaal betekent eigenlijk: je kan met de passer cirkelbogen trekken, en met het liniaal rechte lijnen tekenen. Maar meten is niet toegestaan. Ik denk dat Gauss het eerder als een puzzel zag, toen hij het probleem aanpakte. Een theoretische puzzel in zijn geval, want een echte constructie volgde pas later:
(Gauss was eigenlijk 19 toen hij dit resultaat aantoonde, maar in een blog met deze titel paste dat niet. Zijn geboortejaar begint overigens wel met 17.)
Gauss had graag gewild dat een regelmatige zeventienhoek zijn graftombe sierde, maar de steenkapper van dienst vond dat geen goed idee. De zeventienhoek lijkt teveel op een cirkel, en de steenkapper vreesde dat hij daardoor als een amateur zou overkomen op de mensen.
Win een biografie van Gauss!
Omdat het een blogpost is over puzzels, hebben we er ook een puzzel ingestoken. Hier en daar staat een cijfer blijkbaar zonder reden in kleur. Als je al deze cijfers achter elkaar zet, dan vind je geboorte- en sterftejaar van een wiskundige waarover we al geblogd hebben en die invloed heeft gehad op het leven van Gauss. Weet je wie het is, mail dan je antwoord naar dit adres. Tussen de deelnemers worden 2 exemplaren van de biografie van Gauss verloot die we al eerder besproken hebben op deze blog. Je kan meedoen tot en met 15 februari.
Puzzels met 17. Daar gaan we het over hebben.
Recent werd door een Iers wiskundige, Gary McGuire, bewezen dat er minstens 17 vakjes moeten ingevuld zijn bij een sudoku, anders heeft deze zeker geen unieke oplossing. Je leest er meer over op kennislink. Hier is er alvast een voor de liefhebbers:
Voor zijn bewijs heeft McGuire de computer ingeschakeld, en daarom staat het nog niet voor 100% vast dat het geldig is.
17 is ook het aantal kamelen die een sjeik met 3 zonen in zijn testament had staan. Die moesten zo verdeeld worden: de oudste krijgt de helft van de kamelen, de middelste zoon krijgt een derde, en de jongste moet het stellen met het negende deel. Hoe gaan ze dat regelen?
Wisten jullie dat je op de volgende manier kan nagaan of een getal deelbaar is door 17:
neem het laatste cijfer 5 maal, en trek het resultaat af van je oorspronkelijke getal waar je het laatste cijfer van weggelaten hebt.
Dus bijvoorbeeld:
Herhaal de procedure:
908 263 012 wordt 90 826 291
90 826 291 wordt 9 082 624
9 082 624 wordt 908 242
908 242 wordt 90 814
90 814 wordt 9 061
9 061 wordt 901
901 wordt 85
Dan stopt het. Indien het getal dat overblijft deelbaar is door 17, dan is het startgetal dat ook.
Kan je dit bewijzen? Graag in een reactie!
Dan is er het raadsel van de brug die over 17 minuten zal instorten. Vier jongens moeten nog aan de overkant zien te geraken. Elk van de jongens doet dat aan een ander tempo. Ze hebben respectievelijk 2, 3, 5 en 6 minuten nodig. Maar de brug kan maar twee personen tegelijkertijd aan. Bovendien is het nacht, en donker, en er is maar een zaklamp. Die moet dus telkens als er twee zijn overgestoken worden teruggebracht. Hoe moeten ze het aanpakken?
17 is ook het aantal essentieel verschillende behangpatronen. Met een behangpatroon bedoelen we een patroon dat zich in (minstens) twee verschillende richtingen voortzet. De kristallograaf E. S. Fedorov bewees in 1891 dat het er precies 17 zijn. Escher was een krak in het maken van mooie behangpatronen. Hier zie je er enkele:
Het is voor mij een raadsel hoe je kan bewijzen dat er precies 17 zijn. Ik heb al wel wat bewijzen van dit resultaat gezien, maar niet echt begrepen, en geen enkel dat intuïtief duidelijk is. Ken je er een? Graag in een reactie.
Dan is er natuurlijk ook nog de Onmogelijke Puzzel, gepubliceerd in 1969 door Hans Freudenthal. Hij gaat als volgt.
Twee getallen x en y zijn beide strikt groter dan 1 en de som is maximaal 100. Steven kent enkel de som van deze twee getallen, en Pascale enkel het product. Zowel Steven als Pascale zijn keien in logisch denken.
Waarop Pascale zegt: maar nu weet ik het wel
Steven repliceert: dan weet ik het nu ook
Ook deze puzzel heeft met 17 te maken.
Op het zeventiende probleem van Hilbert moet je overigens niet meer zoeken, want dat is ondertussen al opgelost, meer bepaald al in 1(92)7. David Hilbert formuleerde in 1900 23 belangrijke onopgeloste problemen uit de wiskunde met de uitdaging er klaarheid in te scheppen tegen het jaar 2000. Dat is niet gelukt. Voor het 17de wel.
We zijn nog lang niet aan 17 puzzels, maar met de volgende boeken bij de hand, kom je er zeker... Toch nog even meegeven dat $\pi$ naar het schijnt de 17de letter is in het oorspronkelijke oud-Griekse alfabet. En bekijk ook zeker dit filmpje eens: je ziet er de puzzelontwerper Oskar van Deventer bezig met zijn 17x17x17 Rubik's Cube, gemaakt met een 3D-printer! (Kostprijs: zo'n 1500 euro)
Ken je nog puzzels met 17? Stuur een reactie!
 |
|
 |
|
 |
|
| 
Leuke blog!
Hier mijn bewijsje voor de "deelbaar door 17" truc:
Laat N het begingetal zijn. Schrijf N= 10x + 7a, met a=0,..,9 (dat kan op precies een manier). "N is deelbaar door 17" is equivalent met "x-a is deelbaar door 17".
Het laatste cijfer van N, b=0,..,9, is natuurlijk ook het laatste cijfer van 7a; bovendien is dan a-3b een tienvoud.
Pas nu de truc toe:
(N-b)/10 - 5b = x +(7a-b)/10-5b = (x-a) + (17a-51b)/10= (x-a) + 17(a-3b)/10.
Als dit deelbaar is door 17, dan is x-a deelbaar door 17, en dus N ook.
Een vergelijkbare truc werkt natuurlijk voor elk oneven getal dat geen 5-voud is.
beste eos,
kijk even op minerant.org, website van de mineralogische kring antwerpen, indien je interesse hebt voor rechtopstaande ijsnaalden, en schrijf je in voor het e-min forum
daar is nl net een discussie aan de gang over dit onderwerp.
lidmaatschap van de mka is niet verplicht voor e-min.
groeten van jantrimaran
Bedankt voor deze aanvulling. Dan weten de lezers dat ook weer.
in de opgave van de onmogelijke puzzel.
Met dank aan Arjan Klein Nibbelink voor het melden.