SciLogs International .com.be.es.de

Recentste blogposts RSS

Naar jaarlijkse traditie: nieuwe boeken!

13. Augustus 2014, 10:15

In mijn reiskoffer dit jaar vind je opnieuw heel wat wiskundeboeken, waarvan ik hier een korte bespreking, met beoordeling, zal geven. Als ze te moeilijk zijn, dan horen jullie het ook.

Het eerste boek gaat eigenlijk over paradoxen. Een ervan staat bekend als de paradox van Parrondo. De volgende figuur illustreert waar Parrondo de mosterd haalde. Het is een simulatie van een liftmechanisme waarmee mijnwerkers in een mijn konden afdalen en er ook weer uitgeraken. Ondanks het feit dat beide delen van de lift niet echt omhoog gaan, kunnen de opgaande bewegingen toch een groot cumulatief effect geven.

Man machine
 
Parrondo's paradox uit de speltheorie is nog straffer. Die zegt: er bestaan paren spelletjes, elk apart met een grotere kans op verliezen dan op winnen, die zullen leiden tot winst als je de spelletjes op een bepaalde manier afwisselend speelt. Een eenvoudig voorbeeld:

  • spel A: je verliest gewoon elke keer 1 € als je dit spel speelt;
  • spel B: je telt je geld, en als het een even getal is, dan win je 3 €, en als het oneven is, dan verlies je 5 €.
Stel dat je start met 100
€, dan is het duidelijk dat je bij spel A na 100 keer blut bent, en ook bij spel B is dat zo. Maar speel ze eens in deze volgorde: BABABABA... Dan heb je na 100 keer spelen 100 € verdiend!
De auteur Leonard Wapner brengt deze paradox in zijn boek in verband met een truel, waarbij 3 personen elkaar trachten dood te schieten en waarbij het kan gebeuren dat de slechtste schutter toch het meeste kans heeft om te overleven. Meer hierover vind je in onze speltheorieblog.



Unexpected expectations
Leonard M. Wapner, UnΣxpected Σxpectations. The curiosities of a mathematical crystal ball. A K Peters/CRC Press (2012) 204 pagina's. 

Dit boek gaat eigenlijk over het begrip verwachtingswaarde uit de kansrekening, een uitbreiding van het beter bekende gemiddelde. De auteur, die we al tegengekomen zijn in een van onze eerste blogs met zijn boek The Pea and the Sun, laat zien hoe deze verwachtingswaarde soms leidt tot tegenintuïtieve of paradoxale resultaten. Vaak horen deze dingen thuis in het domein van de speltheorie.
Je krijgt eerst een korte inleiding op de kansrekening en op de geschiedenis ervan, net genoeg om de rest van het boek te kunnen volgen. Daarna komen een aantal thematische hoofdstukken, bijvoorbeeld over de wet van Benford, en de paradox van Newcomb. Je vindt de inhoudstafel en de eerste paar bladzijden hier. Wapner beperkt de wiskunde in de verschillende hoofdstukken, en als er dan toch wat extra nodig is, dan wordt dat uitgesteld tot in de appendix bij het desbetreffende hoofdstuk.

Een leuk boek, met onverwachte resultaten, maar natuurlijk vooral typisch wiskundige.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο



Het tweede boek is het pasverschenen tweede boek van Alex Bellos, Alex through the looking-glass (in het Nederlans: Genieten van getallen). Alex Bellos' eersteling Getallen ontraadseld hebben we al besproken en goedbevonden. In dit boek gaat Bellos verder op hetzelfde elan, dus je kan eigenlijk gewoon na boek 1 verderlezen in dit boek.
Er is overlap met het boek van Wapner, bijvoorbeeld de wet van Benford. En ook deze paradox, die ik de lezer niet wil onthouden. Het is weer een spelletje:

Twee omslagen bevatten elk een papiertje met een getal op. Het gaat om twee verschillende getallen. De speler opent een van beide omslagen en leest het getal dat op het papiertje staat. Zijn opdracht is nu: zeggen of het getal in de andere omslag groter is of kleiner. Welke strategie moet hij volgen om het met een kans groter dan 1/2 bij het rechte eind te hebben?

Het onwaarschijnlijke van de zaak is dat er inderdaad zo'n strategie bestaat.
Het boek is een perfecte mix van wiskundigen en wiskunde, en hoewel ikzelf al wel veel dingen wist, heb ik toch ook weer wat bijgeleerd. Bijvoorbeeld dit: Benjamin Peirce (1809-1880) voerde in 1859 twee nieuwe symbolen in voor de getallen e en pi. Hier lees je meer:

Alex Bellos

(klik om te vergroten). De symbolen sloegen nooit echt aan. Later voerde hij ook nog het symbool i in voor het getal i, en die drie symbolen samen lieten hem toe om zijn lievelingsformule in 1 trek te schrijven:

Formule

Over deze formule zei Peirce dit:

Gentlemen, that is surely true, it is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means. But we have proved it, and therefore we know it must be the truth.

Een aanrader!


 
Alex BellosAlex Bellos
Alex Bellos, Alex through the looking-glass. How life reflects numbers and numbers reflect life. Bloomsbury (2014) 340 pagina's. Ook verkrijgbaar als eBook in epub-formaat. In het Nederlands: Genieten van getallen. Hoe getallen het leven weerspiegelen en het leven getallen. Kosmos Uitgevers (2014) 304 pagina's.

Ook in dit boek brengt Bellos de wiskunde tot leven, zoals we dat al gewoon zijn van hem. Het is zo'n boek dat je liefst even opzij zou leggen om er langer van te kunnen genieten. Dit zijn de titels van de hoofdstukken: Achter elk getal zit een verhaal - De lange arm van de wet - Driehoeksverhoudingen - Kegels ('Coneheads' in het Engels) - Kom maar op met die revolutie - Alles over e ('All about e') - De positieve kracht van negatief denken - Professor Calculus - De titl van dit hoofdstuk bevat d rie vouten (sic, en hier heeft de vertaler dus iets niet begrepen: 'The Titl of This Chapter Contains Three Erors' is het in het Engels) - Celgenoten (over John Conway's Game of Life, je leest er o.a. over een beginconfiguratie die de priemgetallen genereert).

Het boek eindigt met een verklarende woordenlijst, een aantal meer wiskundige bijlagen, en een paragraaf aannames, verduidelijkingen, verwijzingen en noten. In deze laatste vind je een verwijzing naar de Belgische wiskundige Franki Dillen, zonder referentie, maar wel met een prentje van zijn prachtige Picassospiraal.

Een waarschuwing voor mensen die veel reizen: in Amerika heeft het boek om mysterieuze redenen een andere titel. Daar heet het The Grapes of Math. Misschien wel omdat John Steinbeck een Amerikaan was...

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ O O O Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο



Het volgende boek heeft een prachtige omslag, vierkleurendruk, ziet er echt leuk uit. Het is een modern puzzelboek, wiskundige ideeën worden op een moderne manier voorgesteld. En niet alleen eenvoudige wiskunde, ook fractalen en het Traveling Salesman-probleem komen aan bod. De manier waarop is anders dan anders. Lees even deze blog van Alex Bellos (auteur van het boek hierboven), en je krijgt een idee van waar hoofdstuk 9: Distorting Reality over gaat. In hetzelfde hoofdstuk leer je meer over wiskundige transformaties en hoe die kunnen gebruikt worden om bijvoorbeeld gezichten (op foto) te vervormen (via poolcoördinaten), een effect zoals hier:

Warped faces


of om kleurenfoto's nieuwe kleuren te geven (via een product van matrices). Elk van de 10 hoofdstukken behandelt een ander onderwerp. Je leest in dit boek bijvoorbeeld ook hoe google werkt, en hoe je met M&M's oppervlaktes kan berekenen, of hoe je er een mozaïek met een afbeelding van je eigen hoofd mee kan leggen (indien je over voldoende kleuren beschikt).
 



Math Bytes
Tim Chartier, Math Bytes. Google bombs, chocolate-covered pi, and other cool bits in computing. Princeton University Press (2014) 136 pagina's. Ook verkrijgbaar als eBook.

Dit boek brengt op een originele manier een aantal ideeën uit de wiskunde door ze erg grafisch voor te stellen. En dat werkt. Meng je hierin ook nog Twitter, Homer Simpson, president Obama, George Clooney, Beyoncé, en Marilyn Monroe, dan heb je volgens mij een succesformule voor jong en oud, die wat mij betreft misschien net iets te Amerikaans is.


Toch zeker de moeite waard.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ O O Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο



De naam van de auteur van het volgende boek in het rijtje kende ik al langer. Ik kwam hem de eerste keer tegen toen ik meer wilde weten over wavelets en beeldcompressie, en toen botste ik op dit artikel over de Haarwavelettransformatie. Naast wiskunde ben ik ook al meer dan 40 jaar geïnteresseerd in goocheltrucs met speelkaarten, en de laatste tijd meer en meer in goocheltrucs met speelkaarten waar wiskunde achter zit, en zo kwam ik terecht op de Column op de website van de Mathematical Association of America (MAA) van auteur Colm Mulcahy, die precies hierover gaat, en de toepasselijke naam Card Colm draagt. Al sinds 2004 schrijft Mulcahy er regelmatig over dit onderwerp.
Dit is een boek met 52 goocheltrucs met kaarten, die allemaal gebaseerd zijn op wiskundige principes. Twee jaar geleden heb ik hier ook al zo'n boek besproken. Om een idee te krijgen van de stijl van dit boek, raad ik de in goochelen en wiskunde ge
ïnteresseerde lezer aan de truc die de naam Het vermoeden van Boldgach eens uit te proberen. Kijk ook zeker eens naar het volgende filmpje waarin de wordt uitgelegd:   

 

 

Merk op dat er telkens veel plaats is voor humor, en dat is ook zo in het boek.


Colm Mulcahy
Colm Mulcahy, Mathematical Card Magic. Fifty-Two New Effects. A K Peters/CRC Press (2013) 354 pagina's. Ook verkrijgbaar als eBook.

Dit boek is prachtig uitgegeven, in vierkleurendruk op blinkend papier. De opbouw is als volgt: er zijn 13 hoofdstukken, genummerd 1, 2, 3,... , J, Q, K, met elk 4 secties, genummerd  ♣, , ♠, . Samen goed voor 52 effecten. Bovendien worden er per effect nog 4 ratings toegekend (hoe moeilijk is de wiskunde achter de truc, hoe onderhoudend is de truc, hoeveel voorbereiding is er nodig, hoe moeilijk is de truc uit te voeren).
Zeker geen boek om in 1 keer uit te lezen. Lees elke week 1 truc, oefen hem in, zoek jezelf een publiek, en test hem uit.

Een aanrader voor goochelaars en wiskundigen, maar toch een waarschuwing: de wiskunde is niet altijd even eenvoudig.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο   



Nog een laatste boek, waar ik kort over zal zijn omdat het veel te moeilijk is voor deze blog. Maar het probleem uit de inleiding spreekt erg aan, en daarom krijg je het hier. Het boek gaat voor een groot deel over problemen uit de kansrekening.
Gegeven een urne waarin 100 zwarte en 100 rode knikkers zitten.
 
Probleem 1.
Je neemt een willekeurige knikker uit de urne. Wat is dan de kans dat het een rode is? Antwoord (hopelijk duidelijk voor iedereen): 1 op 2.
Je steekt de knikker terug in de urne.
Je neemt opnieuw een willekeurige knikker uit de urne. Wat is dan de kans dat het een rode is? Antwoord (natuurlijk!): 1 op 2.
Probleem 2.
Je neemt een willekeurige knikker uit de urne. Wat is dan de kans dat het een rode is? Antwoord: 1 op 2.
Je steekt deze keer de knikker niet terug in de urne.
Je neemt opnieuw een willekeurige knikker uit de urne. Wat is dan de kans dat het een rode is? Antwoord: 1 op 2.
Echt waar. De berekening van dit laatste geval is wel heel wat lastiger dan de andere.


Paul J. Nahin
Paul J. Nahin, Will You Be Alive 10 Years from Now? And Numerous Other Curious Questions in Probability. Princeton University Press (2013) 256 pagina's. Ook verkrijgbaar als eBook.

Dit boek bevat een aantal interessante problemen uit de kansrekening, en een benadering van de oplossing ervan. Soms zijn hierbij computersimulaties nodig, en Nahin zorgt dan ook voor de nodige Matlab-code om die simulaties thuis te doen. De lezer krijgt zelf ook nog regelmatig een uitdaging voorgeschoteld, en de oplossingen daarvan staan achteraan het boek uitgewerkt. Voor wiskundigen met een interesse voor kanstheorie is dit een leuk vakantieboek.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ O O O  




Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Goed bewaarde geheimen en hardnekkige fouten

25. Februari 2014, 20:27

Tijd voor wat nieuwe boeken. Deze keer heb ik gekozen voor enkele boeken met een erg persoonlijke insteek.
Het eerste boek is Love & Math. The Heart of Hidden Reality. Auteur Edward Frenkel kennen we van de film Rites of Love and Math. Dit boek vertelt het leven van Frenkel, en de wiskunde in zijn leven neemt hierbij een belangrijke plaats in. In de inleiding lezen we dit:

What if at school you had to take an “art class” in which you were only taught how to paint a fence? What if you were never shown the paintings of Leonardo da Vinci and Picasso? Would that make you appreciate art? Would you want to learn more about it? I doubt it. You would probably say something like this: “Learning art at school was a waste of my time. If I ever need to have my fence painted, I’ll just hire people to do this for me.” Of course, this sounds ridiculous, but this is how math is taught, and so in the eyes of most of us it becomes the equivalent of watching paint dry. While the paintings of the great masters are readily available, the math of the great masters is locked away.

Hij heeft volgens mij niet voor 100% gelijk, maar we weten natuurlijk niet hoe het er in de Verenigde Staten aan toe gaat.
Frenkel probeert daar iets aan te doen in dit boek. Hij wil de lezer laten zien hoe gepassioneerd je kan worden van wiskunde, en hij slaagt daar wonderwel in. Hij schuwt daarbij de wiskunde niet. In dit geval de wiskunde van het Langlands-programma, een theorie die een soort unificatie in de wiskunde wil tot stand brengen, meer bepaald van delen van de getaltheorie en de representatietheorie. Heel moeilijke wiskunde, waarvan Frenkel in zijn boek toch een impressie probeert te geven. Maar zelfs voor een wiskundige is het soms moeilijk te volgen, en dat is ook niet zo belangrijk. Want het is vooral het verhaal dat het hem doet.
Je kan zelf een indruk opdoen door naar dit filmpje te kijken, waarin Frenkel het heeft over wiskunde in het algemeen en over een speciale formule in het bijzonder, een formule waarvan hij ergens anders zei dat het een goed bewaard geheim was in de wiskunde.

Euler



cover
Edward Frenkel, Love & Math. The Heart of Hidden Reality. Basic Books (2013) 292 pagina's.

Dit boek is een autobiografie van wiskundige Edward Frenkel. Hij werd geboren in Rusland, maar werd wegens zijn Joodse roots niet toegelaten tot de Staatsuniversiteit van Moskou. In het boek beschrijft hij dan zijn studies aan een andere universiteit waar hij in contact kwam met enkele grote Russische wiskundigen zoals bijv. Israel Gelfand.  Daar groeide zijn liefde voor de wiskunde. In 1989 werd hij uitgenodigd door de Universiteit van Harvard voor een gastverblijf. Hij werkt sinds 1997 aan de Universiteit van Californië, Berkeley. Frenkel is naast wiskundige ook bezig met fysica, meer bepaald de kwantumveldentheorie. In 2002 kreeg hij de eerste Hermann Weyl-prijs.
In dit boek slaagt Frenkel er wonderwel in zijn enthousiasme voor de wiskunde over te brengen op de lezer. Een aanrader.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο



Ook Günter Ziegler heeft een nieuw, erg origineel boek: Mathematik - Das is doch keine Kunst. Opnieuw in het Duits, maar het vorige boek van hem dat we in deze rubriek besproken hebben, is ondertussen in het Engels verkrijgbaar.
Het is een prachtig uitgegeven boek (de auteur is zelf erg tevreden over de vormgeving, liet hij me weten) dat misschien een beetje vergelijkbaar is van vorm met Pickover's Het Wiskundeboek dat we besproken hebben in dezelfde blog als Ziegler's eerste boek: Ziegler vertrekt van 24 afbeeldingen, bij elke afbeelding hoort ook een jaartal (van -20000 to 2012), en samen zijn ze de inspiratiebron voor een hoofdstuk van het boek.
Het eerste hoofdstuk gaat bijvoorbeeld over de Ishangobeentjes:

Ishango-bones

Beentjes van een leeuw? Is het toeval dat de kerfpatronen die er op voorkomen gegroepeerd zijn volgens aantallen die priemgetallen zijn? En wat hebben deze beentjes te maken met de film 2001: A Space Oddyssey? Dit is een hoofdstuk waarin collega Dirk Huylebrouck zijn opwachting maakt, met zijn poging een replica van zo'n beentje de ruimte in te sturen.

De onderwerpen behandeld in het boek zijn erg gevarieerd, maar hebben rechtstreeks of onrechtstreeks natuurlijk wel met wiskunde te maken. Een ervan is bijvoorbeeld dit: is de persoon die op de foto staat op de cover van het boek van Margaret Tent over Emmy Noether (zie opnieuw diezelfde blog) echt wel Emmy Noether?

Je vindt er ook hoofdstukken over fouten die jarenlang meegaan, zoals die in sommige tekeningen van Leonardo da Vinci, waarover we meer weten dankzij Rinus Roelofs en opnieuw Dirk Huylebrouck. Minder bekend is het probleem met het logo van de Mathematical Association of America, een organisatie die een aantal belangrijke wiskundetijdschriften zoals de American Mathematical Monthly uitgeeft. Vele jaren hebben ze dit logo gebruikt:

MAA old

en nu is het dit logo:

MAA new

Let op de fouten in het twintigvlak in de het eerste logo. De twee rode lijnen op de figuur zouden alvast evenwijdig moeten lopen, of moeten samenkomen in een punt, naargelang het perspectief. Een fout die wel meer gemaakt wordt:

euler stamp

Ook hier klopt de tekening van het twintigvlak niet helemaal. Meer lees je in het artikel van Branko Grünbaum die de zaak aan het licht bracht in 1985.

Vlaanderen komt nogmaals voor in het boek: bij het jaar 1992 hoort de affiche van Documenta IX, de versie van deze vijfjaarlijkse tentoonstelling in Kassel waar de zopas overleden Jan Hoet curator van was.



cover Ziegler

Günter M. Ziegler, Mathematik - Das is doch keine Kunst! Albert Knaus-Verlag München (2013) 311 pagina's.

De flap van het boek vermeldt het volgende: Günter M. Ziegler is professor meetkunde aan de Freien Universität Berlin, wiskunde-activist, champagnedrinker, auteur en gelegenheidsblogger. Inderdaad, hij schrijft bijdragen voor de Duitse versie van deze blog, scilogs.de (WissensLogs/Mathematik im Alltag). 

Een leuk coffee table book, dat allerlei verschillende onderwerpen behandelt, van bellen blazen tot knopentheorie. Wie heeft het gelijkheidsteken uitgevonden? Kunnen meisjes minder goed wiskunde dan jongens? Wie is het meisje op de foto? Kan je een patent nemen op een formule?
Zeker een aanrader.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο



De autobiografie van Martin Gardner heeft als titel: Undiluted Hocus-Pocus. The Autobiography of Martin Gardner. Over Gardner hebben we het hier al eens gehad, naar aanleiding van zijn overlijden op 95-jarige leeftijd. Omdat ik heel veel heb gelezen van Gardner (zie vorige blog voor het stapeltje boeken), was ik wel erg benieuwd naar dit boek. Uiteindelijk is Gardner het grote voorbeeld van hoe je wiskunde aantrekkelijk kan maken. Toen ik recent zijn Second Book of Mathematical Puzzles and Diversions nog eens inkeek, vielen er twee papiertjes uit, met de cijfers van 1 tot 8.


Dudeney

Het gaat om twee puzzels van Dudeney. Knip uit en vouw zo dat je iets krijgt zoals rechtsboven, maar waarbij de nummers in volgorde achter elkaar steken.
Dat vond ik veertig jaar geleden al een erg leuke puzzel.

Gardner heeft nooit wiskunde gestudeerd, wel filosofie. Op wiskundegebied is hij autodidact, daar is hij ingerold via de Scientific American. Maar ook daarvoor was hij al geïnteresseerd, zoals blijkt uit sommige van de verhalen die hij schreef. De band van Möbius intrigeerde hem. Zie hier (lees p. 45 e.v.) en hier.

Vaas en Martin Gardner in profiel

Zijn eerste column Mathematical Games verscheen in Scientific American in januari 1957, een maand nadat  zijn artikel over Flexagons erin was gekomen. Het was een maandelijkse column, en Gardner heeft ooit gezegd dat hij 25 dagen werkte aan een column. De columns waren ook soms inspiratie voor de cover van het tijdschrift, hier zie je er een uit 1961:

cover 1961


en deze is uit 1977:

1977 scientific american

waarin de column ging over Penrose betegelingen, maar de tekening die je ziet gemaakt werd door wiskundige John Conway.
Gardner kwam door zijn columns niet alleen in contact met bekende wiskundigen, maar ook met andere beroemdheden. Een ervan was Salvador Dalí, en Gardner was er trots op dat hij Dalí had geïnspireerd bij dit kunstwerk:

Swan-Elephant

Dalí had het gemaakt op vraag van de luchtvaartmaatschappij Air India, een objet d'art om aan hun beste klanten te geven. Dalí kreeg er een jonge olifant voor in de plaats. Het is een asbak, die steunt op de koppen van twee olifanten en een zwaan. Maar als je het object ondersteboven draait, dan worden de olifanten zwanen en omgekeerd.


Gardner
Martin Gardner, Undiluted Hocus-Pocus. The Autobiography of Martin Gardner. Princeton University Press (2013) 233 pagina's. 

Deze autobiografie van Martin Gardner, geschreven toen hij al 95 jaar oud was, is vooral interessant voor zijn fans. Je krijgt er een beeld van "de mens Gardner", en dat betekent veel meer dan alleen de auteur van de columns in Scientific American. De eerste hoofdstukken zijn lastig om te lezen, vooral omdat de nadruk ligt op religie en geloof. Het boek eindigt er ook mee. Maar daartussenin zitten hoofdstukken over goochelen, en over zijn contacten met de grote wiskundigen (bij het schrijven van zijn columns) enz. 
Met een voorwoord van Persi Diaconis en een nawoord van James Randi.

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Ο Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο




Geschreven in Boekenrubriek | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Gelukkige Fibonacci-dag!

05. Augustus 2013, 07:24

Vandaag is het Fibonacci-dag, weer een wiskundige feestdag. Het grote moment is om 11u23, want dan hebben we: 11.23 5/8/13, en je herkent hierin met wat moeite het begin van de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, diezelfde rij die we ook zijn tegenkomen in de vakantieblog van vorig jaar, op een kunstwerk dat nu nog in De Panne staat. De getallen in kwestie staan op de zijkant van het werk waarvan de hoofdlijnen de vorm hebben van een Fibonacci-spiraal. De rechtse figuur geeft het verband tussen de rij en de spiraal:

attard   spiraal

De spiraal is opgebouwd uit kwartcirkels, met als stralen de getallen van de rij van Fibonacci. Mooi.
Omdat het een vakantieblog is, gaan we er niet veel dieper op in. Aan de lezer om de merkwaardige eigenschappen van de rij van Fibonacci te ontdekken. Je kan bijvoorbeeld op de tekening zien, door oppervlaktes van vierkanten bij elkaar op te tellen, dat $$1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2 = 8\times 13$$ dus dat de som van de kwadraten van de eerste 6 getallen van Fibonacci gelijk is aan het product van het zesde met het zevende getal van de rij. En dit is algemener geldig, dus niet enkel voor de eerste zes.
We willen nog wel opmerken dat in Amerika deze Fibonacci-dag al lang voorbij is: daar viel hij op 8 mei.

Onze wiskundige uitstap tijdens de zomer bracht ons dit jaar bij dit huis:

huis

Misschien weet iemand wat het is, waar het staat, en wat het met wiskunde te maken heeft? Geef het antwoord in het reactieveld hieronder. We verloten 4 x een biografie van een wis- of natuurkundige uit deze reeks.


In mijn koffer zaten weer wat wiskundeboeken, maar spijtig genoeg bleken de meeste te moeilijk te zijn om er de niet-wiskundige lezers van deze blog mee te kunnen bekoren.
Eén boek past wel in dit kader, en daar wil ik het even over hebben. Het gaat over de geschiedenis van het P versus NP-probleem, ook hierover had ik het vorig jaar in de vakantieblog. Het is een van de milleniumproblemen, en op dit ogenblik waarschijnlijk het belangrijkste open probleem in de computerwetenschappen. Meer hierover lees je hier.
Het is een moeilijk probleem, maar de schrijver slaagt er wonderwel in om de implicaties ervan in de maatschappij duidelijk te maken. Absoluut een aanrader.
  



 

The Golden Ticket
Lance Fortnow, The Golden Ticket. P, NP, and the search for the impossible. Princeton University Press (2013) 176 pagina's. 

Dit is een niet-technisch boek waarin de auteur niet alleen de geschiedenis van het "P=NP"-probleem schetst, maar ons bovendien aan de hand van voorbeelden uit verschillende disciplines laat zien hoe belangrijk het probleem (en de oplossing ervan) precies is. Hierbij voert hij de lezer van Disney World, via Facebook, naar de Enigma-machines, en van het handelsreizigersprobleem, via de factorisatie van grote getallen, naar sudoku's.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο




The Irrationals
Julian Havil, The Irrationals. A Story of the Numbers You Can't Count on. Princeton University Press (2012) 298 pagina's.

Ik ben een fan van de boeken van Havil, maar spijtig genoeg zijn ze te moeilijk voor niet-wiskundigen. Dit boek gaat over de irrationale getallen, de tegenhangers van de gemakkelijk hanteerbare rationale getallen, kortweg breuken genoemd. De irrationale getallen hebben een rijke geschiedenis, Pythagoras en zijn volgelingen hadden er al vreselijke problemen mee. Vermits het getal $\pi$ een irrationaal getal is, is het voor de regelmatige lezer van deze blog zonder meer duidelijk dat er over irrationale getallen heel veel te vertellen valt. Bewijzen dat een getal irrationaal is, is vaak een tour de force. Roger Apéry deed het voor de som van de omgekeerden van de derdemachten, en dit resultaat verdiende dan ook een plaatsje op zijn grafsteen:

Graf Apery

Een geweldig interessant boek voor wiskundigen!

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο




Henry Poincare
Jeremy Gray, Henri Poincaré. A Scientific Biography. Princeton University Press (2013) 592 pagina's.

In 2012 was het 100 jaar geleden dat Henri Poincaré stierf. Hij is vorig jaar dan ook uitvoerig herdacht, ook door ons, hier. Dit is een wetenschappelijke biografie van de man, waarbij dus naast zijn leven ook zijn werk wordt uitgebeend. De auteur is een autoriteit op gebied van de geschiedenis van de wiskunde, hij weet waarover hij praat. Maar het is een moeilijk boek, ook voor een wiskundige. Veel van het wetenschappelijk werk van Poincaré is in de wiskundige natuurkunde. En omdat Poincaré naar mijn weten geen enkel resultaat heeft nagelaten dat geschikt is voor deze blog, kan ik het boek dan ook niet echt aanraden.

Graf Poincare

Poincaré ligt begraven op het kerkhof van Montparnasse, en naar het schijnt ligt er al enige tijd een papiertje op zijn graf waarop geschreven staat It has been proven. Het gaat hier dan natuurlijk over het Poincaré-vermoeden, een van de millenniumproblemen dat recent door de Russische wiskundige G. Perelman werd bewezen.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο




The logician and the engineer
Paul J. Nahin, The Logician and the Engineer. How George Boole and Claude Shannon Created the Information Age. Princeton University Press (2012) 228 pagina's. 

Ook dit boek is te moeilijk voor de leek. Ook voor een wiskundige is het niet eenvoudig. Het is geschreven door Paul Nahin, die we al vaak besproken hebben in deze boekenrubriek. Paul Nahin is elektrisch ingenieur. Hij heeft het hier over de wiskundige George Boole, uitvinder van de Booleaanse algebra, en over de ingenieur Claude Shannon, vader van de informatietheorie (waarvoor je best dit eens kan lezen). Shannon liet o.a. zien hoe de algebra van Boole kan gebruikt worden bij elektronische schakelingen, maar zijn invloed was veel groter dan dat.

Nahin maakt van dit boek geen biografie van Boole en Shannon, maar eerder een biografie van hun ideeën.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο   






Geschreven in Boekenrubriek | 6 Reacties | Vaste link | Afdrukken


2012 Kort

19. Januari 2013, 09:57

De recente blogbijdrage van Reinout Verbeke over de egoïstische redenen van wetenschappers om te bloggen dwong ons tot een grondige zelfreflectie. Waarom doen wij het eigenlijk? Worden we gedreven door een missionaire drang om het mystieke wiskundeschrift te verspreiden onder alle ongelovigen en getraumatiseerden? Willen we later onder een plataan op een zonnig plein gebeeldhouwd staan met als onderschrift "zij leerden hun volk niks bruikbaars"? Bloggen we voor ons, of voor onze eenzaamheid? Of zijn we heimelijk enkel uit op een gratis Eos-abonnement?
Wat onze boekenrubriek betreft, daar is het antwoord eenvoudig: we kunnen er gewoon niet over zwijgen, over al die toch zo interessante boeken over wiskunde die verschijnen. Het zijn er meer dan ooit, en er moet dus wel een markt voor zijn.

 

Het labyrint van Occam, Guesstimation 2.0, Wiskunde in beeld, Mathematics Galore, Why Cats Land on their Feet, dit zijn de titels van (nog) vijf boeken die in 2012 verschenen zijn. Positief bij elk van deze boeken is dat ze opgebouwd zijn uit allemaal korte stukken, die je los van elkaar kan lezen. Dat is ideaal voor tussendoor, bijvoorbeeld tijdens een reclameblok op TV, of voor in je bed, als je nog snel iets wil bijleren voor het slapengaan. We bekijken ze even een voor een.

Voor de puzzelaar
Arnout Jaspers schreef een puzzelboek, het labyrint van Occam. Het boek bevat allerlei puzzels die je door redeneren kan oplossen, en daarbij hanteer je best het principe van het Scheermes van Occam. William of Ockham was een franciscaner monnik en filosoof die leefde in de veertiende eeuw. Volgens het Scheermes van Occam is de beste oplossing voor een probleem die oplossing die de minste aannames veronderstelt. Probeer dus niet te verdwalen in de doolhof, maar zorg ervoor dat je met de juiste methode recht naar de uitgang loopt.
De puzzels in het boek zijn erg origineel, niet alleen wat betreft hun naam: hoofdbrekenen, vlinken, dexteramputatrie, proteïnevouwen,... Korte puzzels, maar de oplossing is dat niet altijd. Het boek is ingedeeld in 4 verdiepingen, hoe hoger je komt, hoe moeilijker de puzzels. Je vindt er bijvoorbeeld de volgende Sangaku:


PdF


(zoals je wellicht wel weet is het bij een Sangaku de bedoeling dat je uitvist welke stelling wordt voorgesteld in de figuur).


Het labyrint van Occam
Arnout Jaspers, Het Labyrint van Occam. Breinbrekers voor alle wiskundeliefhebbers.
Uitgeverij Bert Bakker (2012) 191 pagina's.

Erg leuke en originele puzzels in dit boek, met oplossingen. Bij een aantal van de opgaven staat vermeld dat je er nog 'nader onderzoek' bij kan doen', en dan gaat het om mogelijke veralgemeningen of variaties van het probleem, die wel wat moeilijker zijn. 

Arnout Jaspers is freelance wetenschapsjournalist. Tot voor kort was hij ook hoofdredacteur van het tijdschrift Pythagoras.

Enige minpuntje in het boek: er zijn geen paginanummers aangegeven bij de oplossingen, zodat je wel even moet zoeken. Maar het is natuurlijk niet de bedoeling dat je de oplossing te gemakkelijk terugvindt!

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: laten we in het midden
Score voor puzzelaars: Θ Θ Θ Θ Ο




Voor de rekenaar
Het tweede boek gaat over schatten, iets nauwkeurig gefomuleerd: over het schatten van aantallen/groottes. Om enkele voorbeelden te geven: hoe lang is alle DNA in je lichaam samen? Hoeveel mensen vliegen er op dit ogenblik boven de VS? Hoeveel zal het niveau van de oceanen stijgen als de poolkappen smelten?

Ice caps

De auteur berekent een schatting voor deze en andere vragen op gemiddeld iets meer dan een bladzijde. Maar de bedoeling is (zoals ook bij het vorige boek) dat de lezer eerst zelf probeert. Hij krijgt daarbij ook een of (veel) meer hints.
De antwoorden op de voorbeeldvragen zijn overigens: ongeveer 1014 m, 300.000, 20 m.
Het boek is geillustreerd met tekeningen van Patty Edwards, de bovenstaande hoort bij de vraag over de smeltende poolkappen.


guesstimation
Lawrence Weinstein, Guesstimation 2.0: Solving Today's Problems on the Back of a Napkin.
Princeton University Press (2012) 301 pagina's.

Leuk boek. Er wordt extra veel in gerekend, maar de berekeningen zijn erg eenvoudig, dus dat heeft bijna geen invloed op de formuledichtheid. Soms worden er vreemde eenheden gebruikt, zoals mi/gal (= miles per gallon).

Achteraan in het boek staan nog een dertigtal onopgeloste problemen, voor de lezer. Bijvoorbeeld: hoeveel grassprietjes zijn er op een gemiddeld (natuurlijk aangelegd) voetbalveld, of als alle lotterijbiljetten die in een jaar verkocht worden in de VS op een stapel worden gelegd, hoe hoog is die stapel dan?

Is ook als eBook verkrijgbaar.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο




Voor mensen met wat wiskunde-achtergrond en interesse
Op de achterkant van het volgende boek kan je lezen: geniet van de fascinerende schoonheid van de wiskunde op ruim 300 rijk geillustreerde pagina's. En inderdaad, daar ben ik het mee eens. De auteurs geven uitleg bij een aantal onderwerpen uit de wiskunde en geven er een (vaak prachtig) plaatje bij. Dit is de figuur die hoort bij de pagina over de Pascal-piramide:

pascalpiramide

een uitbreiding naar drie dimensies van de driehoek van Pascal, die o.a. kan gebruikt worden om de coëfficiënten te berekenen in de uitwerking van een uitdrukking van de vorm (x+y+z)n.
De keuze van de onderwerpen is blijkbaar bepaald door de figuren die de auteurs ter beschikking hadden.
Kennen jullie bijvoorbeeld de Császár-torus? Het is het meest eenvoudige veelvlak met een gat erin. Een beetje geschiedenis. Leonhard Euler vond voor convexe veelvlakken zijn bekende formule: V-E+F=2, die zegt dat bij zo'n veelvlak het aantal hoekpunten V min het aantal zijden E plus het aantal zijvlakken F gelijk is aan 2. Er is een variant van deze formule voor veelvlakken met een gat erin, dan geldt namelijk dat V-E+F=0.
Als je nu probeert zo'n veelvlak te vinden met zo weinig mogelijk hoekpunten (en de bijkomende eis dat er geen lichaamsdiagonalen zijn), dan blijkt het minimum aantal hoekpunten 7 te zijn. Dat had August Möbius (jawel, die van de band) al door in de negentiende eeuw. Maar dat zo'n veelvlak met 7 hoekpunten en een gat erin ook praktisch realiseerbaar is, dat heeft Ákós Császár pas in 1949 bewezen:

csaszar

Zo heb ik ook weer wat bijgeleerd.

wiskunde in beeld
Georg Glaeser en Konrad Polthier, Wiskunde in beeld.
Veen Magazines (2012) 340 pagina's.

Dit is een echt coffee table book, je slaat het open op een willekeurige plaats en je vindt er een prachtige figuur met wat uitleg erbij, ook vaak wat geschiedenis. De onderwerpen zijn heel verscheiden, ze komen niet alleen uit de meetkunde, maar ook uit de getaltheorie en de analyse, je leest er over de stelling van Pythagoras en leert er wat een Schlegel-diagram is.

Voor de mensen die het van begin tot einde willen doornemen, is het boek voorzien van een leeslint.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο




Voor mensen met wat fysica-achtergrond
Dit boek gaat over puzzels en paradoxen in de fysica, en hun verklaring. Het hoort misschien niet echt thuis in deze blog, maar het past op de een of andere manier goed bij het boek Guesstimation 2.0. Een voorbeeld: er wordt soms beweerd dat als je op het noordelijk halfrond het water van je bad laat weglopen, dat het water dan altijd in de afvoer loopt met een draaiende beweging in wijzerzin, en dit ten gevolge van de Corioliskracht:

bad

En wat dan op het zuidelijk halfrond? En op de evenaar? Allemaal onzin, zegt de auteur. Er kunnen allerlei redenen zijn waarom het water al draaiend wegloopt, maar dat kan zowel in wijzer- als in tegenwijzerzin gebeuren.
En weet je hoe je met een schoenveter en een chronometer een benadering kan vinden voor de vierkantswortel van 2? Of hoe je gebruikmakend van een glas water van 100oC een evengroot glas melk van 0oC kan opwarmen tot een temperatuur van meer dan 50oC (de temperatuur die je krijgt als je ze samengiet)? Het antwoord hier is verrassend genoeg ja. En de temperatuur die je theoretisch kan bereiken is (100/e)oC waarbij e=2,718281828 de constante van Euler is.


why cats land on their feet
Mark Levi, Why Cats Land on their Feet. And 76 Other Physical Paradoxes and Puzzles.
Princeton University Press (2012) 190 pagina's.

Om de problemen uit de fysica in dit boekje op te lossen, kan je ook best denken aan het scheermes van Ockham. De behandelde onderwerpen zijn verdeeld over 14 hoofdstukken, per thema. Elk probleem wordt gepresenteerd in de vorm Vraag - Antwoord, elk gemiddeld 1,5 pagina's lang. Op zich geen eenvoudig boek, wat kennis van fysica is nuttig, en blijkbaar bezit ik die niet in voldoende mate. Een heel deel van de argumentaties gaat aan mij voorbij.

Dit boek is ook als eBook verkrijgbaar.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο




Voor wiskundigen
Het volgende boek is bedoeld voor wiskundigen, en is een neerslag van een aantal workshops gegeven door de auteur in het St. Mark's Institute of Mathematics in Southborough, Massachusetts. Ook hier begint elk hoofdstuk met een probleem, en wat extra, gevolgd door commentaar, oplossing en nog wat uitbreiding. Het eerste hoofdstuk gaat over de Boogtangens, en je vindt er al dadelijk het volgende leuke grafische bewijs van de volgende identiteit:
$$ \large {\rm Bgtg} \frac{1}{2} + {\rm Bgtg} \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4} $$
Het gaat zo:

 Bgtg

en je moet wel even denken voor je het ziet.
Ik heb er ook weer iets nieuws geleerd over priemgetallen. Als je de rijen in de driehoek van Pascal doorschuift zoals in de onderstaande tabel (rij n start in kolom 2n), dan hebben we de volgende stelling: de kolomindex is een priemgetal enkel en alleen als de getallen die in die kolom staan allemaal deelbaar zijn door hun overeenkomstige rij-index. De goede kolommen staan in het rood. Bekijken we bijvoorbeeld kolom 17, dat is een priemgetal want 6 is deelbaar door 6, 35 door 7 en 8 door 8.

primes

In een ander hoofdstuk wordt dan weer het vermenigvuldigen met lijnen (hier te zien op youtube) uitgelegd.

mathematics galore
James Tanton, Mathematics Galore! The First Five Years of the St. Mark's Institute of Mathematics.
Mathematical Association of America, Classroom Resource Materials (2012) 272 pagina's.

In de 26 hoofdstukken van dit boek worden allerlei wiskundige problemen behandeld, niet de gewone, vaak originele. Met oplossingen die steeds erg duidelijk worden uitgelegd. Voor een wiskundige betekent het lezen van dit boek een verrassende reis door onontgonnen gebied. Een aanrader.

Dit boek is ook in pdf-formaat verkrijgbaar.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο





Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


The one million dollar questions

30. November 2012, 09:13

Al eeuwen lang bestaat de gewoonte prijzen uit te loven voor wie (als eerste) een opgegeven wetenschappelijk probleem oplost.
Zo voerde de Académie Royale des Sciences de Paris, opgericht in 1666, al in 1719 een systeem van prijzen in dat erg belangrijk zou zijn voor de evolutie van de wetenschap. In 1739 werd bijvoorbeeld het volgende probleem gesteld: wat is vuur? De Zwitserse wiskundige Leonhard Euler won, maar ook Voltaire en (buiten zijn weten om) zijn vriendin Émilie du Châtelet dongen mee naar de prijs. Andere bekende wiskundigen/wetenschappers die de Grand Prix de l'Acad
émie wonnen waren Maclaurin, Coulomb, Cauchy, Abel, ... Daniel Bernoulli won zelfs 10 keer.

euler

bernoulli

Vaak kreeg je als prijs een geldbedrag, en dat geld kwam dan meestal van een legaat: een rijke burger die de Académie een grote som geld had nagelaten. In het geval van de Acad
émie was die burger Baron Jean Rouillé de Meslay, een Frans advocaat en staatsman, en ging het om een som van 125 000 livres (ter info: een goed vakman verdiende in die tijd zo'n 300 livres per jaar).
Bekend is zeker ook de prijs die koning Oscar II van Zweden in 1885 uitloofde aan wie het beste antwoord kon geven op de vraag:
Gegeven n massa's die bewegen onder invloed van elkaars aantrekkingskracht. In de veronderstelling dat je weet dat ze niet zullen botsen en dat je hun beginpositie en -snelheid kent, geef dan een uitdrukking in de vorm van een reeks die de positie van deze massa's op het ogenblik t weergeeft.
Het prijzengeld bedroeg 2500 gouden Kronen, Henri Poincaré won de prijs, hoewel hij er niet in geslaagd was het probleem ook echt op te lossen. Achteraf vond hij zelfs in zijn eigen oplossing de ene fout na de andere!
 
Ook in de wiskunde is er een traditie van het stellen van problemen met bijhorende prijzen voor de goede oplossing. In 1900 formuleerde de wiskundige David Hilbert op het Internationale Wiskundecongres in Parijs 23 wiskundeproblemen die volgens hem belangrijk waren en nog onopgelost. Hij daagde de wiskundigen uit ze voor het jaar 2000
uit te klaren. Er was geen prijs mee te winnen, je deed het enkel voor de eer. Ondertussen zijn er al heel wat van deze problemen ook effectief opgelost.

hilbert's problems

Een probleem dat niet voorkomt in deze lijst is het beroemde vermoeden van Fermat (ook wel de laatste stelling van Fermat genoemd). De Duitse arts Paul Wolfskehl liet in 1906 bij testament 100 000 Mark na aan wie als eerste deze stelling zou bewijzen (volgens sommige bronnen deed hij dit omdat hij niet wilde dat zijn vrouw van hem zou erven). In 1997 werd de prijs toegekend aan de Brit Andrew Wiles; het prijzengeld was toen al wel erg gedevalueerd. Fermat kribbelde deze stelling in 1637 neer in de marge van een wiskundeboek. De marge was te klein om ook het bewijs ervan te kunnen bevatten, zo schreef hij toen. Het bewijs heeft dus 360 jaar op zich laten wachten!

Fermat

Landon T. Clay is een Amerikaans zakenman en miljardair met een liefde voor wiskunde. In 1998 richtte hij het Clay Mathematics Institute op, dat de bedoeling heeft de “wiskundekennis te doen toenemen en te verspreiden”. Op 24 mei 2000, precies 100 jaar nadat Hilbert zijn 23 problemen voorstelde, maakte het instituut een lijst met 7 problemen bekend waarmee je de som van $1 000 000 kon verdienen, indien je er 
één van kon oplossen. Deze Millennium Prize Problems werden beschreven als “important classic questions that resisted solution over the years”.
Een van de problemen stond ook al op het lijstje van Hilbert, namelijk de Riemann-hypothese.
Het zijn stuk voor stuk erg moeilijke problemen, ook in de zin dat het moeilijk uit te leggen is waar ze nu in feite over gaan, niet alleen aan een wiskundeleek, maar evengoed aan een wiskundig geschoold iemand.

Een overzicht:
    De Riemann-hypothese gaat over de nulpunten van een wiskundige functie, de Riemann-zetafunctie, en hun plaats in het complexe vlak. Dit probleem heeft ook te maken met priemgetallen, de wonderlijke bouwstenen waaruit al onze gehele getallen zijn opgebouwd. Indien de hypothese waar is weten we plots veel meer over de priemgetallen. Het boek The Music of the Primes van Marcus du Sautoy geeft een goede introductie tot dit probleem.

Riemann hypothese

    Het Poincaré-vermoeden is een probleem uit de topologie dat recent opgelost werd door de Rus Grigori Perelman. Het gaat over bollen in hogere dimensies. Henri Poincaré postuleerde in 1904 dat er een eenvoudige manier moet zijn om na te gaan of een n-dimensionaal oppervlak een boloppervlak is of niet. Voor n gelijk aan 4 of meer werd dit inderdaad bevestigd in 1960 (n groter dan 4) en 1983 (n gelijk aan 4), maar het geval n=3 bleef onopgelost tot in 2003. Perelman won hiermee de Fields-medaille (het equivalent van de nobelprijs, die niet bestaat voor de discipline wiskunde), die hij weigerde, en dus ook de door Clay uitgeloofde $ 1 000 000, die hij eveneens weigerde.

Perelman

    Het P-versus-NP-probleem komt uit de computerwetenschappen. Er zijn een aantal wiskundige problemen die enerzijds moeilijk oplosbaar zijn met de tot nu toe gekende methodes, maar waarvoor het anderzijds zeer eenvoudig is na te gaan met de computer of een voorgestelde oplossing inderdaad voldoet. Bijvoorbeeld, Een groot getal ontbinden in een product van priemgetallen is een moeilijk probleem, ook voor computers. Maar als je denkt dat je de priemfactoren hebt gevonden, dan is het heel eenvoudig te checken of je inderdaad een oplossing hebt, door die factoren terug met elkaar te vermenigvuldigen. De vraag die nu gesteld wordt is: als het verifiëren van een voorgestelde oplossing zo eenvoudig is, moet het probleem dan ook niet eenvoudig op te lossen zijn?

P=NP?

    Het Navier-Stokes probleem komt dan weer uit de fysica, en gaat over het bestaan van mooie oplossingen van de Navier-Stokes vergelijkingen, die gebruikt worden om de beweging van vloeistoffen te beschrijven.
    Eveneens uit de fysica komt het Yang-Mills probleem, dat verband houdt met kwantumfysica. De kwantum—Yang-Mills theorie is een theorie die probeert de elementaire deeltjes in de fysica zo te beschrijven dat alle fenomenen in de fysica ermee verklaard kunnen worden. De theorie komt goed overeen met waarnemingen in dit verband, maar er zijn nog wat problemen die niet opgelost zijn. Een van de dingen die volgen uit de theorie is het bestaan van het Higgs-boson, recent nog in het nieuws. Het Clay Institute vraagt in essentie naar een goede wiskundige opbouw van deze theorie.
    Er zijn nog twee andere problemen, namelijk het Hodge-vermoeden en het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer, maar ik ga hier geen poging ondernemen om in het kort te beschrijven waar die het over hebben, want dat is onbegonnen werk.

birch-swinnerton-dyer

In het volgende boek doen de vier auteurs die poging wel, en met succes, vind ik persoonlijk.

  


Zeven grootste raadsel
Alex van den Brandhof, Roland van der Veen, Jan van de Craats en Barry Koren, De zeven grootste raadsels van de wiskunde. Los ze op en word miljonair! Uitgeverij Bert Bakker (2012) 186 pagina's.

In zeven hoofdstukken geven de auteurs een beeld van de zeven millenniumproblemen van de wiskunde. Hierbij zorgen ze er voor dat ze verschillende soorten lezers tegelijk aanspreken: het boek bevat wel wat formules, en de wiskundige lezers hebben daar zeker wat aan, maar als je niet zo wiskundig bent aangelegd, dan kan je die overslaan zonder de draad kwijt te raken. De verhalen rond de moeilijke problemen worden begeleid door biografische informatie over de hoofdrolspelers ervan.
Ook indien je elk hoofdstuk niet van begin tot einde begrijpt, krijg je toch een idee waarover die problemen precies gaan, en dat is uiteindelijk de bedoeling van dit boek. Een aanrader voor iedereen met interesse voor wiskunde!

  


Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score:  Θ Θ Θ Θ Ο






Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Over harmonische driehoeken en hoe je er munt uit slaat

27. April 2012, 17:21

De Engelsen beweerden dat de Fransen deze valse praktijk bezigden, en waarschijnlijk beweerden de Fransen dit ook van de Engelsen. Al in het jaar 1150 was er in Engeland bij het slaan van munten in de Royal Mint een controlesysteem om na te gaan of de munten aan zekere vereisten voldeden. De controle werd gedaan door externen, en werd Trial of the Pyx genoemd.
Een van de vereisten was dat het goudgewicht van een munt binnen zekere grenzen moest liggen. Een guinea moest eigenlijk 128 grains (zo'n 8,29 gram) wegen, en daar was een fout op toegelaten van 1/400ste, dus van 0,32 grains.
Om dit te controleren, werden de munten gewogen, maar dat gebeurde niet een per een, maar in groepen, bijvoorbeeld per 100. En de redenering was: op 100 munten mag er een afwijking zitten van 100 maal 0,32 grains, dus van 32 grains.
Dit klopt statistisch gezien niet. Om het goed te doen moet je de toegelaten afwijking vermenigvuldigen met de vierkantswortel van de steekproefgrootte, dus in dit geval moet je maal 10 doen i.p.v. maal 100. Maar dat wisten de Engelsen in die tijd nog niet. De Minters zagen toch al snel in dat ze geld konden slaan uit een groep munten die teveel woog maar toch binnen de grenzen bleef: terug smelten, en opnieuw proberen het juiste gewicht te krijgen had voor gevolg dat ze goud overhielden.
Pas rond 1730 werd duidelijk dat je moet vermenigvuldigen met de vierkantswortel van de steekproefgrootte, en dit dankzij Abraham De Moivre (1667-1754), een Frans wiskundige die al vroeg in zijn leven uitweek naar Engeland (in 1685) waar hij bevriend raakte met o.a. Isaac Newton (die 30 jaar lang Master of the Mint is geweest).

De Moivre

De Moivre was een groot wiskundige, die nu nog vooral voortleeft in zijn formule. Iedereen die ooit geleerd heeft over complexe getallen, is deze stelling waarschijnlijk tegengekomen:

Formule van De Moivre

Maar ook in de ontwikkeling van de statistiek heeft hij een grote rol gespeeld. Hij wordt algemeen aanzien als de vader van de normaalverdeling. En de formule die we in de eerste paragraaf hebben ontmoet staat bekend als de $\sqrt{n}$-regel van De Moivre. Deze regel wordt tegenwoordig ook wel eens de meest gevaarlijke vergelijking uit de wiskunde genoemd.

De Moivre hield zich ook bezig met Recreatieve wiskunde. De eerste gepubliceerde oplossing van het probleem van de Knight's Tour staat op zijn naam. Hier gaat het over:

knights tour

Dit komt uit de Récréations mathématiques et physiques van Jacques Ozanam (1725). Je ziet hier twee versies van de oplossing van De Moivre, de eerste zoals ze voorkomt in het boek van Ozanam, de tweede een moderne voorstelling (een kwartslag gedraaid):

De Moivre

De Moivre

Leuk om weten is dat deze oplossing een rol speelt in het mysterie van het tweede perkament en de schat van Rennes-le-Château, dat als basis diende voor het boek The Da Vinci Code van Dan Brown.

rennes-le-chateau

Over De Moivre doet het verhaal de ronde dat hij op een bepaald ogenblik besliste elke nacht een kwartier langer te slapen omdat hij dat nodig had. De dag dat hij daardoor aan 24 uur slaap kwam, is hij gestorven.

Gottfried Leibniz (1646-1716) en Abraham De Moivre hebben elkaar nooit ontmoet, maar ze leefden wel in dezelfde wiskundige tijd.

Leibniz

Leibniz was de uitvinder van de Calculus (samen met Newton) en niet alleen dat. Hij heeft ook de binaire notatie voor getallen ingevoerd:

binair systeem

en was een specialist op gebied van reeksen (dit zijn sommen van oneindig veel getallen). Iedereen kent wel de driehoek van Pascal. Wat veel minder mensen weten is dat Leibniz ook zo'n driehoek had die hij de Harmonische driehoek noemde:

harmonic triangle

Elk getal in deze driehoek is de som van de twee getallen die eronder staan. Kies je een getal uit deze driehoek (voorbeeld in het groen), dan geeft dit getal de som van de oneindig veel getallen die in de schuine strook er rechtsonder zitten. Een soort oneindig lange kerstsokken dus. Je kan als volgt nagaan dat het klopt voor de groene 1. We verdelen de getallen van de bijhorende strook in groepjes, en wel als volgt: het eerste, de volgende twee, de daaropvolgende 4 enz. en nemen telkens de som:

som

enz. Merk op dat bij de verschillende termen in de sommen de noemer het product is van twee opeenvolgende getallen. Dat de som van alles samen nu 1 is, dat zie je, door de getallen achter het gelijkheidsteken op te tellen, in de volgende figuur:

som MR

De geschiedenis van de wiskunde is zo rijk dat ze waarschijnlijk eeuwig stof zal blijven leveren voor deze blog. We hebben recentelijk vier boeken in verband hiermee gelezen. Verderop vind je de bespreking ervan.

Om te beginnen is er een boekje in de reeks Very short introductions uitgegeven door Oxford University Press. De auteur Jackie Stedall is gespecialiseerd in de geschiedenis van de wiskunde, en het boekje heeft dan ook als titel The history of Mathematics. Maar het is geen chronologische geschiedenis van de wiskunde geworden, Stedall belicht allerlei aspecten in verband met de wiskunde door de eeuwen heen.

  

History
Jacqueline Stedall, The History of Mathematics. A Very Short Introduction. Oxford University Press (2012) 123 pagina's.

Geen traditionele geschiedenis van de wiskunde. Stedall beschrijft meer wat wiskunde is, en hoe wiskunde evolueert door de eeuwen heen. Wat een wiskundige precies is, en hoe dat in de geschiedenis veranderd is. Hoe wiskundige geschriften van duizenden jaren geleden toch zijn kunnen bewaard blijven. En je leest er bijvoorbeeld ook over het wiskunde-onderwijs op enkele verschillende plaatsen op verschillende momenten in de tijd.

Een andere kijk op de geschiedenis van de wiskunde.


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο  
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο



Het tweede boek is er een uit de Wetenschappelijke Bibliotheek van Natuurwetenschap en Techniek. Het is de vertaling van een Frans boek uit 2004 van een andere specialist van de geschiedenis van de wiskunde, Bernard Vitrac. Het behandelt uitsluitend de meetkunde in het klassieke Griekenland, beginnend bij Hippocrates van Chios, bekend van zijn maantjes. Natuurlijk komen de drie klassieke problemen uit de oudheid uitgebreid aan bod: de kwadratuur van de cirkel, de driedeling van een hoek, en de verdubbeling van de kubus. Hippocrates had zich ook al gewaagd aan het eerste probleem, hij slaagt er niet in maar wordt er dan wel door Aristoteles van beschuldigd een vals bewijs te hebben verspreid.
Ook Euclides, Archimedes, en Appolonius worden natuurlijk uitvoerig besproken.


Meetkunde
Bernard Vitrac, Meetkunde in het klassieke Griekenland. Veen Magazines (2012) 192 pagina's.

Een prachtig uitgegeven boek, met mooie bladspiegels en hier en daar ook een tijdslijn waarop je de chronologie van de geschiedenis kan volgen, niet enkel in Griekenland. Mooie figuren en afbeeldingen van oude manuscripten maken van dit boek een aanwinst voor elke boekenkast. Bijna een coffee table book.

De meer wiskundige stukken in het boek zijn niet altijd even eenvoudig te volgen, ook omdat er hier en daar kleine foutjes in de tekst staan.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο



De laatste twee boeken zijn biografieën van de twee wiskundigen waarover we het hierboven al uitgebreid hebben gehad:


De Moivre
David R. Bellhouse, Abraham De Moivre. Setting the stage for classical probability and its applications. CRC Press/A K Peters (2011) 266 pagina's.

Dit is een wel zeer grondige biografie van Abraham De Moivre. De auteur (een Canadese professor gespecialiseerd in de geschiedenis van de statistiek en van de actuariële wetenschappen) heeft er duidelijk werk van gemaakt o.a. door ook de briefwisseling van De Moivre met zijn tijdgenoten grondig te bestuderen. Het boek geeft naast de biografische details ook een overzicht van de door De Moivre ontwikkelde wiskunde. Je leert er bijvoorbeeld in dat de bekende formule van Stirling eigenlijk van De Moivre is. Ondanks de grondigheid blijft het al bij al een goed leesbaar boek.  


Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο


Leibniz
M.B.W. Tent, Gottfried Wilhelm Leibniz. The Polymath Who Brought Us Calculus. CRC Press/A K Peters (2012) 234 pagina's.

Opnieuw een geromanticeerde biografie van de hand van Margaret Tent, geschreven voor jong en oud. In haar typische stijl, maar toch wel leuk om te lezen, en je leert er nog wat van bij ook. Tent weet waar ze het over heeft. Over de wiskunde van Leibniz wordt natuurlijk niet al te veel verteld, maar soms toch net genoeg om te intrigeren. Een leuk boek om mee op vakantie te nemen.  


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο





Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Ionica, Jeanine, de huishoudster en de professor

19. December 2011, 15:13

Voor Vlaamse bloggers over wiskunde zou het wel heel wat leuker zijn indien de gemiddelde wiskundekennis van de Vlaming iets beter was. Als we bijvoorbeeld zouden kunnen veronderstellen dat een groot deel van de bevolking weet wat integralen zijn, en dan bovendien ook nog de basisformules kent. Anders gezegd, indien we in een wereld zouden leven waarin wat nu volgt niet door de ene wiskundige aan de andere doorverteld wordt als mop:

Twee wiskundigen zitten in een restaurant. Ze praten over het hierboven gestelde probleem. Een van beiden merkt op dat volgens hem de gemiddelde mens nog wel het een en ander weet van wiskunde, indien we BV's niet meerekenen tenminste. Nummer twee is het daar niet mee eens. Terwijl deze laatste een bezoek brengt aan de toiletten, roept de andere de serveuse bij zich, en vraagt haar of ze het volgende wil doen voor hem: “Als ik je straks een vraag stel, dan moet je antwoorden: één derde x tot de derde.” Als nummer twee weer terug is, zegt de ander tegen hem: “We zullen de hypothese even testen." Hij roept de serveuse bij zich en vraagt: “Wat is de integraal van x kwadraat?” Waarop die antwoordt, op een manier alsof ze het uit haar hoofd geleerd heeft: “één .. derde .. x .. tot .. de .. derde”. En terwijl ze wegloopt, vol zelfvertrouwen: “Plus een constante.” 

Op dit ogenblik is het namelijk zo dat de inhoud van veel wiskundeblogs over het algemeen eerder gelijklopend is. Een van de geliefkoosde onderwerpen is bijvoorbeeld het Monty Hall probleem. Wij hebben er nog niet over geschreven, we wachten op het laatste woord hieromtrent. En zo hebben we altijd nog iets achter de hand voor wanneer onze inspiratie volledig is opgedroogd. Werp even een blik op wikipedia, en je ziet dat er heel wat over te vertellen valt. Er werd zelfs een heel boek over geschreven. Dit allemaal omdat het een eenvoudig te formuleren probleem is, en je kan de oplossing ook op een erg overtuigende manier brengen.

monty-hall

De wet van Benford is een andere veel besproken topic. En Paul Erdös (en zijn Erdösgetal, zie ook hier)
kom je ook vaak tegen op wiskundeblogs, omdat hij een rare wiskundige was, en in die zin goed aansluit bij het verwachtingspatroon van de mensen:

erdos

Het succes van de onderwerpen op een blog hangt voor een deel af van het verrassingseffect. En je kan nu eenmaal moeilijk verrast zijn door iets waar je niet veel van begrijpt. Dat dit algemeen aanvaard wordt als dé wauw-formule uit de wiskunde:

euler

(en wiskundigen er even trots op zijn als sommige studenten op hun alma mater), is door de leek moeilijk te bevatten. En we kunnen het ook niet echt uitleggen...
En sommige onderwerpen kunnen we maar beter vermijden, zoals de wel erg verrassende paradox van Bertrand uit de kansrekening. De lezer zou kunnen gaan denken dat de wiskunde slecht in elkaar zit. En eigenlijk is dat ook wel ten dele waar natuurlijk - als je Gödel, Escher, Bach gelezen hebt, begrijp je waar ik het over heb: de onvolledigheidsstellingen van eerstgenoemde.

godel

Verrassingen en paradoxen liggen dicht bij elkaar, dus paradoxen doen het ook goed. Een voorbeeld. Kijk even naar de bovenste som:

harmonische

Op de volgende lijn vervangen we elke rode term in deze som door een getal dat duidelijk kleiner is. Zo krijgen we een nieuwe som. Maar als je daarvan de termen twee per twee samenneemt, dan vind je opnieuw ... de oorspronkelijke som. Dus deze som is groter dan zichzelf.
Let wel: dit is geen paradox. Wat er gebeurt is allemaal logisch te verklaren (ik bedoel: te verbeteren). Maar het voelt toch ongemakkelijk aan.
Neem nu deze formule:

$$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + \ldots = -\frac{1}{12}$$
Is toch pertinente onzin?! Inderdaad, maar verrassend genoeg heeft ze wel toepassingen. Misschien komen we hier later nog op terug.
Ik vond zo'n dingen vroeger zo intrigerend dat ik wiskunde ben gaan studeren. Als je ze dan uiteindelijk begrijpt, dan is het leuke er wel wat af, maar ik heb nog steeds geen spijt van mijn studiekeuze: er vallen elke dag nieuwe wonderlijke zaken op mijn bord.

De wiskundemeisjes Jeanine Daems en Ionica Smeets hebben hun blogervaringen neergeschreven (van zich af geschreven?) in een erg aan te raden boek. Het boek is ook bedoeld voor iedereen die slecht was (is) voor wiskunde. Het is prachtig uitgegeven, vierkleurendruk, bevat relatief weinig formules, en je hebt dus eigenlijk geen computer meer nodig om hun blog te lezen. Maar het boek bevat nog meer: wiskundige uitjes in Nederland en Vlaanderen, boekbesprekingen, puzzels,...
Al deze dingen zijn verdeeld in acht delen, acht thema's. Je kan de verschillende stukjes (zoals bij een blog) los van elkaar lezen.



logicomix
Jeanine Daems & Ionica Smeets, Ik was altijd heel slecht in wiskunde. Reken maar op de wiskundemeisjes. 
Uitgeverij Nieuwezijds (2011) 206 pagina's.

Dit wel erg leuke geschenk voor onder de kerstboom had ik zelf willen geschreven hebben. Om jullie er warm voor te maken: wisten jullie dat er maar 17 periodieke vlakverdelingen mogelijk zijn in het Alhambra? En dat je met een naald decimalen van het getal pi kan berekenen? En ken je de huwelijksstelling al? En wist je al dat de BMI is ingevoerd door een Belg? Dit en nog veel meer lees je in dit boek.

De blog van Jeanine en Ionica kan je hier vinden: http://www.wiskundemeisjes.nl. Met het regelmatige bloggen zijn ze gestopt op 10-10-10, maar je kan er de oude blogs en hun tweewekelijkse Volkskrant-columns wel lezen.


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Θ




In het wiskundemeisjesboek wordt het volgende boek aangeraden. Wie niet graag losse stukken leest, en toch wel interesse heeft voor wiskunde, en meer bepaald voor getallen, die vindt hier een inleiding in romanvorm. Het boek gaat over een wiskundeprofessor wiens kortetermijngeheugen ten gevolge van een auto-ongeval nog maar 80 minuten werkt. Hij krijgt een nieuwe huishoudster...

ogawa

Scene uit de Japanse film De professor en
zijn geliefde vergelijking (2006, regie: Takashi Koizumi)


Een uittreksel (uit de Engelse versie):

I wondered why ordinary words seemed so exotic when they were used in relation to numbers. Amicable numbers or twin primes had a precise quality about them, and yet they sounded as though they’d been taken straight out of a poem. In my mind, the twins had matching outfits and stood holding hands as they waited in the number line.



ogawa
Yoko Ogawa, De huishoudster en de professor. Roman.
De Vliegende Hollander (2010) 207 pagina's.

Een erg warm boek waarin de schrijfster erin slaagt de liefde van de professor voor de wiskunde over te brengen op de lezer. Evenzeer een boek voor onder de kerstboom (waarschijnlijk kom je er beter mee weg dan met het vorige). Ook hier vind je de mooiste formule uit de wiskunde terug, en ook nog andere formules, die deze keer onmisbaar zijn voor het verhaal. Erg goed geschreven, met raak getypeerde en levensechte personages. Het boek werd in Japan ook verfilmd.



Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Ο Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Θ

 


Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Chaos niet enkel bij de banken

24. Oktober 2011, 15:56

Recent werd het Solvay-congres van 1911 herdacht. Slechts één van de genodigden op dit congres was een wiskundige, meer bepaald Henri Poincaré (1854-1912), die je hier ziet zitten aan de zijde van Marie Curie:

Curie en Poincare

(voor de volledige foto, klik). Poincaré was opgeleid als mijnbouwingenieur, maar dat zullen we even door de vingers zien. Poincaré was waarschijnlijk uitgenodigd in Brussel omdat hij een rol heeft gespeeld in de ontwikkeling van de speciale relativiteitstheorie (Lorentz en Einstein waren er overigens ook bij in 1911). Hij was recent ook weer in het nieuws door het bewijs van het zogenaamde Vermoeden van Poincaré, een bewijs dat de vinder ervan, Grigori Perelman, 1 miljoen dollar rijker had kunnen maken. Maar Perelman weigerde de prijs.

Poincaré staat ook aan de wieg van de chaostheorie. Hier leest u het hele verhaal.

oscar II In 1885 schreef koning Oscar II van Zweden een wedstrijd uit: hij wilde voor zijn 60ste verjaardag in 1889 een prijs uitreiken waarmee hij een belangrijke ontdekking in de wiskundige analyse wilde bekronen. Het prijzengeld bedroeg 2500 gouden kronen. Wie wilde meedingen naar deze prijs moest een verhandeling schrijven in verband met het n-lichamen probleem in de hemelmechanica:

Gegeven n massa's die bewegen onder invloed van elkaars aantrekkingskracht. In de veronderstelling dat je weet dat ze niet zullen botsen en dat je hun beginpositie en -snelheid kent, geef dan een uitdrukking in de vorm van een reeks die de positie van deze massa's op het ogenblik t weergeeft.

Henri Poincaré voelde zich aangesproken en deed mee. Hij stuurde een tekst in:

Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique

en, hoewel hij er niet in geslaagd was te voldoen aan de vraag, won hij de prijs.
En toen begon het.
Alles werd klaargemaakt voor de publicatie van zijn inzending in het tijdschrift Acta Mathematica. Maar de redacteur die verantwoordelijk was, vond in de tekst van 
Poincaré de ene fout na de andere. Hij correspondeerde hierover met de auteur die probeerde de zaken recht te zetten, maar dat lukte blijkbaar toch niet heel goed. Het tijdschrift werd gedrukt, en Poincaré kocht de hele oplage op. Hij herschreef dan zijn artikel, waardoor het een goede 100 bladzijden langer werd. En liet het nummer van het tijdschrift opnieuw drukken, op zijn kosten. Dat koste hem 1000 kronen meer dan het prijzengeld. Maar bij het herschrijven legde hij de basis van de chaostheorie. Een fout die hij gemaakt had was dat hij verondersteld had dat kleine verschillen in de beginposities van de drie massa's maar kleine afwijkingen in de banen van die massa's zouden veroorzaken. En dat bleek een grote vergissing, die hij zelf gelukkig snel inzag.
Je ziet hier een eenvoudig voorbeeld:

 


In kolommen 2 en 3 wordt met een eenvoudige formule ($x$ wordt $2x^2-1$) vertrekkend van de beginwaarde bovenaan (0,4) een rij getallen gegegeneerd. Rechts in de figuur worden de waarden uitgezet in een grafiek, groen voor kolom 2, blauw voor kolom 3. Probeer het getal in het rode vakje eens te vervangen door bijv. 0.4000001. Je verwacht dat zo'n kleine afwijking weinig effect zal hebben, maar dat wordt tegengesproken door de figuur.
Het vlindereffect was geboren!

butterfly-effect


Ondertussen is er heel wat onderzoek gedaan in deze tak van de wiskunde. Een grondig onderzochte situatie is die waarbij 3 massapunten zich op de hoekpunten van een rechthoekige driehoek bevinden (met zijden 3, 4, 5 en tegenoverliggende massa's respectievelijk $m_1=3$, $m_2=4$ en $m_3=5$). Hier zie je een voorbeeld van de banen die die massapunten volgen:

burrau


Dit staat bekend als Burrau's probleem. Merk op dat de groene massa op het einde weggeslingerd wordt, en dat de twee andere (blauw en rood) rond elkaar blijven draaien zoals een tweelingster. Een kleine verandering in de beginvoorwaarden leidt ook in dit geval tot totaal andere banen.
Maar de oplossingen van het 3-lichamenprobleem zien er niet altijd zo 'erg' uit. Als de drie massa's precies evengroot zijn, dan kan het volgende gebeuren:

Ongelooflijk maar waar. Deze figuur acht-oplossing werd gevonden door Cris Moore in 1993, zie ook zijn website. Wiskundigen spreken in zo'n geval niet over de baan van de 3 lichamen, maar wel over de choreografie.

In de volgende drie recent verschenen boeken speelt chaos een rol.
  


 

chaos
Richard Kautz, Chaos. The Science of Predictable Random Motion. Oxford University Press (2011) 369 pagina's.

In dit boek wordt op een niet al te moeilijke manier aan de lezer duidelijk gemaakt wat chaos precies is. En hoe je bijvoorbeeld chaos aan den lijve kan ervaren in de kermisattractie die Tilt-a-Whirl heet. Het boek gaat tamelijk ver, tot Lyapunov-exponenten, fractalen, Hausdorff-dimensies, vreemde attractoren enzomeer. Enige wiskunde-voorkennis is gewenst, hoewel de auteur zijn best doet om alles wat hij gebruikt van wiskunde eerst uit te leggen. Ook wat fysica-voorkennis, meer bepaald op gebied van elektriciteit, is nuttig. Leuk is wel dat ook het historische kader geschetst wordt. 


Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Ο  
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο




number crunching
Paul J. Nahin, Number Crunching. Taming Unruly Computational Problems from Mathematical Physics to Science Fiction. Princeton University Press (2011) 376 pagina's.

Dit is een moeilijk boek dat thuishoort in de categorie computationele fysica. Nahin behandelt in dit boek een aantal problemen waarbij nogal wat rekenwerk komt kijken, zoals bijvoorbeeld het 3-lichamenprobleem. Nahin is ingenieur elektrotechniek, en dat laat zich wel voelen in zijn boek, meer bepaald in de keuze van de onderwerpen. Als je zelf ook zo'n diploma hebt: dat helpt. Hoe moeilijk het boek ook is, het blijft leuk door de manier waarop het gebracht wordt, iets wat we ondertussen gewoon zijn van Nahin. 

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Θ
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο Ο




getalmysteries
Marcus du Sautoy, De getalmysteries. Een wiskundige reis door het dagelijks leven. Uitgeverij Nieuwezijds (2011) 255 pagina's.

Hier kan u het bovenstaande verhaal over Henri Poincaré nog eens beluisteren, maar dan verteld door Marcus du Sautoy. Zijn meest recente boek De getalmysteries is een absolute aanrader. Du Sautoy is een meesterverteller, en hij heeft het in dit boek over de vijf grote onopgeloste raadsels (ondertussen is er 1 minder, zie boven) uit de wiskunde waarmee je een miljoen dollar kan verdienen. Je leest er over de vorm van een voetbal, over optimale stapelingen, over hoe winnen met de lotto, en hoe je je verhuiswagen moet laden zodat er zoveel mogelijk in kan. Je leert er hoe de beveiliging van credit-kaarten werkt (met priemgetallen!), en nog zoveel meer. 


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο





Geschreven in Boekenrubriek | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Quaternionen?

09. Augustus 2011, 11:48

De maand juli is voor mij traditioneel een leesmaand, en ik geef het graag toe, een deel van de boeken in mijn leesmand zijn wiskundeboeken. Vooral Nederlandstalige dit jaar, wat wel eerder spectaculair is. In deze rubriek wil ik het hebben over 4 recent verschenen boeken die met wiskunde te maken hebben.

Het Nederlandse wiskundetijdschrift voor jongeren, Pythagoras, bestaat dit jaar precies 50 jaar. Het werd opgericht in 1961 door Bruno Ernst (de man van de onmogelijke figuren) en richt zich vooral tot scholieren.

1985

1995

2011

Het is met de jaren letterlijk en figuurlijk groter geworden. Naar aanleiding van hun 50-jarig bestaan heeft de redactie een bloemlezing gemaakt, een boek gevuld met stukken die in het tijdschrift verschenen zijn. Ze zijn onderverdeeld in een aantal thema's: denkertjes, geschiedenis van de wiskunde, puzzels en spellen, wiskunde en kunst, meetkunde, getallen, en dionigma's (opgaven bedacht door Dion Gijswijt), kortom, voor elk wat wils. Kenmerk dat bijna alle stukjes in dit boek bezitten: speels.


cover
Alex van den Brandhof, Jan Guichelaar, Arnout Jaspers, De Pythagoras Code. Uitgeverij Bert Bakker (2011) 271 pagina's.

Een absolute aanrader als je interesse hebt voor wiskunde, en geen absolute leek bent in dit gebied. Interessante artikels worden afgewisseld met puzzels en spellen die allemaal iets wiskundigs hebben. Korte teksten, met mooie illustraties. Geschreven door o.a. Frits Beukers, Jan van de Craats, Jan Aarts, Bruno Ernst,... Over o.a. sangaku, Dudeney's scharnierpuzzel, Srinivasa Ramanujan, kettingbreuken,...



Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο



Heeft u al ooit van quaternionen gehoord? Om quaternionen te kunnen begrijpen, moeten we een weg afleggen die vertrekt bij de reële getallen, en loopt langs de complexe getallen, om te eindigen bij een brug in Dublin. Reële en complexe getallen waren bekend toen de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton (1805-1865) leefde. Hamilton wist dat complexe getallen handig gebruikt kunnen worden om in het vlak draaiingen (rotaties) omheen een punt te beschrijven.

rotatie

Wat hij wilde vinden was een manier om in de ruimte draaiingen rond een as te beschrijven, want dat is nuttiger dan in het vlak. Daarvoor zocht hij een uitbreiding van de complexe getallen - een complex getal bestaat uit twee componenten, en twee is ook de dimensie van het vlak, maar de ruimte heeft 3 dimensies, dus ging hij op zoek naar een nieuw soort 'getallen' met drie componenten, maar vond die niet.
Tot hij op een dag in 1843, zo gaat het verhaal, langs Broom Bridge in Dublin wandelde en het licht zag: 4 componenten hebben we nodig! Hamilton was zo wild enthousiast dat hij de belangrijkste formules aanstonds in die brug beitelde:

Broom Bridge

en dadelijk bij de Ierse posterijen een postzegel liet drukken:

stamp

De quaternionen waren geboren. Alle quaternionen samen vormen een structuur die in de wiskunde een ring genoemd wordt. Ze hebben bovendien de merkwaardige eigenschap dat het product van twee ervan afhangt van de volgorde van de factoren. Zoals je kan zien op de postzegel: i maal j is niet gelijk aan j maal i.
Over ringstructuren in de wiskunde gaat het nieuwste boek van Arno van den Essen. Zijn vorige boek, over magische vierkanten, hebben we hier al besproken.


cover

Arno van den Essen, Nieuwe getallenstelsels. Uitgeverij Veen Magazines (2010) 298 pagina's.

Dit boek gaat over andere getallenstelsels dan dat van de gewone reële getallen waarmee we elke dag rekenen. De complexe getallen spelen er een hoofdrol. De rode draad is het begrip ring. Er komt heel wat wiskunde in voor, maar de auteur brengt het op een aangename manier door wat theorie af te wisselen met historische notities, en met wat je met die dingen praktisch kan doen (quaternionen worden o.a. gebruikt in computergames). Je leest er over RSA, de laatste stelling van Fermat, foutenverbeterende codes, en nog veel meer. Een erg goed boek voor iemand met wat wiskundige achtergrond.


Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο



Ook in het volgende boek spelen ringen een grote rol, en je kan er ook lezen over quaternionen. In Getallen zijn je beste vrienden van Vincent van der Noort vind je bijna alles wat je als wiskundige kwijt kan in een gezelschap van niet-wiskundigen, en nog veel meer. Je loopt het gevaar dat de mensen van dit gezelschap die je niet goed kennen, je als nerd bestempelen, vandaar waarschijnlijk de ondertitel van het boek: ontboezemingen van een nerd.
Maar eigenlijk gaat het over dit:

proof

Je weet eerst niet waar van der Noort naartoe wil. Hij heeft het over getallen, en over de gulden snede, over vierdimensionale kubussen, en over constructies met passer en liniaal, over wiskundige spelletjes en bewijzen, en over kusgetallen en wikkelgetallen. Maar toch blijkt alles op een merkwaardige manier samen te hangen, en bovendien verband te houden met het onderzoek dat de auteur deed en dat leidde tot een doctoraat.



cover

Vincent van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden - ontboezemingen van een nerd. Athenaeum - Polak & Van Gennep (2011) 309 pagina's.

Een heerlijk boek! Van der Noort slaagt erin om de lezer op een vlotte en humoristische manier in te wijden in moeilijke dingen uit de wiskunde. Het boek bevat weinig formules, en je moet dan ook niet veel van wiskunde kennen (denk ik) om ervan te kunnen genieten. De titel geeft goed weer waar het over gaat - over allerlei soorten getallen en waar je ze tegenkomt in de wiskunde. Een absolute aanrader!
Het enige minpunt wat mij betreft is het ontbreken van een index, nuttig als je later iets wil nalezen.


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο



Tot slot een biografie. Gauss, Prins der wiskundigen en veelzijdig wetenschapper van Rossana Tazzioli is pas verschenen in de reeks Wetenschappelijke biografie van Natuurwetenschap & Techniek. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) hebben we al ontmoet in verband met Sophie Germain.

gauss

Hij is ongetwijfeld een van de grootste wiskundigen die ooit geleefd heeft. Maar hij publiceerde weinige van zijn vondsten. Zo had hij bijvoorbeeld al in 1819 de quaternionen uitgevonden, lang voor Hamilton dus.


cover

Rossana Tazzioli, Gauss. Prins der wiskundigen en veelzijdig wetenschapper. Veen Magazines (2011) 158 pagina's.

Deze biografie van Carl Friedrich Gauss is een vertaling uit het Italiaans van een boek uit 2002 met dezelfde titel. Het boek is goed geschreven en ook goed vertaald. Het geeft een helder beeld van leven en werk van deze grote wiskundige. Het is ook erg mooi uitgegeven zoals we gewoon zijn in deze reeks (en het bevat een erg uitgebreide index;-).


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο





Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


La petite histoire des mathématiques

17. Februari 2011, 20:01

Voor wiskundigen is de geschiedenis van hun vak natuurlijk uitermate interessant. Het loont de moeite na te gaan hoe alles precies ontstaan is. Ook bij het lesgeven blijkt kennis van de geschiedenis van de wiskunde nuttig: het hoeft niet altijd even strikt, en dan zijn de wiskundigen die leefden vóór de uitvinding van de strikte wiskunde vaak goede leermeesters. Ook de petite histoire komt nu en dan wel eens van pas in de lessen.
Het bekendste voorbeeld is
waarschijnlijk de geschiedenis van Pierre De Fermat (1606/7-1665), die in 1637 in de kantlijn van een boek van Diophantus schreef dat hij van de stelling die net op deze postzegel past:

PdF

een wonderbaarlijk bewijs gevonden had maar dat het niet paste in die kantlijn. Tot 1994 is er gezocht naar een bewijs van deze Laatste Stelling van Fermat. Nu nog is men op zoek naar het bewijs dat Fermat zogezegd had.

Fermat

Minder bekend is het verhaal van John Wallis (1616-1703) en William Brouncker (1620-1684). Van Wallis hebben we al eens zijn productformule voor het getal pi besproken:

pi

Brouncker kennen we door zijn kettingbreuk voor datzelfde getal:

brouncker

Wallis liet zijn productformule zien aan Brouncker, en deze leidde er de eerste kettingbreuk uit af. Hoe hij dat precies gedaan heeft, daar hebben we het raden naar. En sindsdien wordt er ijverig gezocht naar de manier waarop. Ook Euler heeft geprobeerd dat te achterhalen. Tot nu toe blijven alle pogingen zonder succes. Hoe moeilijk kan het zijn, we spreken hier over de tijd waarin de moeilijkste wiskunde bestond uit het rekenen met breuken...
Tip voor wiskundigen: kijk zeker eens naar de video van de Christmas Tree Lecture van Stanford University van 2010, gegeven door computerwetenschapper Donald Knuth (1938- ) (vooral bekend als vader van de tekstverwerker LaTeX). Hij laat zien waarom het product van Wallis het getal pi oplevert: Why pi?
Wallis is vooral bekend voor zijn Wig van Wallis, een driedimensionaal lichaam dat er vanuit verschillende richtingen bekeken totaal anders uitziet. Het is de oplossing van het raadsel:

wig

Een kurk is zo gesneden dat hij in elk van de drie gaten past en elk gat geheel kan verduisteren.
Hoe ziet zo’n kurk eruit?

Dan is er natuurlijk ook de ruzie tussen Gottfried Leibniz (1646-1716) en Isaac Newton (1643-1727): wie was eerst? Wie was de echte uitvinder van de calculus? Hier zie je een blad uit de Principia van Newton met in de marge notities van de hand van Leibniz:

principia

Over dit fait divers (?) zijn verschillende boeken geschreven.

Verder zijn er ook nog de verhalen over bijvoorbeeld Archimedes en zijn cirkels in het zand, over Tartaglia en Cardano en de oplossing van de derdegraadsvergelijking, over Galois die omkwam in een duel, over de huishoudster van Riemann die al zijn papieren met berekeningen weggooide na zijn dood, over het rekenwonder Von Neumann, over de Indische wiskundige Ramanujan en zijn notebooks, over waarom er geen Nobelprijs voor wiskunde is? Was dit echt omdat de vrouw van Alfred Nobel een verhouding had met de wiskundige Gösta Mittag-Leffler?

Dit allemaal als inleiding op een boekbespreking van drie boeken die met geschiedenis en wiskunde te maken hebben.



Het eerste boek is een combinatie van mythische geschiedenis en wiskunde. De auteur, Michael Huber, gebruikt de 12 werken van Hercules als kapstok om allerlei wiskundige problemen aan te hangen. Wellicht zou Hercules het er nog beter vanaf gebracht
hebben indien hij wat meer wiskunde kon gebruiken.
Het boek bestaat uit 12 hoofdstukken, voor elk werk van Hercules 1. Je krijgt telkens eerst een citaat van Appolodorus van Athene, uit het hem (waarschijnlijk ten onrechte) toegeschreven boek De Bibliotheek. Hier worden dan een of meerdere opgaven aan verbonden, die vaak uit de fysica komen, maar soms ook gewoon wiskundig zijn.
Een voorbeeld:
Nadat ze gevangen zijn genomen door Hercules en zijn bende, smeken de zonen van Minos voor het behoud van hun leven en dat van hun manschappen. Hercules wil twee van hen sparen en laat hen een cirkel vormen, en hij doodt dan elke derde man in deze cirkel tot er nog twee overblijven. In de veronderstelling dat we beginnen met 41 man, waar moeten de twee die hopen te overleven dan gaan staan in deze cirkel?
(Dit probleem staat in de wiskunde bekend als het Josephusprobleem.)

mythematics
Michael Huber, Mythematics - Solving the 12 Labors of Hercules.
Princeton University Press (2009) 183 pagina's.

Dit mooi uitgegeven boek bevat een aantal leuke problemen die wel niet altijd even eenvoudig zijn, en wel iets hoger grijpen dan de wiskunde van het secundair onderwijs. Er staan ook telkens uitgewerkte oplossingen bij. Omdat bij het begin van de oplossingen het citaat van Appolodorus herhaald wordt, is er nogal wat plaatsverlies in dit toch niet al te dikke boek. 

Wel een origineel idee, de combinatie mythes-wiskunde. Maar wie precies het doelpubliek is van dit boek, dat is niet duidelijk. Misschien iets voor ingenieursstudenten?

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο




Het tweede boek is een echte geschiedenis van de wiskunde, zoals de ondertitel zegt: vanaf de wetenschappelijke revolutie (1600) tot (het begin van) de twintigste eeuw. Vreemd genoeg is het de vertaling van deel twee van de oorspronkelijke Duitse versie.  Het leuke eraan is dat de auteur alles wat hij bespreekt kadert in wat er in die tijd in de maatschappij gebeurde, en ook op cultuurhistorisch gebied
.

geschiedenis van de wiskunde
H. Wussing, Geschiedenis van de wiskunde - Vanaf de wetenschappelijke revolutie tot de twinstigste eeuw.
Veen Magazines (2009) 335 pagina's.

Ook een prachtig boek. Maar het feit dat het origineel in het Duits geschreven is, is toch nog erg merkbaar. Het leest eigenlijk niet zo vlot, het kan ook aan de vertaling liggen. 

Maar het oogt prachtig, is zeer verzorgd uitgegeven. Hier en daar vind je een tijdsband, en erg opvallend is dat op elk blad in het groot een jaartal staat - belangrijkste datum van dat blad?  De formules zijn wel niet altijd even mooi. En er staan ook heel wat kleine tikfoutjes in.

Zeker een aanrader voor wie interesse heeft voor deze periode in de geschiedenis van de wiskunde

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο




Het derde boek is geschiedenis en wiskunde samen. Het is gebaseerd op een verhaal van Voltaire,
Micromégas, over een buitenaardse reus (van Sirius) die de aarde bezoekt, en daarbij botst op een schip vol wiskundigen. Op het einde van het verhaal geeft de reus hen een afscheidsgeschenk: een boek met de antwoorden op alle vragen in het universum.
Voltaire wilde graag zelf wiskundige zijn, maar dat is hem niet gelukt. Hij had een geweldig respect voor wiskundigen, zeker als het Engelse wiskundigen waren, zoals bijvoorbeeld Newton. Voltaire heeft in dit verband het verhaal van de appel en de zwaartekracht op papier gezet. Zijn vriendin, de wiskundige Émilie du Châtelet, vertaalde als eerste de Principia van Newton in het Frans, en Voltaire stond haar daarin bij. Samen met haar won hij de tweede prijs in een wedstrijd uitgeschreven door de Académie des Sciences (Euler won).

Het boek is een beetje vergelijkbaar met Mythematics, in die zin dat het verhaal van Voltaire gebruikt wordt om uit te weiden over allerlei wiskundig-wetenschappelijke zaken die er verband mee hebben.

geschiedenis van de wiskunde
Andrew Simoson, Voltaire's Riddle: Micromégas and the Measure of All Things.Mathematical Association of America (2010) 377 pagina's.

Een origineel boek, ook erg mooi uitgegeven.  Het boek begint met een geannoteerde Engelse vertaling van het verhaal van Voltaire. Dit wordt gevolgd door een aantal hoofdstukken die over dingen gaan die rechtstreeks of onrechtstreeks verband houden met het verhaal. Bijvoorbeeld over de wetten van Kepler en de baan van de komeet met dewelke de reus naar de aarde komt. Over de vorm van de aarde. Over hypocycloïden en cycloïden en Dürer. Je leest er over Flatland, en over fractalen. Over de waarde van het getal pi in het boek Koningen van de Bijbel.
Op het einde van elk hoofdstuk staan er oefeningen, die stuk voor stuk interessant zijn, maar niet gemakkelijk. Ook de oplossingen van de oefeningen vind je terug. 

Een moeilijk boek, maar zeker de moeite waard. Niet enkel voor wiskundigen.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο





Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Bas en het wiskundemeisje

05. Januari 2011, 17:04

Het is dan wel niet voor 100% ok, maar je hebt er toch wel wat aan, vind ik. Van een aantal eigenschappen uit de wiskunde bestaan er Bewijzen zonder woorden. Het zijn tekeningen die de bedoeling hebben je te laten inzien dat een bepaalde eigenschap klopt. Zonder woorden dus.
Bijvoorbeeld, om de stelling van Pythagoras te laten inzien, helpt het volgende figuurtje wel:



(we hebben het al gebruikt in een andere bijdrage hier). Je moet er wel even bij nadenken natuurlijk...
Kennen jullie de stelling van Viviani? Deze stelling zegt dat als je een punt kiest in een gelijkzijdige driehoek, dat de som van de afstanden van dit punt tot de drie zijden van de driehoek precies gelijk is aan de hoogte van de driehoek. Hier is een bewijs:

viviani
viviani
viviani

Dit prachtige bewijs van de hand van Ken-ichiroh Kawasaki dateert van 2005. Ook hier moet je wel even denken om het door te hebben.
De volgende vind ik persoonlijk wel erg goed geslaagd. Het gaat nu over oneindige sommen, dus je zou kunnen zeggen iets hogere wiskunde:

som van een meetkundige reeks
 
Ook deze kan ik erg smaken (al is misschien een van de redenen dat het getal π erin voorkomt). Het bewijs van een Bgtg-identiteit:

Bgtg

(van de hand van Edward E. Harris, en uit 1987).
Nog enkele andere, de eerste is al meer iets voor wiskundigen:

binom
stelling
 
van L. Larson, uit 1985. Misschien toch een tip hier: als je niet mee bent, kijk dan even bij wolfram.
En dan een verwante, in vier stukken:

som van de kwadraten

som van de kwadraten

som van de kwadraten

som van de kwadraten

Het is een 'bewijs' voor de formule die de som van de kwadraten van de eerste n natuurlijke getallen geeft:

som kwadraten

Denk er maar eens over na.

Voor de geïnteresseerden: Roger Nelsen schreef verschillende boeken vol met zo'n Proofs without words.

Er is natuurlijk een verband met sangaku's, maar die zijn nog net iets anders.

Waar leidt dit nu naartoe? Naar een nieuw boek, van Ionica Smeets en Bas Haring. Een boek waar niet extreem veel wiskunde in te vinden is, maar wel wetenschap. Het bestaat uit korte stukjes, een bloemlezing dus. Telkens een citaat, vaak van een wetenschapper, over een bepaald onderwerp, waarmee die er in slaagt de zaak zonder meer duidelijk te maken. Van Charles Darwin tot James Watson, van Charles Dickens tot Jean Paul Van Bendegem. Het boek begint met een wel erg toepasselijk citaat van George Orwell, waarin het eigenlijk gaat over de politieke taal in Engeland 'die gemaakt is om leugens waar te doen klinken'. Een van de tips van Orwell is:

Als schrappen mogelijk is, doe het dan.

Dat hebben we hierboven alvast geprobeerd.



logicomix
Ionica Smeets en Bas Haring. Vallende kwartjes. Een slimme selectie van leesbare wetenschap. 
Nijgh & Van Ditmar (2010) 240 pagina's.

In dit leuke boek staan korte verhaaltjes over wetenschap, vaak van vooraanstaande wetenschappers die iets willen uitleggen, of op een of andere manier duidelijk willen maken. De stukjes zijn ondergebracht in hoofdstukken, zo'n beetje per manier van uitleggen (gedachte-experimenten, proefjes, ..., rafelrandjes). Het boek bevat zoveel informatie, dat je het niet in een dag doorleest. Het past perfect als bedside table book, eentje of twee voor het slapengaan (of voor het ontbijt) om je dag goed af te sluiten (of te beginnen). 

Bas Haring is bijzonder hoogleraar in het uitleggen van wetenschap (aan de universiteit van Leiden), een functie die volgens mij in België niet bestaat. Hij is hier vooral bekend van het boek Kaas en de evolutietheorie (Gouden Uil voor jeugdliteratuur 2002).

En Ionica Smeets kennen we natuurlijk als een van de wiskundemeisjes.

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο


 



Geschreven in Boekenrubriek | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Wiskunde is in

17. November 2010, 21:30

Dat lijkt toch zo als we even kijken op de website van een uitgeverij die een top 10 publiceert van hun best verkochte boeken van de afgelopen week. De plaatsen 1, 2 en 3 in deze top 10 worden ingenomen door boeken die in mindere of meerdere mate over wiskunde gaan. 

Op 1 staat Het Wiskundeboek, van Clifford A. Pickover, een prachtig boek dat we recent besproken hebben in deze blog, en een absolute aanrader.

Op de tweede plaats vind je een boek over de gulden snede (zie verder) met als titel De geheime code, een boek over een onderwerp dat we hier al bekeken hebben, en dat ook tot het interessegebied behoort van niet-wiskundigen. Lees in dit verband zeker de bijdrage die door Charlotte Vlek geplaatst werd op de (Eos)blog Science Palooza.
golden triangle

Op de derde plaats dan staat een boek over algebra, van Michael Willers. De Engelse titel is A Bedside Book of Algebra:

algebra engels
 
en het past dus in elk huis, en ook in het rijtje: we hadden namelijk al een Coffee Table Book op de eerste plaats.

Interessant is wel dat de volgende drie boeken in de top 10
(de plaatsen 4, 5 en 6 dus) over breien en naaien gaan, praktische onderwerpen die het dus niet kunnen halen tegen de alomtegenwoordige wiskunde.

Behalve de drie al vermelde boeken vind je bij diezelfde uitgever ook nog andere boeken die iets met wiskunde te maken hebben, bijvoorbeeld een biografie van Galileo Galilei (geschreven door David Whitehouse). Een overzicht:
  


weetlogs.scilogs.be/gallery/11/
Prya Hemenway, De geheime code. De gulden snede als goddelijke verhouding in kunst, natuur en wetenschap. Librero Nederland (2008) 204 pagina's.

Het getal phi wordt ook wel de goddelijke verhouding, of de verhouding van de gulden snede genoemd. In dit prachtig uitgegeven boek laat de auteur ons zien dat je die verhouding, dat getal phi, overal tegenkomt, niet alleen in de wiskunde en de wetenschappen, maar ook in de architectuur, en in de natuur. (Zelfs in de literatuur, bijvoorbeeld in de Da Vinci Code van Dan Brown;-)
Je kan het boek hier inkijken.


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο  
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score inhoud: Θ Θ Ο Ο Ο
Score vorm: Θ Θ Θ Θ Ο




algebra
Michael Willers, Algebra van vectoren tot variabelen: het ABC van X plus Z.
Librero Nederland (2010) 176 pagina's.

Dit boek staat op dit ogenblik in België op de derde plaats in de Ramsj Top 10 Non-fictie van een bekende ramsj-boekhandel (in Nederland staat het pas op de vijfde plaats). Het gaat over algebra, en is niet bedoeld voor wiskundigen, maar eerder voor mensen die wiskunde, en meer bepaald algebra, nog wel leuk vonden/vinden. Het gaat net iets verder dan wat we vroeger op school leerden, er komt bijvoorbeeld ook wat geschiedenis bij te pas. Een aangenaam boek. 

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο




geheime geometrie
Stephen Skinner, Geheime geometrie. Mysterieuze wetten van de heilige geometrie in kunst, natuur en wetenschap. Librero Nederland (2010) 160 pagina's.

Op de achterkant lezen we o.a. dat in dit boek de heilige eigenschappen van getallen worden uiteengezet, en dat de geometrie van heilige plaatsen erin wordt bestudeerd. Je merkt het al, de inhoud leunt meer aan bij mystiek dan bij wiskunde. Toch komt er ook wel wat wiskunde bij kijken: Euclides, Pythagoras, de getallenrij van Fibonacci, de drie Delische problemen uit de oudheid, de platonische lichamen en nog veel meer komt aan bod. Maar de auteur heeft het bijvoorbeeld ook over Stonehenge, graancirkels en de goddelijke verhouding. 


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score inhoud: Θ Θ Ο Ο Ο
Score vorm: Θ Θ Θ Θ Ο





Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Leonhard, Emmy, Sophie en de anderen

05. Juli 2010, 21:23

Nu de hondsdagen weer zijn aangebroken, is het leuk om met een boek de koelste plaats in het huis op te zoeken. Vandaar een keuze uit recente boeken die je nu in de boekhandel kan vinden (of bestellen), en die niet zo zwaar zijn dat ze de titel vakantielectuur niet kunnen dragen.
Er zijn twee categorieën.

Geromantiseerde biografie
Het eerste boek gaat over de wiskundige familie Bernoulli,en ook over Leonhard Euler,die met veel van de Bernoulli's goede contacten had. Zijn beste vriend was waarschijnlijk Daniel Bernoulli (maar als hij een brief naar Daniel schreef, dan begon die zo:

euler

en werd hij zo afgesloten:

euler

Rare snaken, rare tijden.)
Heb je interesse voor die mensen, dan is dit boek zeker een aanrader. Of alles wat er in staat werkelijk gebeurd is, dat weten we niet. De auteur, Margaret Tent, zijn we vroeger al eens tegengekomen in de eerste blog van deze boekenrubriek, met een boek over Gauss. 

  


euler
Margaret B. W. Tent, Leonhard Euler and the Bernoullis.
A K Peters Ltd (2009) 276 pagina's.

Dit vlot leesbare boek volgt de protestantse familie Bernoulli vanaf het ogenblik dat ze moeten vluchten uit Antwerpen voor de hertog van Alva, en glijdt dan geleidelijk over in een biografie van Leonhard Euler. De broers Johann en Jacob Bernoulli waren toonaangevende wiskundigen in hun tijd. Johann's zonen Daniel en Nicolaus waren goed bevriend met Leonhard Euler, en werkten samen met hem aan de Academie in Sint-Petersburg. Deze vijf wiskundigen vormen de basis van deze geromantiseerde biografie.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο




Het tweede boek is over Emmy Noether (1882-1935), de Duitse wiskundige, moeder van de abstracte algebra, bekend van de stelling van Noether en de Noetherse ringen.

noether


Noether ging wiskunde studeren in een tijd dat dit nog niet evident was voor een vrouw. Ze volgde hierbij les bij grootheden zoals Klein,Minkowski, en Hilbert, en ze onderhield contacten met o.a. Hermann Weyl, Emil Artin, Bartel van der Waerden.



noether
Margaret B. W. Tent, Emmy Noether. The Mother of Modern Algebra.
A K Peters LTD (2008) 177 pagina's.

Margaret Tent probeert in dit boek een beeld te geven van het leven van Emmy Noether, en dit in de vorm van een geromantiseerde biografie. Spijtig genoeg is het leven van Noether blijkbaar nooit zo spannend geweest dat het leidt tot interessante lectuur. Je krijgt wel een beeld van de tijdsgeest van rond de eeuwwisseling (1900) in Duitsland. 

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Ο Ο Ο Ο




Sophie Germain (1776-1831) (klik hier voor een meer wiskundige biografie) heeft in Parijs zowel een straat als een hotel die naar haar genoemd zijn: de rue Sophie Germain in het 14de arrondissement, en het Sophie Germain Hotel (niet te verwarren met het Hilbert Hotel;-).

rue germain hotel germain

Het bekendste verhaal over Germain is hoe ze onder het pseudoniem M.LeBlanc Carl Friedrich Gauss redde van een gewisse dood, en daardoor ineens ook haar dekmantel kwijtraakte. Je leest het hier (of ook hier). 
Een van de experimenten in de lessen fysica die ik me nog herinner uit mijn schooltijd, is dat van een horizontale metalen plaat waarop zand ligt, die tot trilling gebracht wordt. Daardoor vormen de zandkorrels patronen, die Chladni-figuren genoemd worden.

chladni


Dit fenomeen heeft Sophie Germain bestudeerd. Ze deed verder ook onderzoek in de getaltheorie, meer bepaald op het gebied van de laatste stelling van Fermat. Hier verrichtte ze baanbrekend werk. Er is ook een rij priemgetallen naar haar genoemd, en daarmee plaatst ze zich in het illustere gezelschap van Mersenne en Fermat.

sophie germain

Een boeiende figuur!



sophie germain
Dora Musielak, Sophie's Diary.
AuthorHouse (2008) 237 pagina's.

In dit fictieve dagboek volgen we Sophie Germain tijdens de woelige jaren van 1789 tot 1793, van haar dertiende to haar zestiende levensjaar. Ze komt in contact met wiskunde, wordt hierbij wat tegengewerkt, vooral door haar moeder, maar zet toch door. Dit is een erg leuk boek, dat de ontdekkingstocht in de wiskunde van een meisje van 15 kadert tegen de politieke achtergrond van Frankrijk in de jaren rond 1789.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο




De tweede categorie zou kunnen zijn:

Wiskunde algemeen
Het klinkt misschien saai, maar dat zijn deze boeken allerminst.

Om te beginnen een boek van de hand van jounalist Alex Bellos, die sinds jaren columns schrijft over alledaagse wiskunde voor de krant The Guardian, zo kan je tenminste lezen op de achterkant van het boek. De Engelse titel van het boek is Alex's Adventures in Numberland, of als je de oceaan oversteekt Here's Looking at Euclid, met als ondertitel Dispatches from the Wonderful World of Mathematics of A Surprising Excursion Through the Astonishing World of Math.

bellos bellos

Niet alleen heeft het boek verschillende titels, de inhoud is ook erg verscheiden. Enkele dagen geleden gaven wij (Rudi en ik) met ons tweeën nog een voordracht over krommen van constante breedte, en het nut ervan bij het boren van vierkante gaten, toch niet zo'n alledaags onderwerp, en jawel hoor, ook dit komt voor in het boek. Kortom, de auteur is gefascineerd door allerlei dingen waar wij ook wel iets in zien.
Sta me toe even Martin Gardner te citeren over dit boek:
With humor and profound insights, and an emphasis on elegance and surprise, Alex Bellos has written a truly marvelous survey of modern mathematics. From the mysteries of numbers he plunges into startling aspects of geometry, probability, infinity, non-Euclidian geometry, statistics, origami, and a thousand other wonders of numberland. It is a book that would have delighted mathematician Lewis Carroll. It is a book that will similarly delight anyone tuned to what Bertrand Russell once called the "cold, austere beauty" of mathematics—an incredible region where, unlike fallible science, assertions are true forever and in all possible worlds.
Maar ja, want kan je anders zeggen over een boek waar je zelf in figureert.



bellos
Alex Bellos, Getallen ontraadseld. Alles wat je moet weten over wiskunde.
Kosmos Uitgevers, Utrecht/Antwerpen (2010) 432 pagina's.

Enkele onderwerpen die aan bod komen: Achilles en de schildpad - rekenkundige vermogens van baby's - tangrampuzzels - Eschers cirkellimieten - Erik Demaine en Martin Gardner - scharnierende dissecties - de Great Internet Mersenne Prime Search - de kubus van Rubik - de harmonische reeks en overhangende bakstenen - het naaldenprobleem van Buffon - het getal pi - wiskundige puzzels - het tellen van schapen - telraamclubs - vriendschappelijk en volmaakte getallen.
Erg leuk dat zo'n boek in het Nederlands verschijnt.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο




Het volgende boek vond ik heerlijk om te lezen. Het begint al bij het openslaan. De opdruk aan de binnenzijde van de harde kaft ziet er zo uit:

piopdruk

Mensen die mij kennen, die beseffen nu waarschijnlijk dat dit al een goed begin is. Ik was dadelijk verkocht. Het feit dat dit boek geschreven is in onze derde landstaal, dat is een drempel die je moet overwinnen. Maar het loont. De inhoud lijkt wel een beetje op wat we proberen te doen in deze blog. Paul Erdös komt er in voor, en de wet van Benford, en Leonhard Euler en het Basel-probleem, en pi-dag, en ookhet getal i, en de vraag naar hoeveel priemgetallen er zijn. Formules komen er bijna niet in voor, de schrijver heeft het wel over formules in kranten, die vaak kant noch wal raken. En over bewijzen in de wiskunde en het boek Proofs from the Book waar hijzelf mede-auteur van is.
Günter Ziegler is een interessante figuur. Hier zie je hem (links) op enkele foto's. Op de eerste foto staat hij naast de auteur van De telduivel (een hoofdkussenboek voor iedereen die bang is voor wiskunde): Hans Magnus Enzensberger.

Ziegler en Enzensberger

ziegler en pi

Ziegler is wiskundige. Hij zorgde er bijvoorbeeld voor dat het jaar 2008 in Duitsland het Jaar van de Wiskunde werd. Hij ontving in datzelfde jaar o.a. daarvoor de Communicator-Preise, een prijs die gegeven wordt aan een wetenschapper die zich onderscheiden heeft in het toegankelijk maken van de wetenschap voor het grote publiek. Toen ik hem om een recensie-exemplaar van zijn boek vroeg, heb ik hem de volgende twee vragen gesteld:

Why did you write it?
I had had a book plan for a long time (going back to 2001 or so,when a publisher had asked me for a Maths book for young adults), but I didn't know how to adress "the reader" (since I didn't have a suitable 17-year old niece to think of). Then at some birthday of my own thinking about birthday presents I decided that I should write such a book for my friends (all of them interesting people, and interested in what I do, all of them educated of various degrees, but not mathematicians). This was a crucial insight, since telling them stories I found I did NOT have to justify myself for what I do -- I could assume that they ARE interested. And that helps enormously with writing.

What did you leave out at the last moment?
There were various parts in the original plan that could have made additional chapters, e.g. about mathematical high-tech and responsibility (is math responsible for the current financial crisis?). I did cut out what was difficult or less fun to write. One piece I cut out last-minute was a small section (in the last chapter) about "Meine sportlichen Erfolge" which looked a bit like bragging.
 
Günter Ziegler schrijft ook een wiskunde-blog voor scilogs.de.



ziegler
Günter M. Ziegler, Darf ich Zahlen? Geschichten aus der Mathematik.
Piper Verlag GmbH, München (2010) 272 pagina's.

Dit leuke boek bevat de volgende delen: Op de getallenstraal - Het oneindige verhaal van de priemgetallen - De wiskundige blik - Opgepast formules! - De kleine raadsels - Hoe wiskunde ontstaat - Het boek der bewijzen - Drie legendes - Wat zijn het voor mensen? - Wat wiskundigen kunnen. Elk deel bestaat dan weer uit kleine stukjes, die erg aangenaam lezen.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ O




Clifford Pickover is een geval apart. Hij schrijft bijna elk jaar een nieuw boek, en elk nieuw boek bevat een schat aan informatie. Zo ook dit prachtige Het Wiskunde Boek (oorspronkelijke titel The Mαth βook). Niet echt iets om mee op vakantie te nemen als je je verplaatst per vliegtuig, want het werk weegt toch wel zo'n 1,5 kg. Sla je dit boek op een willekeurige plaats open, dan krijg je wat uitleg en een beeld bij een van de 250 mijlpalen in de geschiedenis van de wiskunde die het boek bevat. De mijlpalen zijn gerangschikt op jaar, dus als je meer wil weten over de 20ste eeuw, dan zoek je meer naar het einde van het boek toe.
Bijvoorbeeld, op pagina 428 gaat het over het Superei van Piet Hein (ca. 1965). Je ziet dan ongeveer dit (in de oorspronkelijke versie):

pickover pickover

De laatste mijlpalen zijn gedateerd 2007. Achteraan in het boek vind je een uitgebreide literatuurlijst.
Opnieuw wil ik Martin Gardner citeren:
Clifford Pickover, prolific writer and undisputed polymath, has put together a marvelous reference work. Its 250 short entries provide a veritable history of mathematics by focusing on its greatest theorems and the geniuses who discovered them. Topics are chronological, starting with the calculating abilities of ants 150 million years B.C. and ending with Max Tegmark's recent conjecture that our universe is not just described by math, it is mathematics. Dr. Pickover's vast love of math, and his awe before its mysteries, permeates every page of this beautiful volume. The illustrations alone are worth the book's price.
Dit laatste is in dit geval zeker waar, het boek is een jubileumaanbieding naar aanleiding van 25 jaar uitgeverij Librero, en het kost slechts € 14,95.
 

pickover
Clifford Pickover, Het Wiskunde Boek. Van Pythagoras tot de 57ste dimensie, 250 mijlpalen in de geschiedenis van de wiskunde.
Librero Nederland (2010) 528 pagina's.

The title says it all. Dit boek hoort te liggen op elke salontafel, bovenop bijvoorbeeld Decoffee table aarde vanuit de hemel van Yann Arthus-Bertrand. Het is een echt Coffee table book (overigens een uitvinding van David R. Brower van rond de jaren 1960).  De coffee table in kwestie zou er dan ook best uit kunnen zien zoals op de bovenstaande foto.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score:  Θ Θ Θ Θ Ο






Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


De calculus van vriendschap

09. December 2009, 11:56

Het gebeurt eerder zelden dat ik een boek over wiskunde lees en daar al vanaf het begin een geweldige affiniteit mee voel.
Er zijn een aantal zaken die me altijd gefascineerd hebben. Een daarvan is een formule uit 1656. Als je de volgende rij getallen op dezelfde manier voortzet, waar kom je dan terecht?

rij van Wallis

Het verbazingwekkende antwoord is: uiteindelijk in pi/2. In de limiet heb je dan links een product met oneindig veel factoren, en rechts staat er dus pi/2. Dat wordt zo genoteerd:

formule van Wallis

Deze formule wordt de productformule van Wallis voor pi genoemd. John Wallis (1616-1703) was toevallig ook de eerste die ∞ als symbool voor oneindig gebruikte. De formule van Wallis is een van de oudste oneindige uitdrukkingen voor het getal pi. En toch erg nuttig. Een Japanse collega zei me onlangs in een e-mail: ik gebruik ook graag de productformule van Wallis om andere dingen mee te bewijzen.

Iets anders nu, wat is de waarde van de volgende integraal?

sinxopx

Ter aanvulling: de getalwaarde die deze integraal geeft is te zien als de oppervlakte van een vlakke figuur:

sinxopx

De waarde van de integraal is precies gelijk aan de som van de oppervlaktes van de rode vlakdelen min de som van de oppervlaktes van de groene, waarbij je er vanuit moet gaan dat de figuur naar rechts toe oneindig ver doorloopt.
Het antwoord is, al even verrassend, opnieuw
pi/2:

int waarde

Integralen berekenen heb ik geleerd in het secundair onderwijs, maar dit is er een die je niet op de gewone manier kan vinden. Een trukje is hier de oplossing, een trukje dat bekend staat als differentiating under the integral sign. In de wiskunde worden bepaalde trukjes zo vaak gebruikt dat we ze gerust kunnen opwaarderen tot "technieken".

Een laatste probleem dat ik altijd wel leuk heb gevonden, waar ik voor het eerst mee geconfronteerd werd in een les over programmeren: vier honden bevinden zich op de vier hoeken van een vierkant, en ze lopen naar elkaar toe. Elke hond loopt recht naar de hond die in tegenwijzerzin (of in wijzerzin zoals in de rechtse figuur) bekeken het dichtstbij is. Hun snelheden zijn precies gelijk.

vier honden curve of pursuit


Welke baan beschrijven de honden? Merk op dat ze zich op elk ogenblik op de hoekpunten van een (steeds kleiner wordend) vierkant bevinden. De vraag is dan: hoeveel afstand leggen de honden elk af voor ze samenkomen in het midden van het vierkant. Het antwoord is iets om over na te denken: de afgelegde afstand is gelijk aan de lengte van de zijde van het startvierkant.

Alle drie deze problemen vind je terug in een nieuw boek, dat de correspondentie bevat tussen een leerling en zijn leraar wiskunde. De brieven in kwestie gaan bijna uitsluitend over wiskunde, meer bepaald calculus, maar ze worden met de tijd meer persoonlijk. Een aanrader. De auteur, Steven Strogatz, heeft eerder al een boek geschreven over synchronisatie. Je kan hem aan het werk zien in dit leuke filmpje.

 

 

 

 





cover
Steven Strogatz,The Calculus of Friendship: What a Teacher and a Student Learned about Life while Corresponding about Math. Princeton University Press (2009) 166 pagina's.

Zoals de ondertitel belooft: leerling en leraar groeien naar elkaar toe in hun correspondentie over calculus-problemen. Om te begrijpen waar ze het over hebben, moet je wel wat wiskunde kennen. Maar dat hebben jullie in deze blog waarschijnlijk ook al gemerkt.


Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο




cover

Paul J. Nahin, Chases and Escapes. The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton University Press (2007) 270 pagina's.

Een boek voor lezers (met een goede wiskunde-achtergrond) die interesse hebben voor problemen zoals het Vier honden probleem. Het boek is zoals de meeste boeken van deze auteur een aangename afwisseling van geschiedenis en wiskunde!


Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

 





Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Is God een wiskundige?

04. Oktober 2009, 14:24

John E. Littlewood schreef ooit:
voor God aan de schepping begon, was hij een theoretische wiskundige.
 
En Paul Erdös, die we al kennen van een vorige blog, zei:
 
God dobbelt misschien niet met het heelal, maar er is iets vreemds aan de hand met de priemgetallen.
 
Veel bekender is de uitspraak van Leopold Kronecker:
 
God heeft de natuurlijke getallen geschapen, al de rest is het werk van de mens.
 
In zijn laatste boek stelt Mario Livio zich de vraag: hoe komt het dat wiskunde als taal zo effectief is om de wereld mee te beschrijven?
Een goede inleiding op zijn boek kan je lezen in een artikel uit 1998 dat verschenen is in het tijdschrift Science.
Het gebeurt wel vaker dat een wiskundige theorie pas veel later blijkt zeer goed gebruikt te kunnen worden in een of andere praktische toepassing, of dat een wiskundige theorie wordt uitgewerkt om bepaalde natuurverschijnselen te beschrijven, en dat de wiskunde leidt tot voorspellingen die later bevestigd worden. Denk bijvoorbeeld maar aan de algemene relativiteitstheorie van Einstein en de 'voorspelling' van de afbuiging van het licht.
Dan rijst al snel de vraag: is de wereld gebouwd op de wiskunde, of is het omgekeerd?

In ditzelfde kader: ook de link tussen de wiskunde en de natuur die gelegd wordt via het getal dat bekend staat als de gulden snede, is lichtjes bevreemdend. Kan een getal dat in deze vorm
 
repeated radical for gs
 
of in deze
continued fraction for gs
 
kan geschreven worden, en duidelijk een menselijke constructie is, zelfs eerder spielerei, kan zo'n getal ook werkelijk iets in de natuur beschrijven?
De waarde van het getal Φ, de gulden snede, is ook te berekenen op een meer eenvoudige manier:
 
phi
 
Dit getal is als volgt gedefinieerd: we verdelen een lijnstuk in twee delen P en Q (met P kleiner dan Q) op zo'n manier dat het kleinste deel zich verhoudt tot het grootste zoals het grootste zich verhoudt tot het volledige lijnstuk, dus
 
definitie phi
 
De gulden snede is dan gelijk aan Q/P. Uit deze vergelijking volgt dat we dit getal kunnen berekenen door een vierkantsvergelijking op te lossen.
We hebben namelijk:
 
berekening van phi

waarbij we in de laatste stap beide leden gedeeld hebben door het kwadraat van P.  Hier staat dus
 
vierkantsvergelijking voor phi
 
Over het oplossen van vergelijkingen lees je hier meer.
 
De gulden snede wordt te pas en te onpas in verband gebracht met een bepaald schoonheidsideaal, en veel boeken die over dit onderwerp zijn geschreven zijn dan ook niet erg wetenschappelijk gefundeerd.
 
spiral
spiral in nature


Mario Livio is een bekend sterrenkundige die werkt aan het STScI (het Space Telescope Science Institute) in Baltimore. Hij is hoofd van het Office of Public Outreach. In deze post gaat hij verder dan enkel de sterrenkunde bekend maken bij het grote publiek.



cover
Mario Livio, Is God a mathematician? Simon & Schuster (2009) 308 pagina's.

Deze vraag wordt bekeken doorheen de geschiedenis van de wiskunde/wetenschappen, van Pythagoras tot de twintigste eeuw, toen de wiskunde op haar grondvesten beefde door de resultaten van o.a. Kurt Gödel.
De auteur laat hierbij opvallend veel andere wetenschappers aan het woord, o.a. Nobelprijswinnaar Eugene Wigner die het heeft over the unreasonable effectiveness of mathematics.


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο




cover

Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number Broadway Books (2002) 294 pagina's.

Een boek over de gulden snede geschreven door een wetenschapper.

Vergelijkbaar in stijl met het vorige boek, in die zin dat het onderwerp behandeld wordt doorheen de geschiedenis. Livio maakt de lezer duidelijk dat er onder het mom van wetenschap veel onzin over dit getal verteld wordt.


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο



cover

Mario Livio, The Equation That Couldn't Be Solved. Simon & Schuster (2005) 353 pagina's.

De ondertitel van dit boek is: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry. Over hoe het zoeken naar oplossingen van vijfdegraadsvergelijkingen m.b.v. wortels heeft geleid tot de ontwikkeling van de groepentheorie. Grote rol in dit verhaal wordt gespeeld door de wiskundigen Niels Abel en Evariste Galois.


Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο





Geschreven in Boekenrubriek | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken