2012 Kort

19. Januari 2013, 09:57

De recente blogbijdrage van Reinout Verbeke over de egoïstische redenen van wetenschappers om te bloggen dwong ons tot een grondige zelfreflectie. Waarom doen wij het eigenlijk? Worden we gedreven door een missionaire drang om het mystieke wiskundeschrift te verspreiden onder alle ongelovigen en getraumatiseerden? Willen we later onder een plataan op een zonnig plein gebeeldhouwd staan met als onderschrift "zij leerden hun volk niks bruikbaars"? Bloggen we voor ons, of voor onze eenzaamheid? Of zijn we heimelijk enkel uit op een gratis Eos-abonnement?
Wat onze boekenrubriek betreft, daar is het antwoord eenvoudig: we kunnen er gewoon niet over zwijgen, over al die toch zo interessante boeken over wiskunde die verschijnen. Het zijn er meer dan ooit, en er moet dus wel een markt voor zijn.

Het labyrint van Occam, Guesstimation 2.0, Wiskunde in beeld, Mathematics Galore, Why Cats Land on their Feet, dit zijn de titels van (nog) vijf boeken die in 2012 verschenen zijn. Positief bij elk van deze boeken is dat ze opgebouwd zijn uit allemaal korte stukken, die je los van elkaar kan lezen. Dat is ideaal voor tussendoor, bijvoorbeeld tijdens een reclameblok op TV, of voor in je bed, als je nog snel iets wil bijleren voor het slapengaan. We bekijken ze even een voor een.

Voor de puzzelaar
Arnout Jaspers schreef een puzzelboek, het labyrint van Occam. Het boek bevat allerlei puzzels die je door redeneren kan oplossen, en daarbij hanteer je best het principe van het Scheermes van Occam. William of Ockham was een franciscaner monnik en filosoof die leefde in de veertiende eeuw. Volgens het Scheermes van Occam is de beste oplossing voor een probleem die oplossing die de minste aannames veronderstelt. Probeer dus niet te verdwalen in de doolhof, maar zorg ervoor dat je met de juiste methode recht naar de uitgang loopt.
De puzzels in het boek zijn erg origineel, niet alleen wat betreft hun naam: hoofdbrekenen, vlinken, dexteramputatrie, proteïnevouwen,... Korte puzzels, maar de oplossing is dat niet altijd. Het boek is ingedeeld in 4 verdiepingen, hoe hoger je komt, hoe moeilijker de puzzels. Je vindt er bijvoorbeeld de volgende Sangaku:

(zoals je wellicht wel weet is het bij een Sangaku de bedoeling dat je uitvist welke stelling wordt voorgesteld in de figuur).

Arnout Jaspers, Het Labyrint van Occam. Breinbrekers voor alle wiskundeliefhebbers.
Uitgeverij Bert Bakker (2012) 191 pagina's.

Erg leuke en originele puzzels in dit boek, met oplossingen. Bij een aantal van de opgaven staat vermeld dat je er nog 'nader onderzoek' bij kan doen', en dan gaat het om mogelijke veralgemeningen of variaties van het probleem, die wel wat moeilijker zijn.

Arnout Jaspers is freelance wetenschapsjournalist. Tot voor kort was hij ook hoofdredacteur van het tijdschrift Pythagoras.

Enige minpuntje in het boek: er zijn geen paginanummers aangegeven bij de oplossingen, zodat je wel even moet zoeken. Maar het is natuurlijk niet de bedoeling dat je de oplossing te gemakkelijk terugvindt!

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: laten we in het midden
Score voor puzzelaars: Θ Θ Θ Θ Ο

Voor de rekenaar
Het tweede boek gaat over schatten, iets nauwkeurig gefomuleerd: over het schatten van aantallen/groottes. Om enkele voorbeelden te geven: hoe lang is alle DNA in je lichaam samen? Hoeveel mensen vliegen er op dit ogenblik boven de VS? Hoeveel zal het niveau van de oceanen stijgen als de poolkappen smelten?

De auteur berekent een schatting voor deze en andere vragen op gemiddeld iets meer dan een bladzijde. Maar de bedoeling is (zoals ook bij het vorige boek) dat de lezer eerst zelf probeert. Hij krijgt daarbij ook een of (veel) meer hints.
De antwoorden op de voorbeeldvragen zijn overigens: ongeveer 10¹⁴ m, 300.000, 20 m.
Het boek is geillustreerd met tekeningen van Patty Edwards, de bovenstaande hoort bij de vraag over de smeltende poolkappen.

Lawrence Weinstein, Guesstimation 2.0: Solving Today's Problems on the Back of a Napkin.
Princeton University Press (2012) 301 pagina's.

Leuk boek. Er wordt extra veel in gerekend, maar de berekeningen zijn erg eenvoudig, dus dat heeft bijna geen invloed op de formuledichtheid. Soms worden er vreemde eenheden gebruikt, zoals mi/gal (= miles per gallon).

Achteraan in het boek staan nog een dertigtal onopgeloste problemen, voor de lezer. Bijvoorbeeld: hoeveel grassprietjes zijn er op een gemiddeld (natuurlijk aangelegd) voetbalveld, of als alle lotterijbiljetten die in een jaar verkocht worden in de VS op een stapel worden gelegd, hoe hoog is die stapel dan?

Is ook als eBook verkrijgbaar.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Voor mensen met wat wiskunde-achtergrond en interesse
Op de achterkant van het volgende boek kan je lezen: geniet van de fascinerende schoonheid van de wiskunde op ruim 300 rijk geillustreerde pagina's. En inderdaad, daar ben ik het mee eens. De auteurs geven uitleg bij een aantal onderwerpen uit de wiskunde en geven er een (vaak prachtig) plaatje bij. Dit is de figuur die hoort bij de pagina over de Pascal-piramide:

een uitbreiding naar drie dimensies van de driehoek van Pascal, die o.a. kan gebruikt worden om de coëfficiënten te berekenen in de uitwerking van een uitdrukking van de vorm (x+y+z)ⁿ.
De keuze van de onderwerpen is blijkbaar bepaald door de figuren die de auteurs ter beschikking hadden.
Kennen jullie bijvoorbeeld de Császár-torus? Het is het meest eenvoudige veelvlak met een gat erin. Een beetje geschiedenis. Leonhard Euler vond voor convexe veelvlakken zijn bekende formule: V-E+F=2, die zegt dat bij zo'n veelvlak het aantal hoekpunten V min het aantal zijden E plus het aantal zijvlakken F gelijk is aan 2. Er is een variant van deze formule voor veelvlakken met een gat erin, dan geldt namelijk dat V-E+F=0.
Als je nu probeert zo'n veelvlak te vinden met zo weinig mogelijk hoekpunten (en de bijkomende eis dat er geen lichaamsdiagonalen zijn), dan blijkt het minimum aantal hoekpunten 7 te zijn. Dat had August Möbius (jawel, die van de band) al door in de negentiende eeuw. Maar dat zo'n veelvlak met 7 hoekpunten en een gat erin ook praktisch realiseerbaar is, dat heeft Ákós Császár pas in 1949 bewezen:

Zo heb ik ook weer wat bijgeleerd.

Georg Glaeser en Konrad Polthier, Wiskunde in beeld.
Veen Magazines (2012) 340 pagina's.

Dit is een echt coffee table book, je slaat het open op een willekeurige plaats en je vindt er een prachtige figuur met wat uitleg erbij, ook vaak wat geschiedenis. De onderwerpen zijn heel verscheiden, ze komen niet alleen uit de meetkunde, maar ook uit de getaltheorie en de analyse, je leest er over de stelling van Pythagoras en leert er wat een Schlegel-diagram is.

Voor de mensen die het van begin tot einde willen doornemen, is het boek voorzien van een leeslint.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Voor mensen met wat fysica-achtergrond
Dit boek gaat over puzzels en paradoxen in de fysica, en hun verklaring. Het hoort misschien niet echt thuis in deze blog, maar het past op de een of andere manier goed bij het boek Guesstimation 2.0. Een voorbeeld: er wordt soms beweerd dat als je op het noordelijk halfrond het water van je bad laat weglopen, dat het water dan altijd in de afvoer loopt met een draaiende beweging in wijzerzin, en dit ten gevolge van de Corioliskracht:

En wat dan op het zuidelijk halfrond? En op de evenaar? Allemaal onzin, zegt de auteur. Er kunnen allerlei redenen zijn waarom het water al draaiend wegloopt, maar dat kan zowel in wijzer- als in tegenwijzerzin gebeuren.
En weet je hoe je met een schoenveter en een chronometer een benadering kan vinden voor de vierkantswortel van 2? Of hoe je gebruikmakend van een glas water van 100^oC een evengroot glas melk van 0^oC kan opwarmen tot een temperatuur van meer dan 50^oC (de temperatuur die je krijgt als je ze samengiet)? Het antwoord hier is verrassend genoeg ja. En de temperatuur die je theoretisch kan bereiken is (100/e)^oC waarbij e=2,718281828 de constante van Euler is.

Mark Levi, Why Cats Land on their Feet. And 76 Other Physical Paradoxes and Puzzles.
Princeton University Press (2012) 190 pagina's.

Om de problemen uit de fysica in dit boekje op te lossen, kan je ook best denken aan het scheermes van Ockham. De behandelde onderwerpen zijn verdeeld over 14 hoofdstukken, per thema. Elk probleem wordt gepresenteerd in de vorm Vraag - Antwoord, elk gemiddeld 1,5 pagina's lang. Op zich geen eenvoudig boek, wat kennis van fysica is nuttig, en blijkbaar bezit ik die niet in voldoende mate. Een heel deel van de argumentaties gaat aan mij voorbij.

Dit boek is ook als eBook verkrijgbaar.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο

Voor wiskundigen
Het volgende boek is bedoeld voor wiskundigen, en is een neerslag van een aantal workshops gegeven door de auteur in het St. Mark's Institute of Mathematics in Southborough, Massachusetts. Ook hier begint elk hoofdstuk met een probleem, en wat extra, gevolgd door commentaar, oplossing en nog wat uitbreiding. Het eerste hoofdstuk gaat over de Boogtangens, en je vindt er al dadelijk het volgende leuke grafische bewijs van de volgende identiteit:
$$ \large {\rm Bgtg} \frac{1}{2} + {\rm Bgtg} \frac{1}{3} = \frac{\pi}{4} $$
Het gaat zo:

en je moet wel even denken voor je het ziet.
Ik heb er ook weer iets nieuws geleerd over priemgetallen. Als je de rijen in de driehoek van Pascal doorschuift zoals in de onderstaande tabel (rij n start in kolom 2n), dan hebben we de volgende stelling: de kolomindex is een priemgetal enkel en alleen als de getallen die in die kolom staan allemaal deelbaar zijn door hun overeenkomstige rij-index. De goede kolommen staan in het rood. Bekijken we bijvoorbeeld kolom 17, dat is een priemgetal want 6 is deelbaar door 6, 35 door 7 en 8 door 8.

In een ander hoofdstuk wordt dan weer het vermenigvuldigen met lijnen (hier te zien op youtube) uitgelegd.

James Tanton, Mathematics Galore! The First Five Years of the St. Mark's Institute of Mathematics.
Mathematical Association of America, Classroom Resource Materials (2012) 272 pagina's.

In de 26 hoofdstukken van dit boek worden allerlei wiskundige problemen behandeld, niet de gewone, vaak originele. Met oplossingen die steeds erg duidelijk worden uitgelegd. Voor een wiskundige betekent het lezen van dit boek een verrassende reis door onontgonnen gebied. Een aanrader.

Dit boek is ook in pdf-formaat verkrijgbaar.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

The one million dollar questions

30. November 2012, 09:13

Al eeuwen lang bestaat de gewoonte prijzen uit te loven voor wie (als eerste) een opgegeven wetenschappelijk probleem oplost.
Zo voerde de Académie Royale des Sciences de Paris, opgericht in 1666, al in 1719 een systeem van prijzen in dat erg belangrijk zou zijn voor de evolutie van de wetenschap. In 1739 werd bijvoorbeeld het volgende probleem gesteld: wat is vuur? De Zwitserse wiskundige Leonhard Euler won, maar ook Voltaire en (buiten zijn weten om) zijn vriendin Émilie du Châtelet dongen mee naar de prijs. Andere bekende wiskundigen/wetenschappers die de Grand Prix de l'Académie wonnen waren Maclaurin, Coulomb, Cauchy, Abel, ... Daniel Bernoulli won zelfs 10 keer.

Vaak kreeg je als prijs een geldbedrag, en dat geld kwam dan meestal van een legaat: een rijke burger die de Académie een grote som geld had nagelaten. In het geval van de Académie was die burger Baron Jean Rouillé de Meslay, een Frans advocaat en staatsman, en ging het om een som van 125 000 livres (ter info: een goed vakman verdiende in die tijd zo'n 300 livres per jaar).
Bekend is zeker ook de prijs die koning Oscar II van Zweden in 1885 uitloofde aan wie het beste antwoord kon geven op de vraag:

Gegeven n massa's die bewegen onder invloed van elkaars aantrekkingskracht. In de veronderstelling dat je weet dat ze niet zullen botsen en dat je hun beginpositie en -snelheid kent, geef dan een uitdrukking in de vorm van een reeks die de positie van deze massa's op het ogenblik t weergeeft.

Het prijzengeld bedroeg 2500 gouden Kronen, Henri Poincaré won de prijs, hoewel hij er niet in geslaagd was het probleem ook echt op te lossen. Achteraf vond hij zelfs in zijn eigen oplossing de ene fout na de andere!

Ook in de wiskunde is er een traditie van het stellen van problemen met bijhorende prijzen voor de goede oplossing. In 1900 formuleerde de wiskundige David Hilbert op het Internationale Wiskundecongres in Parijs 23 wiskundeproblemen die volgens hem belangrijk waren en nog onopgelost. Hij daagde de wiskundigen uit ze voor het jaar 2000 uit te klaren. Er was geen prijs mee te winnen, je deed het enkel voor de eer. Ondertussen zijn er al heel wat van deze problemen ook effectief opgelost.

Een probleem dat niet voorkomt in deze lijst is het beroemde vermoeden van Fermat (ook wel de laatste stelling van Fermat genoemd). De Duitse arts Paul Wolfskehl liet in 1906 bij testament 100 000 Mark na aan wie als eerste deze stelling zou bewijzen (volgens sommige bronnen deed hij dit omdat hij niet wilde dat zijn vrouw van hem zou erven). In 1997 werd de prijs toegekend aan de Brit Andrew Wiles; het prijzengeld was toen al wel erg gedevalueerd. Fermat kribbelde deze stelling in 1637 neer in de marge van een wiskundeboek. De marge was te klein om ook het bewijs ervan te kunnen bevatten, zo schreef hij toen. Het bewijs heeft dus 360 jaar op zich laten wachten!

Landon T. Clay is een Amerikaans zakenman en miljardair met een liefde voor wiskunde. In 1998 richtte hij het Clay Mathematics Institute op, dat de bedoeling heeft de “wiskundekennis te doen toenemen en te verspreiden”. Op 24 mei 2000, precies 100 jaar nadat Hilbert zijn 23 problemen voorstelde, maakte het instituut een lijst met 7 problemen bekend waarmee je de som van $1 000 000 kon verdienen, indien je er één van kon oplossen. Deze Millennium Prize Problems werden beschreven als “important classic questions that resisted solution over the years”.
Een van de problemen stond ook al op het lijstje van Hilbert, namelijk de Riemann-hypothese.
Het zijn stuk voor stuk erg moeilijke problemen, ook in de zin dat het moeilijk uit te leggen is waar ze nu in feite over gaan, niet alleen aan een wiskundeleek, maar evengoed aan een wiskundig geschoold iemand.

Een overzicht:
De Riemann-hypothese gaat over de nulpunten van een wiskundige functie, de Riemann-zetafunctie, en hun plaats in het complexe vlak. Dit probleem heeft ook te maken met priemgetallen, de wonderlijke bouwstenen waaruit al onze gehele getallen zijn opgebouwd. Indien de hypothese waar is weten we plots veel meer over de priemgetallen. Het boek The Music of the Primes van Marcus du Sautoy geeft een goede introductie tot dit probleem.

Het Poincaré-vermoeden is een probleem uit de topologie dat recent opgelost werd door de Rus Grigori Perelman. Het gaat over bollen in hogere dimensies. Henri Poincaré postuleerde in 1904 dat er een eenvoudige manier moet zijn om na te gaan of een n-dimensionaal oppervlak een boloppervlak is of niet. Voor n gelijk aan 4 of meer werd dit inderdaad bevestigd in 1960 (n groter dan 4) en 1983 (n gelijk aan 4), maar het geval n=3 bleef onopgelost tot in 2003. Perelman won hiermee de Fields-medaille (het equivalent van de nobelprijs, die niet bestaat voor de discipline wiskunde), die hij weigerde, en dus ook de door Clay uitgeloofde $ 1 000 000, die hij eveneens weigerde.

Het P-versus-NP-probleem komt uit de computerwetenschappen. Er zijn een aantal wiskundige problemen die enerzijds moeilijk oplosbaar zijn met de tot nu toe gekende methodes, maar waarvoor het anderzijds zeer eenvoudig is na te gaan met de computer of een voorgestelde oplossing inderdaad voldoet. Bijvoorbeeld, Een groot getal ontbinden in een product van priemgetallen is een moeilijk probleem, ook voor computers. Maar als je denkt dat je de priemfactoren hebt gevonden, dan is het heel eenvoudig te checken of je inderdaad een oplossing hebt, door die factoren terug met elkaar te vermenigvuldigen. De vraag die nu gesteld wordt is: als het verifiëren van een voorgestelde oplossing zo eenvoudig is, moet het probleem dan ook niet eenvoudig op te lossen zijn?

    Het Navier-Stokes probleem komt dan weer uit de fysica, en gaat over het bestaan van mooie oplossingen van de Navier-Stokes vergelijkingen, die gebruikt worden om de beweging van vloeistoffen te beschrijven.
    Eveneens uit de fysica komt het Yang-Mills probleem, dat verband houdt met kwantumfysica. De kwantum—Yang-Mills theorie is een theorie die probeert de elementaire deeltjes in de fysica zo te beschrijven dat alle fenomenen in de fysica ermee verklaard kunnen worden. De theorie komt goed overeen met waarnemingen in dit verband, maar er zijn nog wat problemen die niet opgelost zijn. Een van de dingen die volgen uit de theorie is het bestaan van het Higgs-boson, recent nog in het nieuws. Het Clay Institute vraagt in essentie naar een goede wiskundige opbouw van deze theorie.
    Er zijn nog twee andere problemen, namelijk het Hodge-vermoeden en het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer, maar ik ga hier geen poging ondernemen om in het kort te beschrijven waar die het over hebben, want dat is onbegonnen werk.

In het volgende boek doen de vier auteurs die poging wel, en met succes, vind ik persoonlijk.

Alex van den Brandhof, Roland van der Veen, Jan van de Craats en Barry Koren, De zeven grootste raadsels van de wiskunde. Los ze op en word miljonair! Uitgeverij Bert Bakker (2012) 186 pagina's.

In zeven hoofdstukken geven de auteurs een beeld van de zeven millenniumproblemen van de wiskunde. Hierbij zorgen ze er voor dat ze verschillende soorten lezers tegelijk aanspreken: het boek bevat wel wat formules, en de wiskundige lezers hebben daar zeker wat aan, maar als je niet zo wiskundig bent aangelegd, dan kan je die overslaan zonder de draad kwijt te raken. De verhalen rond de moeilijke problemen worden begeleid door biografische informatie over de hoofdrolspelers ervan.
Ook indien je elk hoofdstuk niet van begin tot einde begrijpt, krijg je toch een idee waarover die problemen precies gaan, en dat is uiteindelijk de bedoeling van dit boek. Een aanrader voor iedereen met interesse voor wiskunde!

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Over harmonische driehoeken en hoe je er munt uit slaat

27. April 2012, 17:21

De Engelsen beweerden dat de Fransen deze valse praktijk bezigden, en waarschijnlijk beweerden de Fransen dit ook van de Engelsen. Al in het jaar 1150 was er in Engeland bij het slaan van munten in de Royal Mint een controlesysteem om na te gaan of de munten aan zekere vereisten voldeden. De controle werd gedaan door externen, en werd Trial of the Pyx genoemd.
Een van de vereisten was dat het goudgewicht van een munt binnen zekere grenzen moest liggen. Een guinea moest eigenlijk 128 grains (zo'n 8,29 gram) wegen, en daar was een fout op toegelaten van 1/400ste, dus van 0,32 grains.
Om dit te controleren, werden de munten gewogen, maar dat gebeurde niet een per een, maar in groepen, bijvoorbeeld per 100. En de redenering was: op 100 munten mag er een afwijking zitten van 100 maal 0,32 grains, dus van 32 grains.
Dit klopt statistisch gezien niet. Om het goed te doen moet je de toegelaten afwijking vermenigvuldigen met de vierkantswortel van de steekproefgrootte, dus in dit geval moet je maal 10 doen i.p.v. maal 100. Maar dat wisten de Engelsen in die tijd nog niet. De Minters zagen toch al snel in dat ze geld konden slaan uit een groep munten die teveel woog maar toch binnen de grenzen bleef: terug smelten, en opnieuw proberen het juiste gewicht te krijgen had voor gevolg dat ze goud overhielden.
Pas rond 1730 werd duidelijk dat je moet vermenigvuldigen met de vierkantswortel van de steekproefgrootte, en dit dankzij Abraham De Moivre (1667-1754), een Frans wiskundige die al vroeg in zijn leven uitweek naar Engeland (in 1685) waar hij bevriend raakte met o.a. Isaac Newton (die 30 jaar lang Master of the Mint is geweest).

De Moivre was een groot wiskundige, die nu nog vooral voortleeft in zijn formule. Iedereen die ooit geleerd heeft over complexe getallen, is deze stelling waarschijnlijk tegengekomen:

Maar ook in de ontwikkeling van de statistiek heeft hij een grote rol gespeeld. Hij wordt algemeen aanzien als de vader van de normaalverdeling. En de formule die we in de eerste paragraaf hebben ontmoet staat bekend als de $\sqrt{n}$-regel van De Moivre. Deze regel wordt tegenwoordig ook wel eens de meest gevaarlijke vergelijking uit de wiskunde genoemd.

De Moivre hield zich ook bezig met Recreatieve wiskunde. De eerste gepubliceerde oplossing van het probleem van de Knight's Tour staat op zijn naam. Hier gaat het over:

Dit komt uit de Récréations mathématiques et physiques van Jacques Ozanam (1725). Je ziet hier twee versies van de oplossing van De Moivre, de eerste zoals ze voorkomt in het boek van Ozanam, de tweede een moderne voorstelling (een kwartslag gedraaid):

Leuk om weten is dat deze oplossing een rol speelt in het mysterie van het tweede perkament en de schat van Rennes-le-Château, dat als basis diende voor het boek The Da Vinci Code van Dan Brown.

Over De Moivre doet het verhaal de ronde dat hij op een bepaald ogenblik besliste elke nacht een kwartier langer te slapen omdat hij dat nodig had. De dag dat hij daardoor aan 24 uur slaap kwam, is hij gestorven.

Gottfried Leibniz (1646-1716) en Abraham De Moivre hebben elkaar nooit ontmoet, maar ze leefden wel in dezelfde wiskundige tijd.

Leibniz was de uitvinder van de Calculus (samen met Newton) en niet alleen dat. Hij heeft ook de binaire notatie voor getallen ingevoerd:

en was een specialist op gebied van reeksen (dit zijn sommen van oneindig veel getallen). Iedereen kent wel de driehoek van Pascal. Wat veel minder mensen weten is dat Leibniz ook zo'n driehoek had die hij de Harmonische driehoek noemde:

Elk getal in deze driehoek is de som van de twee getallen die eronder staan. Kies je een getal uit deze driehoek (voorbeeld in het groen), dan geeft dit getal de som van de oneindig veel getallen die in de schuine strook er rechtsonder zitten. Een soort oneindig lange kerstsokken dus. Je kan als volgt nagaan dat het klopt voor de groene 1. We verdelen de getallen van de bijhorende strook in groepjes, en wel als volgt: het eerste, de volgende twee, de daaropvolgende 4 enz. en nemen telkens de som:

enz. Merk op dat bij de verschillende termen in de sommen de noemer het product is van twee opeenvolgende getallen. Dat de som van alles samen nu 1 is, dat zie je, door de getallen achter het gelijkheidsteken op te tellen, in de volgende figuur:

De geschiedenis van de wiskunde is zo rijk dat ze waarschijnlijk eeuwig stof zal blijven leveren voor deze blog. We hebben recentelijk vier boeken in verband hiermee gelezen. Verderop vind je de bespreking ervan.

Om te beginnen is er een boekje in de reeks Very short introductions uitgegeven door Oxford University Press. De auteur Jackie Stedall is gespecialiseerd in de geschiedenis van de wiskunde, en het boekje heeft dan ook als titel The history of Mathematics. Maar het is geen chronologische geschiedenis van de wiskunde geworden, Stedall belicht allerlei aspecten in verband met de wiskunde door de eeuwen heen.

Jacqueline Stedall, The History of Mathematics. A Very Short Introduction. Oxford University Press (2012) 123 pagina's.

Geen traditionele geschiedenis van de wiskunde. Stedall beschrijft meer wat wiskunde is, en hoe wiskunde evolueert door de eeuwen heen. Wat een wiskundige precies is, en hoe dat in de geschiedenis veranderd is. Hoe wiskundige geschriften van duizenden jaren geleden toch zijn kunnen bewaard blijven. En je leest er bijvoorbeeld ook over het wiskunde-onderwijs op enkele verschillende plaatsen op verschillende momenten in de tijd.

Een andere kijk op de geschiedenis van de wiskunde.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Het tweede boek is er een uit de Wetenschappelijke Bibliotheek van Natuurwetenschap en Techniek. Het is de vertaling van een Frans boek uit 2004 van een andere specialist van de geschiedenis van de wiskunde, Bernard Vitrac. Het behandelt uitsluitend de meetkunde in het klassieke Griekenland, beginnend bij Hippocrates van Chios, bekend van zijn maantjes. Natuurlijk komen de drie klassieke problemen uit de oudheid uitgebreid aan bod: de kwadratuur van de cirkel, de driedeling van een hoek, en de verdubbeling van de kubus. Hippocrates had zich ook al gewaagd aan het eerste probleem, hij slaagt er niet in maar wordt er dan wel door Aristoteles van beschuldigd een vals bewijs te hebben verspreid.
Ook Euclides, Archimedes, en Appolonius worden natuurlijk uitvoerig besproken.

Bernard Vitrac, Meetkunde in het klassieke Griekenland. Veen Magazines (2012) 192 pagina's.

Een prachtig uitgegeven boek, met mooie bladspiegels en hier en daar ook een tijdslijn waarop je de chronologie van de geschiedenis kan volgen, niet enkel in Griekenland. Mooie figuren en afbeeldingen van oude manuscripten maken van dit boek een aanwinst voor elke boekenkast. Bijna een coffee table book.

De meer wiskundige stukken in het boek zijn niet altijd even eenvoudig te volgen, ook omdat er hier en daar kleine foutjes in de tekst staan.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

De laatste twee boeken zijn biografieën van de twee wiskundigen waarover we het hierboven al uitgebreid hebben gehad:

David R. Bellhouse, Abraham De Moivre. Setting the stage for classical probability and its applications. CRC Press/A K Peters (2011) 266 pagina's.

Dit is een wel zeer grondige biografie van Abraham De Moivre. De auteur (een Canadese professor gespecialiseerd in de geschiedenis van de statistiek en van de actuariële wetenschappen) heeft er duidelijk werk van gemaakt o.a. door ook de briefwisseling van De Moivre met zijn tijdgenoten grondig te bestuderen. Het boek geeft naast de biografische details ook een overzicht van de door De Moivre ontwikkelde wiskunde. Je leert er bijvoorbeeld in dat de bekende formule van Stirling eigenlijk van De Moivre is. Ondanks de grondigheid blijft het al bij al een goed leesbaar boek.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

M.B.W. Tent, Gottfried Wilhelm Leibniz. The Polymath Who Brought Us Calculus. CRC Press/A K Peters (2012) 234 pagina's.

Opnieuw een geromanticeerde biografie van de hand van Margaret Tent, geschreven voor jong en oud. In haar typische stijl, maar toch wel leuk om te lezen, en je leert er nog wat van bij ook. Tent weet waar ze het over heeft. Over de wiskunde van Leibniz wordt natuurlijk niet al te veel verteld, maar soms toch net genoeg om te intrigeren. Een leuk boek om mee op vakantie te nemen.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Ionica, Jeanine, de huishoudster en de professor

19. December 2011, 15:13

Voor Vlaamse bloggers over wiskunde zou het wel heel wat leuker zijn indien de gemiddelde wiskundekennis van de Vlaming iets beter was. Als we bijvoorbeeld zouden kunnen veronderstellen dat een groot deel van de bevolking weet wat integralen zijn, en dan bovendien ook nog de basisformules kent. Anders gezegd, indien we in een wereld zouden leven waarin wat nu volgt niet door de ene wiskundige aan de andere doorverteld wordt als mop:

Twee wiskundigen zitten in een restaurant. Ze praten over het hierboven gestelde probleem. Een van beiden merkt op dat volgens hem de gemiddelde mens nog wel het een en ander weet van wiskunde, indien we BV's niet meerekenen tenminste. Nummer twee is het daar niet mee eens. Terwijl deze laatste een bezoek brengt aan de toiletten, roept de andere de serveuse bij zich, en vraagt haar of ze het volgende wil doen voor hem: “Als ik je straks een vraag stel, dan moet je antwoorden: één derde x tot de derde.” Als nummer twee weer terug is, zegt de ander tegen hem: “We zullen de hypothese even testen." Hij roept de serveuse bij zich en vraagt: “Wat is de integraal van x kwadraat?” Waarop die antwoordt, op een manier alsof ze het uit haar hoofd geleerd heeft: “één .. derde .. x .. tot .. de .. derde”. En terwijl ze wegloopt, vol zelfvertrouwen: “Plus een constante.”

Op dit ogenblik is het namelijk zo dat de inhoud van veel wiskundeblogs over het algemeen eerder gelijklopend is. Een van de geliefkoosde onderwerpen is bijvoorbeeld het Monty Hall probleem. Wij hebben er nog niet over geschreven, we wachten op het laatste woord hieromtrent. En zo hebben we altijd nog iets achter de hand voor wanneer onze inspiratie volledig is opgedroogd. Werp even een blik op wikipedia, en je ziet dat er heel wat over te vertellen valt. Er werd zelfs een heel boek over geschreven. Dit allemaal omdat het een eenvoudig te formuleren probleem is, en je kan de oplossing ook op een erg overtuigende manier brengen.

De wet van Benford is een andere veel besproken topic. En Paul Erdös (en zijn Erdösgetal, zie ook hier) kom je ook vaak tegen op wiskundeblogs, omdat hij een rare wiskundige was, en in die zin goed aansluit bij het verwachtingspatroon van de mensen:

Het succes van de onderwerpen op een blog hangt voor een deel af van het verrassingseffect. En je kan nu eenmaal moeilijk verrast zijn door iets waar je niet veel van begrijpt. Dat dit algemeen aanvaard wordt als dé wauw-formule uit de wiskunde:

(en wiskundigen er even trots op zijn als sommige studenten op hun alma mater), is door de leek moeilijk te bevatten. En we kunnen het ook niet echt uitleggen...
En sommige onderwerpen kunnen we maar beter vermijden, zoals de wel erg verrassende paradox van Bertrand uit de kansrekening. De lezer zou kunnen gaan denken dat de wiskunde slecht in elkaar zit. En eigenlijk is dat ook wel ten dele waar natuurlijk - als je Gödel, Escher, Bach gelezen hebt, begrijp je waar ik het over heb: de onvolledigheidsstellingen van eerstgenoemde.

Verrassingen en paradoxen liggen dicht bij elkaar, dus paradoxen doen het ook goed. Een voorbeeld. Kijk even naar de bovenste som:

Op de volgende lijn vervangen we elke rode term in deze som door een getal dat duidelijk kleiner is. Zo krijgen we een nieuwe som. Maar als je daarvan de termen twee per twee samenneemt, dan vind je opnieuw ... de oorspronkelijke som. Dus deze som is groter dan zichzelf.
Let wel: dit is geen paradox. Wat er gebeurt is allemaal logisch te verklaren (ik bedoel: te verbeteren). Maar het voelt toch ongemakkelijk aan.
Neem nu deze formule:

$$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + \ldots = -\frac{1}{12}$$
Is toch pertinente onzin?! Inderdaad, maar verrassend genoeg heeft ze wel toepassingen. Misschien komen we hier later nog op terug.
Ik vond zo'n dingen vroeger zo intrigerend dat ik wiskunde ben gaan studeren. Als je ze dan uiteindelijk begrijpt, dan is het leuke er wel wat af, maar ik heb nog steeds geen spijt van mijn studiekeuze: er vallen elke dag nieuwe wonderlijke zaken op mijn bord.

De wiskundemeisjes Jeanine Daems en Ionica Smeets hebben hun blogervaringen neergeschreven (van zich af geschreven?) in een erg aan te raden boek. Het boek is ook bedoeld voor iedereen die slecht was (is) voor wiskunde. Het is prachtig uitgegeven, vierkleurendruk, bevat relatief weinig formules, en je hebt dus eigenlijk geen computer meer nodig om hun blog te lezen. Maar het boek bevat nog meer: wiskundige uitjes in Nederland en Vlaanderen, boekbesprekingen, puzzels,...
Al deze dingen zijn verdeeld in acht delen, acht thema's. Je kan de verschillende stukjes (zoals bij een blog) los van elkaar lezen.

Jeanine Daems & Ionica Smeets, Ik was altijd heel slecht in wiskunde. Reken maar op de wiskundemeisjes.
Uitgeverij Nieuwezijds (2011) 206 pagina's.

Dit wel erg leuke geschenk voor onder de kerstboom had ik zelf willen geschreven hebben. Om jullie er warm voor te maken: wisten jullie dat er maar 17 periodieke vlakverdelingen mogelijk zijn in het Alhambra? En dat je met een naald decimalen van het getal pi kan berekenen? En ken je de huwelijksstelling al? En wist je al dat de BMI is ingevoerd door een Belg? Dit en nog veel meer lees je in dit boek.

De blog van Jeanine en Ionica kan je hier vinden: http://www.wiskundemeisjes.nl. Met het regelmatige bloggen zijn ze gestopt op 10-10-10, maar je kan er de oude blogs en hun tweewekelijkse Volkskrant-columns wel lezen.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Θ

In het wiskundemeisjesboek wordt het volgende boek aangeraden. Wie niet graag losse stukken leest, en toch wel interesse heeft voor wiskunde, en meer bepaald voor getallen, die vindt hier een inleiding in romanvorm. Het boek gaat over een wiskundeprofessor wiens kortetermijngeheugen ten gevolge van een auto-ongeval nog maar 80 minuten werkt. Hij krijgt een nieuwe huishoudster...

Scene uit de Japanse film De professor en
zijn geliefde vergelijking (2006, regie: Takashi Koizumi)

Een uittreksel (uit de Engelse versie):

I wondered why ordinary words seemed so exotic when they were used in relation to numbers. Amicable numbers or twin primes had a precise quality about them, and yet they sounded as though they’d been taken straight out of a poem. In my mind, the twins had matching outfits and stood holding hands as they waited in the number line.

Yoko Ogawa, De huishoudster en de professor. Roman.
De Vliegende Hollander (2010) 207 pagina's.

Een erg warm boek waarin de schrijfster erin slaagt de liefde van de professor voor de wiskunde over te brengen op de lezer. Evenzeer een boek voor onder de kerstboom (waarschijnlijk kom je er beter mee weg dan met het vorige). Ook hier vind je de mooiste formule uit de wiskunde terug, en ook nog andere formules, die deze keer onmisbaar zijn voor het verhaal. Erg goed geschreven, met raak getypeerde en levensechte personages. Het boek werd in Japan ook verfilmd.

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Ο Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Θ

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Chaos niet enkel bij de banken

24. Oktober 2011, 15:56

Recent werd het Solvay-congres van 1911 herdacht. Slechts één van de genodigden op dit congres was een wiskundige, meer bepaald Henri Poincaré (1854-1912), die je hier ziet zitten aan de zijde van Marie Curie:

(voor de volledige foto, klik). Poincaré was opgeleid als mijnbouwingenieur, maar dat zullen we even door de vingers zien. Poincaré was waarschijnlijk uitgenodigd in Brussel omdat hij een rol heeft gespeeld in de ontwikkeling van de speciale relativiteitstheorie (Lorentz en Einstein waren er overigens ook bij in 1911). Hij was recent ook weer in het nieuws door het bewijs van het zogenaamde Vermoeden van Poincaré, een bewijs dat de vinder ervan, Grigori Perelman, 1 miljoen dollar rijker had kunnen maken. Maar Perelman weigerde de prijs.

Poincaré staat ook aan de wieg van de chaostheorie. Hier leest u het hele verhaal.

In 1885 schreef koning Oscar II van Zweden een wedstrijd uit: hij wilde voor zijn 60ste verjaardag in 1889 een prijs uitreiken waarmee hij een belangrijke ontdekking in de wiskundige analyse wilde bekronen. Het prijzengeld bedroeg 2500 gouden kronen. Wie wilde meedingen naar deze prijs moest een verhandeling schrijven in verband met het n-lichamen probleem in de hemelmechanica:

Gegeven n massa's die bewegen onder invloed van elkaars aantrekkingskracht. In de veronderstelling dat je weet dat ze niet zullen botsen en dat je hun beginpositie en -snelheid kent, geef dan een uitdrukking in de vorm van een reeks die de positie van deze massa's op het ogenblik t weergeeft.

Henri Poincaré voelde zich aangesproken en deed mee. Hij stuurde een tekst in:

Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique

en, hoewel hij er niet in geslaagd was te voldoen aan de vraag, won hij de prijs.
En toen begon het.
Alles werd klaargemaakt voor de publicatie van zijn inzending in het tijdschrift Acta Mathematica. Maar de redacteur die verantwoordelijk was, vond in de tekst van Poincaré de ene fout na de andere. Hij correspondeerde hierover met de auteur die probeerde de zaken recht te zetten, maar dat lukte blijkbaar toch niet heel goed. Het tijdschrift werd gedrukt, en Poincaré kocht de hele oplage op. Hij herschreef dan zijn artikel, waardoor het een goede 100 bladzijden langer werd. En liet het nummer van het tijdschrift opnieuw drukken, op zijn kosten. Dat koste hem 1000 kronen meer dan het prijzengeld. Maar bij het herschrijven legde hij de basis van de chaostheorie. Een fout die hij gemaakt had was dat hij verondersteld had dat kleine verschillen in de beginposities van de drie massa's maar kleine afwijkingen in de banen van die massa's zouden veroorzaken. En dat bleek een grote vergissing, die hij zelf gelukkig snel inzag.
Je ziet hier een eenvoudig voorbeeld:

In kolommen 2 en 3 wordt met een eenvoudige formule ($x$ wordt $2x^2-1$) vertrekkend van de beginwaarde bovenaan (0,4) een rij getallen gegegeneerd. Rechts in de figuur worden de waarden uitgezet in een grafiek, groen voor kolom 2, blauw voor kolom 3. Probeer het getal in het rode vakje eens te vervangen door bijv. 0.4000001. Je verwacht dat zo'n kleine afwijking weinig effect zal hebben, maar dat wordt tegengesproken door de figuur.
Het vlindereffect was geboren!

Ondertussen is er heel wat onderzoek gedaan in deze tak van de wiskunde. Een grondig onderzochte situatie is die waarbij 3 massapunten zich op de hoekpunten van een rechthoekige driehoek bevinden (met zijden 3, 4, 5 en tegenoverliggende massa's respectievelijk $m_1=3$, $m_2=4$ en $m_3=5$). Hier zie je een voorbeeld van de banen die die massapunten volgen:

Dit staat bekend als Burrau's probleem. Merk op dat de groene massa op het einde weggeslingerd wordt, en dat de twee andere (blauw en rood) rond elkaar blijven draaien zoals een tweelingster. Een kleine verandering in de beginvoorwaarden leidt ook in dit geval tot totaal andere banen.
Maar de oplossingen van het 3-lichamenprobleem zien er niet altijd zo 'erg' uit. Als de drie massa's precies evengroot zijn, dan kan het volgende gebeuren:

Ongelooflijk maar waar. Deze figuur acht-oplossing werd gevonden door Cris Moore in 1993, zie ook zijn website. Wiskundigen spreken in zo'n geval niet over de baan van de 3 lichamen, maar wel over de choreografie.

In de volgende drie recent verschenen boeken speelt chaos een rol.

Richard Kautz, Chaos. The Science of Predictable Random Motion. Oxford University Press (2011) 369 pagina's.

In dit boek wordt op een niet al te moeilijke manier aan de lezer duidelijk gemaakt wat chaos precies is. En hoe je bijvoorbeeld chaos aan den lijve kan ervaren in de kermisattractie die Tilt-a-Whirl heet. Het boek gaat tamelijk ver, tot Lyapunov-exponenten, fractalen, Hausdorff-dimensies, vreemde attractoren enzomeer. Enige wiskunde-voorkennis is gewenst, hoewel de auteur zijn best doet om alles wat hij gebruikt van wiskunde eerst uit te leggen. Ook wat fysica-voorkennis, meer bepaald op gebied van elektriciteit, is nuttig. Leuk is wel dat ook het historische kader geschetst wordt.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο

Paul J. Nahin, Number Crunching. Taming Unruly Computational Problems from Mathematical Physics to Science Fiction. Princeton University Press (2011) 376 pagina's.

Dit is een moeilijk boek dat thuishoort in de categorie computationele fysica. Nahin behandelt in dit boek een aantal problemen waarbij nogal wat rekenwerk komt kijken, zoals bijvoorbeeld het 3-lichamenprobleem. Nahin is ingenieur elektrotechniek, en dat laat zich wel voelen in zijn boek, meer bepaald in de keuze van de onderwerpen. Als je zelf ook zo'n diploma hebt: dat helpt. Hoe moeilijk het boek ook is, het blijft leuk door de manier waarop het gebracht wordt, iets wat we ondertussen gewoon zijn van Nahin.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Θ
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο Ο

Marcus du Sautoy, De getalmysteries. Een wiskundige reis door het dagelijks leven. Uitgeverij Nieuwezijds (2011) 255 pagina's.

Hier kan u het bovenstaande verhaal over Henri Poincaré nog eens beluisteren, maar dan verteld door Marcus du Sautoy. Zijn meest recente boek De getalmysteries is een absolute aanrader. Du Sautoy is een meesterverteller, en hij heeft het in dit boek over de vijf grote onopgeloste raadsels (ondertussen is er 1 minder, zie boven) uit de wiskunde waarmee je een miljoen dollar kan verdienen. Je leest er over de vorm van een voetbal, over optimale stapelingen, over hoe winnen met de lotto, en hoe je je verhuiswagen moet laden zodat er zoveel mogelijk in kan. Je leert er hoe de beveiliging van credit-kaarten werkt (met priemgetallen!), en nog zoveel meer.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Quaternionen?

09. Augustus 2011, 11:48

De maand juli is voor mij traditioneel een leesmaand, en ik geef het graag toe, een deel van de boeken in mijn leesmand zijn wiskundeboeken. Vooral Nederlandstalige dit jaar, wat wel eerder spectaculair is. In deze rubriek wil ik het hebben over 4 recent verschenen boeken die met wiskunde te maken hebben.

Het Nederlandse wiskundetijdschrift voor jongeren, Pythagoras, bestaat dit jaar precies 50 jaar. Het werd opgericht in 1961 door Bruno Ernst (de man van de onmogelijke figuren) en richt zich vooral tot scholieren.

Het is met de jaren letterlijk en figuurlijk groter geworden. Naar aanleiding van hun 50-jarig bestaan heeft de redactie een bloemlezing gemaakt, een boek gevuld met stukken die in het tijdschrift verschenen zijn. Ze zijn onderverdeeld in een aantal thema's: denkertjes, geschiedenis van de wiskunde, puzzels en spellen, wiskunde en kunst, meetkunde, getallen, en dionigma's (opgaven bedacht door Dion Gijswijt), kortom, voor elk wat wils. Kenmerk dat bijna alle stukjes in dit boek bezitten: speels.

Alex van den Brandhof, Jan Guichelaar, Arnout Jaspers, De Pythagoras Code. Uitgeverij Bert Bakker (2011) 271 pagina's.

Een absolute aanrader als je interesse hebt voor wiskunde, en geen absolute leek bent in dit gebied. Interessante artikels worden afgewisseld met puzzels en spellen die allemaal iets wiskundigs hebben. Korte teksten, met mooie illustraties. Geschreven door o.a. Frits Beukers, Jan van de Craats, Jan Aarts, Bruno Ernst,... Over o.a. sangaku, Dudeney's scharnierpuzzel, Srinivasa Ramanujan, kettingbreuken,...

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Heeft u al ooit van quaternionen gehoord? Om quaternionen te kunnen begrijpen, moeten we een weg afleggen die vertrekt bij de reële getallen, en loopt langs de complexe getallen, om te eindigen bij een brug in Dublin. Reële en complexe getallen waren bekend toen de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton (1805-1865) leefde. Hamilton wist dat complexe getallen handig gebruikt kunnen worden om in het vlak draaiingen (rotaties) omheen een punt te beschrijven.

Wat hij wilde vinden was een manier om in de ruimte draaiingen rond een as te beschrijven, want dat is nuttiger dan in het vlak. Daarvoor zocht hij een uitbreiding van de complexe getallen - een complex getal bestaat uit twee componenten, en twee is ook de dimensie van het vlak, maar de ruimte heeft 3 dimensies, dus ging hij op zoek naar een nieuw soort 'getallen' met drie componenten, maar vond die niet.
Tot hij op een dag in 1843, zo gaat het verhaal, langs Broom Bridge in Dublin wandelde en het licht zag: 4 componenten hebben we nodig! Hamilton was zo wild enthousiast dat hij de belangrijkste formules aanstonds in die brug beitelde:

en dadelijk bij de Ierse posterijen een postzegel liet drukken:

De quaternionen waren geboren. Alle quaternionen samen vormen een structuur die in de wiskunde een ring genoemd wordt. Ze hebben bovendien de merkwaardige eigenschap dat het product van twee ervan afhangt van de volgorde van de factoren. Zoals je kan zien op de postzegel: i maal j is niet gelijk aan j maal i.
Over ringstructuren in de wiskunde gaat het nieuwste boek van Arno van den Essen. Zijn vorige boek, over magische vierkanten, hebben we hier al besproken.

Arno van den Essen, Nieuwe getallenstelsels. Uitgeverij Veen Magazines (2010) 298 pagina's.

Dit boek gaat over andere getallenstelsels dan dat van de gewone reële getallen waarmee we elke dag rekenen. De complexe getallen spelen er een hoofdrol. De rode draad is het begrip ring. Er komt heel wat wiskunde in voor, maar de auteur brengt het op een aangename manier door wat theorie af te wisselen met historische notities, en met wat je met die dingen praktisch kan doen (quaternionen worden o.a. gebruikt in computergames). Je leest er over RSA, de laatste stelling van Fermat, foutenverbeterende codes, en nog veel meer. Een erg goed boek voor iemand met wat wiskundige achtergrond.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Ook in het volgende boek spelen ringen een grote rol, en je kan er ook lezen over quaternionen. In Getallen zijn je beste vrienden van Vincent van der Noort vind je bijna alles wat je als wiskundige kwijt kan in een gezelschap van niet-wiskundigen, en nog veel meer. Je loopt het gevaar dat de mensen van dit gezelschap die je niet goed kennen, je als nerd bestempelen, vandaar waarschijnlijk de ondertitel van het boek: ontboezemingen van een nerd.
Maar eigenlijk gaat het over dit:

Je weet eerst niet waar van der Noort naartoe wil. Hij heeft het over getallen, en over de gulden snede, over vierdimensionale kubussen, en over constructies met passer en liniaal, over wiskundige spelletjes en bewijzen, en over kusgetallen en wikkelgetallen. Maar toch blijkt alles op een merkwaardige manier samen te hangen, en bovendien verband te houden met het onderzoek dat de auteur deed en dat leidde tot een doctoraat.

Vincent van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden - ontboezemingen van een nerd. Athenaeum - Polak & Van Gennep (2011) 309 pagina's.

Een heerlijk boek! Van der Noort slaagt erin om de lezer op een vlotte en humoristische manier in te wijden in moeilijke dingen uit de wiskunde. Het boek bevat weinig formules, en je moet dan ook niet veel van wiskunde kennen (denk ik) om ervan te kunnen genieten. De titel geeft goed weer waar het over gaat - over allerlei soorten getallen en waar je ze tegenkomt in de wiskunde. Een absolute aanrader!
Het enige minpunt wat mij betreft is het ontbreken van een index, nuttig als je later iets wil nalezen.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Tot slot een biografie. Gauss, Prins der wiskundigen en veelzijdig wetenschapper van Rossana Tazzioli is pas verschenen in de reeks Wetenschappelijke biografie van Natuurwetenschap & Techniek. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) hebben we al ontmoet in verband met Sophie Germain.

Hij is ongetwijfeld een van de grootste wiskundigen die ooit geleefd heeft. Maar hij publiceerde weinige van zijn vondsten. Zo had hij bijvoorbeeld al in 1819 de quaternionen uitgevonden, lang voor Hamilton dus.

Rossana Tazzioli, Gauss. Prins der wiskundigen en veelzijdig wetenschapper. Veen Magazines (2011) 158 pagina's.

Deze biografie van Carl Friedrich Gauss is een vertaling uit het Italiaans van een boek uit 2002 met dezelfde titel. Het boek is goed geschreven en ook goed vertaald. Het geeft een helder beeld van leven en werk van deze grote wiskundige. Het is ook erg mooi uitgegeven zoals we gewoon zijn in deze reeks (en het bevat een erg uitgebreide index;-).

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

La petite histoire des mathématiques

17. Februari 2011, 20:01

Voor wiskundigen is de geschiedenis van hun vak natuurlijk uitermate interessant. Het loont de moeite na te gaan hoe alles precies ontstaan is. Ook bij het lesgeven blijkt kennis van de geschiedenis van de wiskunde nuttig: het hoeft niet altijd even strikt, en dan zijn de wiskundigen die leefden vóór de uitvinding van de strikte wiskunde vaak goede leermeesters. Ook de petite histoire komt nu en dan wel eens van pas in de lessen.
Het bekendste voorbeeld is waarschijnlijk de geschiedenis van Pierre De Fermat (1606/7-1665), die in 1637 in de kantlijn van een boek van Diophantus schreef dat hij van de stelling die net op deze postzegel past:

een wonderbaarlijk bewijs gevonden had maar dat het niet paste in die kantlijn. Tot 1994 is er gezocht naar een bewijs van deze Laatste Stelling van Fermat. Nu nog is men op zoek naar het bewijs dat Fermat zogezegd had.

Minder bekend is het verhaal van John Wallis (1616-1703) en William Brouncker (1620-1684). Van Wallis hebben we al eens zijn productformule voor het getal pi besproken:

Brouncker kennen we door zijn kettingbreuk voor datzelfde getal:

Wallis liet zijn productformule zien aan Brouncker, en deze leidde er de eerste kettingbreuk uit af. Hoe hij dat precies gedaan heeft, daar hebben we het raden naar. En sindsdien wordt er ijverig gezocht naar de manier waarop. Ook Euler heeft geprobeerd dat te achterhalen. Tot nu toe blijven alle pogingen zonder succes. Hoe moeilijk kan het zijn, we spreken hier over de tijd waarin de moeilijkste wiskunde bestond uit het rekenen met breuken...
Tip voor wiskundigen: kijk zeker eens naar de video van de Christmas Tree Lecture van Stanford University van 2010, gegeven door computerwetenschapper Donald Knuth (1938- ) (vooral bekend als vader van de tekstverwerker LaTeX). Hij laat zien waarom het product van Wallis het getal pi oplevert: Why pi?
Wallis is vooral bekend voor zijn Wig van Wallis, een driedimensionaal lichaam dat er vanuit verschillende richtingen bekeken totaal anders uitziet. Het is de oplossing van het raadsel:

Een kurk is zo gesneden dat hij in elk van de drie gaten past en elk gat geheel kan verduisteren.
Hoe ziet zo’n kurk eruit?

Dan is er natuurlijk ook de ruzie tussen Gottfried Leibniz (1646-1716) en Isaac Newton (1643-1727): wie was eerst? Wie was de echte uitvinder van de calculus? Hier zie je een blad uit de Principia van Newton met in de marge notities van de hand van Leibniz:

Over dit fait divers (?) zijn verschillende boeken geschreven.

Verder zijn er ook nog de verhalen over bijvoorbeeld Archimedes en zijn cirkels in het zand, over Tartaglia en Cardano en de oplossing van de derdegraadsvergelijking, over Galois die omkwam in een duel, over de huishoudster van Riemann die al zijn papieren met berekeningen weggooide na zijn dood, over het rekenwonder Von Neumann, over de Indische wiskundige Ramanujan en zijn notebooks, over waarom er geen Nobelprijs voor wiskunde is? Was dit echt omdat de vrouw van Alfred Nobel een verhouding had met de wiskundige Gösta Mittag-Leffler?

Dit allemaal als inleiding op een boekbespreking van drie boeken die met geschiedenis en wiskunde te maken hebben.

Het eerste boek is een combinatie van mythische geschiedenis en wiskunde. De auteur, Michael Huber, gebruikt de 12 werken van Hercules als kapstok om allerlei wiskundige problemen aan te hangen. Wellicht zou Hercules het er nog beter vanaf gebracht hebben indien hij wat meer wiskunde kon gebruiken.
Het boek bestaat uit 12 hoofdstukken, voor elk werk van Hercules 1. Je krijgt telkens eerst een citaat van Appolodorus van Athene, uit het hem (waarschijnlijk ten onrechte) toegeschreven boek De Bibliotheek. Hier worden dan een of meerdere opgaven aan verbonden, die vaak uit de fysica komen, maar soms ook gewoon wiskundig zijn.
Een voorbeeld:

Nadat ze gevangen zijn genomen door Hercules en zijn bende, smeken de zonen van Minos voor het behoud van hun leven en dat van hun manschappen. Hercules wil twee van hen sparen en laat hen een cirkel vormen, en hij doodt dan elke derde man in deze cirkel tot er nog twee overblijven. In de veronderstelling dat we beginnen met 41 man, waar moeten de twee die hopen te overleven dan gaan staan in deze cirkel?

(Dit probleem staat in de wiskunde bekend als het Josephusprobleem.)

Michael Huber, Mythematics - Solving the 12 Labors of Hercules.
Princeton University Press (2009) 183 pagina's.

Dit mooi uitgegeven boek bevat een aantal leuke problemen die wel niet altijd even eenvoudig zijn, en wel iets hoger grijpen dan de wiskunde van het secundair onderwijs. Er staan ook telkens uitgewerkte oplossingen bij. Omdat bij het begin van de oplossingen het citaat van Appolodorus herhaald wordt, is er nogal wat plaatsverlies in dit toch niet al te dikke boek.

Wel een origineel idee, de combinatie mythes-wiskunde. Maar wie precies het doelpubliek is van dit boek, dat is niet duidelijk. Misschien iets voor ingenieursstudenten?

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Het tweede boek is een echte geschiedenis van de wiskunde, zoals de ondertitel zegt: vanaf de wetenschappelijke revolutie (1600) tot (het begin van) de twintigste eeuw. Vreemd genoeg is het de vertaling van deel twee van de oorspronkelijke Duitse versie. Het leuke eraan is dat de auteur alles wat hij bespreekt kadert in wat er in die tijd in de maatschappij gebeurde, en ook op cultuurhistorisch gebied.

H. Wussing, Geschiedenis van de wiskunde - Vanaf de wetenschappelijke revolutie tot de twinstigste eeuw.
Veen Magazines (2009) 335 pagina's.

Ook een prachtig boek. Maar het feit dat het origineel in het Duits geschreven is, is toch nog erg merkbaar. Het leest eigenlijk niet zo vlot, het kan ook aan de vertaling liggen.

Maar het oogt prachtig, is zeer verzorgd uitgegeven. Hier en daar vind je een tijdsband, en erg opvallend is dat op elk blad in het groot een jaartal staat - belangrijkste datum van dat blad? De formules zijn wel niet altijd even mooi. En er staan ook heel wat kleine tikfoutjes in.

Zeker een aanrader voor wie interesse heeft voor deze periode in de geschiedenis van de wiskunde

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Het derde boek is geschiedenis en wiskunde samen. Het is gebaseerd op een verhaal van Voltaire, Micromégas, over een buitenaardse reus (van Sirius) die de aarde bezoekt, en daarbij botst op een schip vol wiskundigen. Op het einde van het verhaal geeft de reus hen een afscheidsgeschenk: een boek met de antwoorden op alle vragen in het universum.
Voltaire wilde graag zelf wiskundige zijn, maar dat is hem niet gelukt. Hij had een geweldig respect voor wiskundigen, zeker als het Engelse wiskundigen waren, zoals bijvoorbeeld Newton. Voltaire heeft in dit verband het verhaal van de appel en de zwaartekracht op papier gezet. Zijn vriendin, de wiskundige Émilie du Châtelet, vertaalde als eerste de Principia van Newton in het Frans, en Voltaire stond haar daarin bij. Samen met haar won hij de tweede prijs in een wedstrijd uitgeschreven door de Académie des Sciences (Euler won).
Het boek is een beetje vergelijkbaar met Mythematics, in die zin dat het verhaal van Voltaire gebruikt wordt om uit te weiden over allerlei wiskundig-wetenschappelijke zaken die er verband mee hebben.

Andrew Simoson, Voltaire's Riddle: Micromégas and the Measure of All Things.Mathematical Association of America (2010) 377 pagina's.

Een origineel boek, ook erg mooi uitgegeven. Het boek begint met een geannoteerde Engelse vertaling van het verhaal van Voltaire. Dit wordt gevolgd door een aantal hoofdstukken die over dingen gaan die rechtstreeks of onrechtstreeks verband houden met het verhaal. Bijvoorbeeld over de wetten van Kepler en de baan van de komeet met dewelke de reus naar de aarde komt. Over de vorm van de aarde. Over hypocycloïden en cycloïden en Dürer. Je leest er over Flatland, en over fractalen. Over de waarde van het getal pi in het boek Koningen van de Bijbel.
Op het einde van elk hoofdstuk staan er oefeningen, die stuk voor stuk interessant zijn, maar niet gemakkelijk. Ook de oplossingen van de oefeningen vind je terug.

Een moeilijk boek, maar zeker de moeite waard. Niet enkel voor wiskundigen.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Bas en het wiskundemeisje

05. Januari 2011, 17:04

Het is dan wel niet voor 100% ok, maar je hebt er toch wel wat aan, vind ik. Van een aantal eigenschappen uit de wiskunde bestaan er Bewijzen zonder woorden. Het zijn tekeningen die de bedoeling hebben je te laten inzien dat een bepaalde eigenschap klopt. Zonder woorden dus.
Bijvoorbeeld, om de stelling van Pythagoras te laten inzien, helpt het volgende figuurtje wel:

(we hebben het al gebruikt in een andere bijdrage hier). Je moet er wel even bij nadenken natuurlijk...
Kennen jullie de stelling van Viviani? Deze stelling zegt dat als je een punt kiest in een gelijkzijdige driehoek, dat de som van de afstanden van dit punt tot de drie zijden van de driehoek precies gelijk is aan de hoogte van de driehoek. Hier is een bewijs:

Dit prachtige bewijs van de hand van Ken-ichiroh Kawasaki dateert van 2005. Ook hier moet je wel even denken om het door te hebben.
De volgende vind ik persoonlijk wel erg goed geslaagd. Het gaat nu over oneindige sommen, dus je zou kunnen zeggen iets hogere wiskunde:

Ook deze kan ik erg smaken (al is misschien een van de redenen dat het getal π erin voorkomt). Het bewijs van een Bgtg-identiteit:

(van de hand van Edward E. Harris, en uit 1987).
Nog enkele andere, de eerste is al meer iets voor wiskundigen:

van L. Larson, uit 1985. Misschien toch een tip hier: als je niet mee bent, kijk dan even bij wolfram.
En dan een verwante, in vier stukken:

Het is een 'bewijs' voor de formule die de som van de kwadraten van de eerste n natuurlijke getallen geeft:

Denk er maar eens over na.

Voor de geïnteresseerden: Roger Nelsen schreef verschillende boeken vol met zo'n Proofs without words.

Er is natuurlijk een verband met sangaku's, maar die zijn nog net iets anders.

Waar leidt dit nu naartoe? Naar een nieuw boek, van Ionica Smeets en Bas Haring. Een boek waar niet extreem veel wiskunde in te vinden is, maar wel wetenschap. Het bestaat uit korte stukjes, een bloemlezing dus. Telkens een citaat, vaak van een wetenschapper, over een bepaald onderwerp, waarmee die er in slaagt de zaak zonder meer duidelijk te maken. Van Charles Darwin tot James Watson, van Charles Dickens tot Jean Paul Van Bendegem. Het boek begint met een wel erg toepasselijk citaat van George Orwell, waarin het eigenlijk gaat over de politieke taal in Engeland 'die gemaakt is om leugens waar te doen klinken'. Een van de tips van Orwell is:

Als schrappen mogelijk is, doe het dan.

Dat hebben we hierboven alvast geprobeerd.

Ionica Smeets en Bas Haring. Vallende kwartjes. Een slimme selectie van leesbare wetenschap.
Nijgh & Van Ditmar (2010) 240 pagina's.

In dit leuke boek staan korte verhaaltjes over wetenschap, vaak van vooraanstaande wetenschappers die iets willen uitleggen, of op een of andere manier duidelijk willen maken. De stukjes zijn ondergebracht in hoofdstukken, zo'n beetje per manier van uitleggen (gedachte-experimenten, proefjes, ..., rafelrandjes). Het boek bevat zoveel informatie, dat je het niet in een dag doorleest. Het past perfect als bedside table book, eentje of twee voor het slapengaan (of voor het ontbijt) om je dag goed af te sluiten (of te beginnen).

Bas Haring is bijzonder hoogleraar in het uitleggen van wetenschap (aan de universiteit van Leiden), een functie die volgens mij in België niet bestaat. Hij is hier vooral bekend van het boek Kaas en de evolutietheorie (Gouden Uil voor jeugdliteratuur 2002).

En Ionica Smeets kennen we natuurlijk als een van de wiskundemeisjes.

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Wiskunde is in

17. November 2010, 21:30

Dat lijkt toch zo als we even kijken op de website van een uitgeverij die een top 10 publiceert van hun best verkochte boeken van de afgelopen week. De plaatsen 1, 2 en 3 in deze top 10 worden ingenomen door boeken die in mindere of meerdere mate over wiskunde gaan.

Op 1 staat Het Wiskundeboek, van Clifford A. Pickover, een prachtig boek dat we recent besproken hebben in deze blog, en een absolute aanrader.

Op de tweede plaats vind je een boek over de gulden snede (zie verder) met als titel De geheime code, een boek over een onderwerp dat we hier al bekeken hebben, en dat ook tot het interessegebied behoort van niet-wiskundigen. Lees in dit verband zeker de bijdrage die door Charlotte Vlek geplaatst werd op de (Eos)blog Science Palooza.

Op de derde plaats dan staat een boek over algebra, van Michael Willers. De Engelse titel is A Bedside Book of Algebra:

en het past dus in elk huis, en ook in het rijtje: we hadden namelijk al een Coffee Table Book op de eerste plaats.

Interessant is wel dat de volgende drie boeken in de top 10 (de plaatsen 4, 5 en 6 dus) over breien en naaien gaan, praktische onderwerpen die het dus niet kunnen halen tegen de alomtegenwoordige wiskunde.

Behalve de drie al vermelde boeken vind je bij diezelfde uitgever ook nog andere boeken die iets met wiskunde te maken hebben, bijvoorbeeld een biografie van Galileo Galilei (geschreven door David Whitehouse). Een overzicht:

Prya Hemenway, De geheime code. De gulden snede als goddelijke verhouding in kunst, natuur en wetenschap. Librero Nederland (2008) 204 pagina's.

Het getal phi wordt ook wel de goddelijke verhouding, of de verhouding van de gulden snede genoemd. In dit prachtig uitgegeven boek laat de auteur ons zien dat je die verhouding, dat getal phi, overal tegenkomt, niet alleen in de wiskunde en de wetenschappen, maar ook in de architectuur, en in de natuur. (Zelfs in de literatuur, bijvoorbeeld in de Da Vinci Code van Dan Brown;-)
Je kan het boek hier inkijken.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score inhoud: Θ Θ Ο Ο Ο
Score vorm: Θ Θ Θ Θ Ο

Michael Willers, Algebra van vectoren tot variabelen: het ABC van X plus Z.
Librero Nederland (2010) 176 pagina's.

Dit boek staat op dit ogenblik in België op de derde plaats in de Ramsj Top 10 Non-fictie van een bekende ramsj-boekhandel (in Nederland staat het pas op de vijfde plaats). Het gaat over algebra, en is niet bedoeld voor wiskundigen, maar eerder voor mensen die wiskunde, en meer bepaald algebra, nog wel leuk vonden/vinden. Het gaat net iets verder dan wat we vroeger op school leerden, er komt bijvoorbeeld ook wat geschiedenis bij te pas. Een aangenaam boek.

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Stephen Skinner, Geheime geometrie. Mysterieuze wetten van de heilige geometrie in kunst, natuur en wetenschap. Librero Nederland (2010) 160 pagina's.

Op de achterkant lezen we o.a. dat in dit boek de heilige eigenschappen van getallen worden uiteengezet, en dat de geometrie van heilige plaatsen erin wordt bestudeerd. Je merkt het al, de inhoud leunt meer aan bij mystiek dan bij wiskunde. Toch komt er ook wel wat wiskunde bij kijken: Euclides, Pythagoras, de getallenrij van Fibonacci, de drie Delische problemen uit de oudheid, de platonische lichamen en nog veel meer komt aan bod. Maar de auteur heeft het bijvoorbeeld ook over Stonehenge, graancirkels en de goddelijke verhouding.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score inhoud: Θ Θ Ο Ο Ο
Score vorm: Θ Θ Θ Θ Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Leonhard, Emmy, Sophie en de anderen

05. Juli 2010, 21:23

Nu de hondsdagen weer zijn aangebroken, is het leuk om met een boek de koelste plaats in het huis op te zoeken. Vandaar een keuze uit recente boeken die je nu in de boekhandel kan vinden (of bestellen), en die niet zo zwaar zijn dat ze de titel vakantielectuur niet kunnen dragen.
Er zijn twee categorieën.

Geromantiseerde biografie
Het eerste boek gaat over de wiskundige familie Bernoulli,en ook over Leonhard Euler,die met veel van de Bernoulli's goede contacten had. Zijn beste vriend was waarschijnlijk Daniel Bernoulli (maar als hij een brief naar Daniel schreef, dan begon die zo:

en werd hij zo afgesloten:

Rare snaken, rare tijden.)
Heb je interesse voor die mensen, dan is dit boek zeker een aanrader. Of alles wat er in staat werkelijk gebeurd is, dat weten we niet. De auteur, Margaret Tent, zijn we vroeger al eens tegengekomen in de eerste blog van deze boekenrubriek, met een boek over Gauss.

Margaret B. W. Tent, Leonhard Euler and the Bernoullis.
A K Peters Ltd (2009) 276 pagina's.

Dit vlot leesbare boek volgt de protestantse familie Bernoulli vanaf het ogenblik dat ze moeten vluchten uit Antwerpen voor de hertog van Alva, en glijdt dan geleidelijk over in een biografie van Leonhard Euler. De broers Johann en Jacob Bernoulli waren toonaangevende wiskundigen in hun tijd. Johann's zonen Daniel en Nicolaus waren goed bevriend met Leonhard Euler, en werkten samen met hem aan de Academie in Sint-Petersburg. Deze vijf wiskundigen vormen de basis van deze geromantiseerde biografie.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Het tweede boek is over Emmy Noether (1882-1935), de Duitse wiskundige, moeder van de abstracte algebra, bekend van de stelling van Noether en de Noetherse ringen.

Noether ging wiskunde studeren in een tijd dat dit nog niet evident was voor een vrouw. Ze volgde hierbij les bij grootheden zoals Klein,Minkowski, en Hilbert, en ze onderhield contacten met o.a. Hermann Weyl, Emil Artin, Bartel van der Waerden.

Margaret B. W. Tent, Emmy Noether. The Mother of Modern Algebra.
A K Peters LTD (2008) 177 pagina's.

Margaret Tent probeert in dit boek een beeld te geven van het leven van Emmy Noether, en dit in de vorm van een geromantiseerde biografie. Spijtig genoeg is het leven van Noether blijkbaar nooit zo spannend geweest dat het leidt tot interessante lectuur. Je krijgt wel een beeld van de tijdsgeest van rond de eeuwwisseling (1900) in Duitsland.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Ο Ο Ο Ο

Sophie Germain (1776-1831) (klik hier voor een meer wiskundige biografie) heeft in Parijs zowel een straat als een hotel die naar haar genoemd zijn: de rue Sophie Germain in het 14de arrondissement, en het Sophie Germain Hotel (niet te verwarren met het Hilbert Hotel;-).

Het bekendste verhaal over Germain is hoe ze onder het pseudoniem M.LeBlanc Carl Friedrich Gauss redde van een gewisse dood, en daardoor ineens ook haar dekmantel kwijtraakte. Je leest het hier (of ook hier).
Een van de experimenten in de lessen fysica die ik me nog herinner uit mijn schooltijd, is dat van een horizontale metalen plaat waarop zand ligt, die tot trilling gebracht wordt. Daardoor vormen de zandkorrels patronen, die Chladni-figuren genoemd worden.

Dit fenomeen heeft Sophie Germain bestudeerd. Ze deed verder ook onderzoek in de getaltheorie, meer bepaald op het gebied van de laatste stelling van Fermat. Hier verrichtte ze baanbrekend werk. Er is ook een rij priemgetallen naar haar genoemd, en daarmee plaatst ze zich in het illustere gezelschap van Mersenne en Fermat.

Een boeiende figuur!

Dora Musielak, Sophie's Diary.
AuthorHouse (2008) 237 pagina's.

In dit fictieve dagboek volgen we Sophie Germain tijdens de woelige jaren van 1789 tot 1793, van haar dertiende to haar zestiende levensjaar. Ze komt in contact met wiskunde, wordt hierbij wat tegengewerkt, vooral door haar moeder, maar zet toch door. Dit is een erg leuk boek, dat de ontdekkingstocht in de wiskunde van een meisje van 15 kadert tegen de politieke achtergrond van Frankrijk in de jaren rond 1789.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

De tweede categorie zou kunnen zijn:

Wiskunde algemeen
Het klinkt misschien saai, maar dat zijn deze boeken allerminst.

Om te beginnen een boek van de hand van jounalist Alex Bellos, die sinds jaren columns schrijft over alledaagse wiskunde voor de krant The Guardian, zo kan je tenminste lezen op de achterkant van het boek. De Engelse titel van het boek is Alex's Adventures in Numberland, of als je de oceaan oversteekt Here's Looking at Euclid, met als ondertitel Dispatches from the Wonderful World of Mathematics of A Surprising Excursion Through the Astonishing World of Math.

Niet alleen heeft het boek verschillende titels, de inhoud is ook erg verscheiden. Enkele dagen geleden gaven wij (Rudi en ik) met ons tweeën nog een voordracht over krommen van constante breedte, en het nut ervan bij het boren van vierkante gaten, toch niet zo'n alledaags onderwerp, en jawel hoor, ook dit komt voor in het boek. Kortom, de auteur is gefascineerd door allerlei dingen waar wij ook wel iets in zien.
Sta me toe even Martin Gardner te citeren over dit boek:

With humor and profound insights, and an emphasis on elegance and surprise, Alex Bellos has written a truly marvelous survey of modern mathematics. From the mysteries of numbers he plunges into startling aspects of geometry, probability, infinity, non-Euclidian geometry, statistics, origami, and a thousand other wonders of numberland. It is a book that would have delighted mathematician Lewis Carroll. It is a book that will similarly delight anyone tuned to what Bertrand Russell once called the "cold, austere beauty" of mathematics—an incredible region where, unlike fallible science, assertions are true forever and in all possible worlds.

Maar ja, want kan je anders zeggen over een boek waar je zelf in figureert.

Alex Bellos, Getallen ontraadseld. Alles wat je moet weten over wiskunde.
Kosmos Uitgevers, Utrecht/Antwerpen (2010) 432 pagina's.

Enkele onderwerpen die aan bod komen: Achilles en de schildpad - rekenkundige vermogens van baby's - tangrampuzzels - Eschers cirkellimieten - Erik Demaine en Martin Gardner - scharnierende dissecties - de Great Internet Mersenne Prime Search - de kubus van Rubik - de harmonische reeks en overhangende bakstenen - het naaldenprobleem van Buffon - het getal pi - wiskundige puzzels - het tellen van schapen - telraamclubs - vriendschappelijk en volmaakte getallen.
Erg leuk dat zo'n boek in het Nederlands verschijnt.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Het volgende boek vond ik heerlijk om te lezen. Het begint al bij het openslaan. De opdruk aan de binnenzijde van de harde kaft ziet er zo uit:

Mensen die mij kennen, die beseffen nu waarschijnlijk dat dit al een goed begin is. Ik was dadelijk verkocht. Het feit dat dit boek geschreven is in onze derde landstaal, dat is een drempel die je moet overwinnen. Maar het loont. De inhoud lijkt wel een beetje op wat we proberen te doen in deze blog. Paul Erdös komt er in voor, en de wet van Benford, en Leonhard Euler en het Basel-probleem, en pi-dag, en ookhet getal i, en de vraag naar hoeveel priemgetallen er zijn. Formules komen er bijna niet in voor, de schrijver heeft het wel over formules in kranten, die vaak kant noch wal raken. En over bewijzen in de wiskunde en het boek Proofs from the Book waar hijzelf mede-auteur van is.
Günter Ziegler is een interessante figuur. Hier zie je hem (links) op enkele foto's. Op de eerste foto staat hij naast de auteur van De telduivel (een hoofdkussenboek voor iedereen die bang is voor wiskunde): Hans Magnus Enzensberger.

Ziegler is wiskundige. Hij zorgde er bijvoorbeeld voor dat het jaar 2008 in Duitsland het Jaar van de Wiskunde werd. Hij ontving in datzelfde jaar o.a. daarvoor de Communicator-Preise, een prijs die gegeven wordt aan een wetenschapper die zich onderscheiden heeft in het toegankelijk maken van de wetenschap voor het grote publiek. Toen ik hem om een recensie-exemplaar van zijn boek vroeg, heb ik hem de volgende twee vragen gesteld:

Why did you write it?

I had had a book plan for a long time (going back to 2001 or so,when a publisher had asked me for a Maths book for young adults), but I didn't know how to adress "the reader" (since I didn't have a suitable 17-year old niece to think of). Then at some birthday of my own thinking about birthday presents I decided that I should write such a book for my friends (all of them interesting people, and interested in what I do, all of them educated of various degrees, but not mathematicians). This was a crucial insight, since telling them stories I found I did NOT have to justify myself for what I do -- I could assume that they ARE interested. And that helps enormously with writing.

What did you leave out at the last moment?

There were various parts in the original plan that could have made additional chapters, e.g. about mathematical high-tech and responsibility (is math responsible for the current financial crisis?). I did cut out what was difficult or less fun to write. One piece I cut out last-minute was a small section (in the last chapter) about "Meine sportlichen Erfolge" which looked a bit like bragging.

Günter Ziegler schrijft ook een wiskunde-blog voor scilogs.de.

Günter M. Ziegler, Darf ich Zahlen? Geschichten aus der Mathematik.
Piper Verlag GmbH, München (2010) 272 pagina's.

Dit leuke boek bevat de volgende delen: Op de getallenstraal - Het oneindige verhaal van de priemgetallen - De wiskundige blik - Opgepast formules! - De kleine raadsels - Hoe wiskunde ontstaat - Het boek der bewijzen - Drie legendes - Wat zijn het voor mensen? - Wat wiskundigen kunnen. Elk deel bestaat dan weer uit kleine stukjes, die erg aangenaam lezen.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ O

Clifford Pickover is een geval apart. Hij schrijft bijna elk jaar een nieuw boek, en elk nieuw boek bevat een schat aan informatie. Zo ook dit prachtige Het Wiskunde Boek (oorspronkelijke titel The Mαth βook). Niet echt iets om mee op vakantie te nemen als je je verplaatst per vliegtuig, want het werk weegt toch wel zo'n 1,5 kg. Sla je dit boek op een willekeurige plaats open, dan krijg je wat uitleg en een beeld bij een van de 250 mijlpalen in de geschiedenis van de wiskunde die het boek bevat. De mijlpalen zijn gerangschikt op jaar, dus als je meer wil weten over de 20ste eeuw, dan zoek je meer naar het einde van het boek toe.
Bijvoorbeeld, op pagina 428 gaat het over het Superei van Piet Hein (ca. 1965). Je ziet dan ongeveer dit (in de oorspronkelijke versie):

De laatste mijlpalen zijn gedateerd 2007. Achteraan in het boek vind je een uitgebreide literatuurlijst.
Opnieuw wil ik Martin Gardner citeren:

Clifford Pickover, prolific writer and undisputed polymath, has put together a marvelous reference work. Its 250 short entries provide a veritable history of mathematics by focusing on its greatest theorems and the geniuses who discovered them. Topics are chronological, starting with the calculating abilities of ants 150 million years B.C. and ending with Max Tegmark's recent conjecture that our universe is not just described by math, it is mathematics. Dr. Pickover's vast love of math, and his awe before its mysteries, permeates every page of this beautiful volume. The illustrations alone are worth the book's price.

Dit laatste is in dit geval zeker waar, het boek is een jubileumaanbieding naar aanleiding van 25 jaar uitgeverij Librero, en het kost slechts € 14,95.

Clifford Pickover, Het Wiskunde Boek. Van Pythagoras tot de 57ste dimensie, 250 mijlpalen in de geschiedenis van de wiskunde.
Librero Nederland (2010) 528 pagina's.

The title says it all. Dit boek hoort te liggen op elke salontafel, bovenop bijvoorbeeld De coffee table aarde vanuit de hemel van Yann Arthus-Bertrand. Het is een echt Coffee table book (overigens een uitvinding van David R. Brower van rond de jaren 1960). De coffee table in kwestie zou er dan ook best uit kunnen zien zoals op de bovenstaande foto.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

De calculus van vriendschap

09. December 2009, 11:56

Het gebeurt eerder zelden dat ik een boek over wiskunde lees en daar al vanaf het begin een geweldige affiniteit mee voel.
Er zijn een aantal zaken die me altijd gefascineerd hebben. Een daarvan is een formule uit 1656. Als je de volgende rij getallen op dezelfde manier voortzet, waar kom je dan terecht?

Het verbazingwekkende antwoord is: uiteindelijk in pi/2. In de limiet heb je dan links een product met oneindig veel factoren, en rechts staat er dus pi/2. Dat wordt zo genoteerd:

Deze formule wordt de productformule van Wallis voor pi genoemd. John Wallis (1616-1703) was toevallig ook de eerste die ∞ als symbool voor oneindig gebruikte. De formule van Wallis is een van de oudste oneindige uitdrukkingen voor het getal pi. En toch erg nuttig. Een Japanse collega zei me onlangs in een e-mail: ik gebruik ook graag de productformule van Wallis om andere dingen mee te bewijzen.

Iets anders nu, wat is de waarde van de volgende integraal?

Ter aanvulling: de getalwaarde die deze integraal geeft is te zien als de oppervlakte van een vlakke figuur:

De waarde van de integraal is precies gelijk aan de som van de oppervlaktes van de rode vlakdelen min de som van de oppervlaktes van de groene, waarbij je er vanuit moet gaan dat de figuur naar rechts toe oneindig ver doorloopt.
Het antwoord is, al even verrassend, opnieuw pi/2:

Integralen berekenen heb ik geleerd in het secundair onderwijs, maar dit is er een die je niet op de gewone manier kan vinden. Een trukje is hier de oplossing, een trukje dat bekend staat als differentiating under the integral sign. In de wiskunde worden bepaalde trukjes zo vaak gebruikt dat we ze gerust kunnen opwaarderen tot "technieken".

Een laatste probleem dat ik altijd wel leuk heb gevonden, waar ik voor het eerst mee geconfronteerd werd in een les over programmeren: vier honden bevinden zich op de vier hoeken van een vierkant, en ze lopen naar elkaar toe. Elke hond loopt recht naar de hond die in tegenwijzerzin (of in wijzerzin zoals in de rechtse figuur) bekeken het dichtstbij is. Hun snelheden zijn precies gelijk.

Welke baan beschrijven de honden? Merk op dat ze zich op elk ogenblik op de hoekpunten van een (steeds kleiner wordend) vierkant bevinden. De vraag is dan: hoeveel afstand leggen de honden elk af voor ze samenkomen in het midden van het vierkant. Het antwoord is iets om over na te denken: de afgelegde afstand is gelijk aan de lengte van de zijde van het startvierkant.

Alle drie deze problemen vind je terug in een nieuw boek, dat de correspondentie bevat tussen een leerling en zijn leraar wiskunde. De brieven in kwestie gaan bijna uitsluitend over wiskunde, meer bepaald calculus, maar ze worden met de tijd meer persoonlijk. Een aanrader. De auteur, Steven Strogatz, heeft eerder al een boek geschreven over synchronisatie. Je kan hem aan het werk zien in dit leuke filmpje.

Steven Strogatz,The Calculus of Friendship: What a Teacher and a Student Learned about Life while Corresponding about Math. Princeton University Press (2009) 166 pagina's.

Zoals de ondertitel belooft: leerling en leraar groeien naar elkaar toe in hun correspondentie over calculus-problemen. Om te begrijpen waar ze het over hebben, moet je wel wat wiskunde kennen. Maar dat hebben jullie in deze blog waarschijnlijk ook al gemerkt.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Paul J. Nahin, Chases and Escapes. The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton University Press (2007) 270 pagina's.

Een boek voor lezers (met een goede wiskunde-achtergrond) die interesse hebben voor problemen zoals het Vier honden probleem. Het boek is zoals de meeste boeken van deze auteur een aangename afwisseling van geschiedenis en wiskunde!

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Is God een wiskundige?

04. Oktober 2009, 14:24

John E. Littlewood schreef ooit:

voor God aan de schepping begon, was hij een theoretische wiskundige.

En Paul Erdös, die we al kennen van een vorige blog, zei:

God dobbelt misschien niet met het heelal, maar er is iets vreemds aan de hand met de priemgetallen.

Veel bekender is de uitspraak van Leopold Kronecker:

God heeft de natuurlijke getallen geschapen, al de rest is het werk van de mens.

In zijn laatste boek stelt Mario Livio zich de vraag: hoe komt het dat wiskunde als taal zo effectief is om de wereld mee te beschrijven?
Een goede inleiding op zijn boek kan je lezen in een artikel uit 1998 dat verschenen is in het tijdschrift Science.
Het gebeurt wel vaker dat een wiskundige theorie pas veel later blijkt zeer goed gebruikt te kunnen worden in een of andere praktische toepassing, of dat een wiskundige theorie wordt uitgewerkt om bepaalde natuurverschijnselen te beschrijven, en dat de wiskunde leidt tot voorspellingen die later bevestigd worden. Denk bijvoorbeeld maar aan de algemene relativiteitstheorie van Einstein en de 'voorspelling' van de afbuiging van het licht.
Dan rijst al snel de vraag: is de wereld gebouwd op de wiskunde, of is het omgekeerd?

In ditzelfde kader: ook de link tussen de wiskunde en de natuur die gelegd wordt via het getal dat bekend staat als de gulden snede, is lichtjes bevreemdend. Kan een getal dat in deze vorm

of in deze

$continued fraction for gs$

kan geschreven worden, en duidelijk een menselijke constructie is, zelfs eerder spielerei, kan zo'n getal ook werkelijk iets in de natuur beschrijven?
De waarde van het getal Φ, de gulden snede, is ook te berekenen op een meer eenvoudige manier:

Dit getal is als volgt gedefinieerd: we verdelen een lijnstuk in twee delen P en Q (met P kleiner dan Q) op zo'n manier dat het kleinste deel zich verhoudt tot het grootste zoals het grootste zich verhoudt tot het volledige lijnstuk, dus

De gulden snede is dan gelijk aan Q/P. Uit deze vergelijking volgt dat we dit getal kunnen berekenen door een vierkantsvergelijking op te lossen.
We hebben namelijk:

waarbij we in de laatste stap beide leden gedeeld hebben door het kwadraat van P. Hier staat dus

Over het oplossen van vergelijkingen lees je hier meer.

De gulden snede wordt te pas en te onpas in verband gebracht met een bepaald schoonheidsideaal, en veel boeken die over dit onderwerp zijn geschreven zijn dan ook niet erg wetenschappelijk gefundeerd.

Mario Livio is een bekend sterrenkundige die werkt aan het STScI (het Space Telescope Science Institute) in Baltimore. Hij is hoofd van het Office of Public Outreach. In deze post gaat hij verder dan enkel de sterrenkunde bekend maken bij het grote publiek.

Mario Livio, Is God a mathematician? Simon & Schuster (2009) 308 pagina's.

Deze vraag wordt bekeken doorheen de geschiedenis van de wiskunde/wetenschappen, van Pythagoras tot de twintigste eeuw, toen de wiskunde op haar grondvesten beefde door de resultaten van o.a. Kurt Gödel.
De auteur laat hierbij opvallend veel andere wetenschappers aan het woord, o.a. Nobelprijswinnaar Eugene Wigner die het heeft over the unreasonable effectiveness of mathematics.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number Broadway Books (2002) 294 pagina's.

Een boek over de gulden snede geschreven door een wetenschapper.

Vergelijkbaar in stijl met het vorige boek, in die zin dat het onderwerp behandeld wordt doorheen de geschiedenis. Livio maakt de lezer duidelijk dat er onder het mom van wetenschap veel onzin over dit getal verteld wordt.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Mario Livio, The Equation That Couldn't Be Solved. Simon & Schuster (2005) 353 pagina's.

De ondertitel van dit boek is: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry. Over hoe het zoeken naar oplossingen van vijfdegraadsvergelijkingen m.b.v. wortels heeft geleid tot de ontwikkeling van de groepentheorie. Grote rol in dit verhaal wordt gespeeld door de wiskundigen Niels Abel en Evariste Galois.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Over een bibliotheek met oneindig veel vakantielectuur

16. Juli 2009, 14:57

Toevallig las ik vandaag in het laatste nummer van het weekblad Knack een artikel in een reeks over beroemde gedachte-experimenten. Titel: de bibliotheek van Borges.
(In datzelfde nummer van Knack vond ik overigens ook een artikel over Lewis Carroll.) borges

De titel verwijst natuurlijk naar het verhaal De bibliotheek van Babel van de Argentijnse schrijver Jorge Luis Borges (1899-1986). Deze bibliotheek bevat precies 25 tot de macht 1.312.000 boeken.
Bibliotheken hebben me altijd erg aangetrokken, want ik houd van boeken.

(Ik ben wel wat trots op mijn wiskundebibliotheek, hoewel ik nog steeds problemen heb om de boeken in een logische volgorde te krijgen. In het begin ging het nochtans goed, zoals je kan zien op de foto).
De bibliotheek in het verhaal van Borges heeft een vreemde structuur. Ze is opgebouwd uit een groot aantal zeshoekige galerijen - misschien zelfs oneindig veel - die tamelijk precies beschreven worden. Het middelpunt kan in elke zeshoek liggen, en de rand van de bibliotheek is onbereikbaar.

Toen werd bekendgemaakt dat de bibliotheek alle boeken bevatte, was de eerste reactie er een van opperste gelukzaligheid, zegt de verteller van het verhaal, die zelf bibliothecaris is in de bewuste bib.

Je merkt het al: Borges had een speciale relatie met het begrip 'oneindig', een begrip dat in de wiskunde een heel belangrijke rol speelt.
Een reden voor Bill Bloch om een boek te schrijven waarin hij de wiskundige implicaties in het verhaal van Borges uit de doeken doet.
Je kan er bijvoorbeeld in leren hoe je precies op die hoeveelheid boeken uitkomt. Of hoe die bibliotheek er dan wel zou kunnen uitzien, als het middelpunt in elke zeshoek kan liggen. Of hoe de bibliotheek vergelijkbaar is met een Turing-machine.
Bij het lezen viel me wel op dat er in Borges' bibliotheek geen wiskundeboeken staan. Maar bijvoorbeeld het boek La disparition, van Georges Perec, een boek dat geen enkele keer de letter 'e' bevat, en ook de (recente) Nederlandse vertaling ervan ' 't Manco', ook zonder e, staan er zeker in de rekken (maar dan zonder de '). Ook varianten van die boeken, versies met 16 e's, of 25, die zijn er ook. Die 'vinden' we er ook, wilde ik al zeggen, maar dat vinden blijkt een probleem te zijn in deze oneindig grote bibliotheek.
Leuk is ook dat Bloch op zoek is gegaan naar de wiskundeboeken die Borges in zijn eigen bibliotheek had staan. Een ervan staat toevallig al jaren (om precies te zijn, sinds 1979) in mijn bibliotheek, met name het boek Mathematics and the imagination van E. Kasner en J. Newman, een boek dat verschenen is in 1940 (en nu nog steeds verkrijgbaar is bij Dover Publications), met op de kaft het symbool aleph-nul. Je ziet ze hier naast een boek uit 1949 van Borges zelf.

Borges schreef zelf ooit een bespreking van het boek van Kasner en Newman. Het is dan ook een absolute aanrader!
(PL)

William Goldbloom Bloch,
The Unimaginable Mathematics of Borges' Library of Babel.
Oxford University Press (2008) 192 pagina's.

Dit boek is niet enkel voor wiskundigen bedoeld, maar ook voor Borges-liefhebbers, en andere geïnteresseerden die geen wiskunde-fobie hebben. Elk hoofdstuk eindigt met een paragraaf Math Aftermath, waarin iets dieper wordt ingegaan op de wiskundige aspecten van het hoofdstuk.

Zeker ook de rubriek Annotated Suggested Readings niet overslaan!

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Robin Wilson schrijft over Lewis Carroll - de wiskundige

05. Juni 2009, 09:09

Misschien heeft u dit vroeger ooit gelezen?

Lewis Carroll is vooral bekend als schrijver van De avonturen van Alice in Wonderland. Zijn alter-ego Charles Dodgson (1832-1898) was als wiskundige werkzaam in het Christ Church college in Oxford. Beide persoonlijkheden hebben elkaar sterk beïnvloed.
Dodgson heeft ook een belangrijke rol gespeeld in de ontwikkeling van de fotografie.

Een van de geliefkoosde raadseltjes van Dodgson/Carroll past perfect in deze rubriek: teken het volgende diagram in één trek waarbij je ervoor moet zorgen dat je geen al getekende lijn kruist.

(Ik heb bovenstaande figuur zelf gemaakt met een klein programma dat bij een opdracht van de vorm: lijn{(0,0),(1,1),(2,1)} de punten met gegeven coordinaten met behulp van een lijnstuk verbindt met elkaar. In dit geval was 1 lijn computercode dan ook voldoende voor het genereren van de figuur;-).
Ook het volgende vraagstuk vind je bij Lewis Carroll:

De aap en het gewicht zijn volkomen in evenwicht. Wat gebeurt er met het gewicht als de aap zich optrekt aan/omhoogklimt op het touw?
Stof tot nadenken...

Maar Dodgson was in de eerste plaats een wiskundige en heeft bijvoorbeeld zijn sporen nagelaten in de logica. Hij heeft ook een methode uitgedacht om determinanten van matrices te berekenen, en die methode is de laatste jaren erg nuttig gebleken, bijvoorbeeld voor het bewijzen van de alternating sign matrix conjecture (de meer wiskundig geschoolden kan ik hiervoor verwijzen naar dit artikel). Ook kan dankzij de methode van Dodgson de berekening van determinanten geparallelliseerd worden, wat de snelle verwerking door parallelle computers mogelijk maakt.
In de rubriek De wiskunde achter de blog lees je hoe het algoritme in elkaar steekt.

Robin Wilson is als wiskundige onder andere werkzaam aan de Open University in Engeland. Lezers van deze blog zijn hem al even tegengekomen i.v.m. het gas-water-elektriciteitsprobleem. Wilson heeft Erdös-getal 1.
Recent verscheen er een boek van hem over Lewis Carroll/Charles Dodgson.

Robin Wilson, Lewis Carroll in Numberland - His Fantastical Mathematical Logical Life.
Allen Lane (2008) 237 pagina's.
W.W.Norton & Co (2008) 208 pagina's.

Blijkbaar zijn er twee verschillende uitgaven van dit boek, vandaar de twee verschillende kaften.

Het boek heeft nog een ondertitel, die niet op de prachtige omslag vermeld staat, namelijk: An Agony in Eight Fits. Dit slaat op de acht hoofdstukken over het leven en werk van Charles Lutwidge Dodgson die volgen op een inleiding om in de juiste sfeer te komen.

Natuurlijk zijn er heel wat van Lewis Carroll's leuke problemen in opgenomen (de oplossingen staan achterin), en nu en dan ook een stuk tekst uit een van zijn (kinder?)boeken.

Wilson imiteert een beetje de stijl van Lewis Carroll zelf. Het is daardoor een leuk boek om te lezen, en geen saaie biografie. Hoewel vooral de kant wiskundige/puzzelaar in Dodgson belicht wordt, is er naast een beetje meetkunde, logica en algebra toch niet veel wiskunde te lezen/vrezen.

Carroll is een fascinerende figuur. Ook Martin Gardner vond/vindt dat. Zijn boek uit 1996, The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll's Mathematical Recreations, Games, Puzzles, and Word Plays, Copernicus Books (1996), is zeker de moeite van het lezen waard.

Lees ook zeker de blog van John Allen Paulos over dit boek.

En om te eindigen in de plagerige stijl van Lewis Carroll zelf: de leukste anecdote staat op pagina 101.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

De kwadratuur van de sudoku

02. Februari 2009, 09:21

Gastbijdrage door Paul Levrie.

Hoewel de titel van deze boekenblog misschien niet echt de lading dekt, kunnen we hem toch wel verantwoorden (zie verder). Het boek dat ter bespreking voorligt (zie verder) is van de hand van Peter Higgins. Het gaat over grafentheorie. Zoals je misschien wel weet is deze tak van de wiskunde ontstaan bij Leonhard Euler (Bazel, 15 april 1707 – Sint-Petersburg, 18 september 1783) toen die in 1736 het probleem van de zeven bruggen van Königsberg oploste. De stad Königsberg (nu Kaliningrad) ligt aan beide zijden van de rivier de Pregel en op twee eilandjes in de rivier. De verschillende delen van de stad zijn met elkaar verbonden via zeven bruggen.

konigsberg

Het gestelde probleem was het volgende: kan je een wandeling maken door Königsberg en daarbij elke brug precies eenmaal oversteken? Euler bewees dat het niet kon. In de volgende figuur wordt de situatie schematisch voorgesteld.

graaf

Dit is een graaf. De lijnen (wegen/zijden/takken) stellen de bruggen voor. De gekleurde cirkels (knopen) de delen van de stad. Het is niet moeilijk om in te zien dat het probleem onoplosbaar is omdat in elke knoop een oneven aantal wegen aankomt.

Dit probleem is verwant met het gas-water-elektriciteit-probleem en ook met het nog bekendere vierkleurenprobleem (waar diezelfde Robin Wilson die je in het vorige filmpje aan het werk ziet, een boek over heeft geschreven). En zo zijn er allerlei verbanden te leggen, die Higgins dan ook legt. Bijvoorbeeld met het Erdös-getal.
En ook met ... sudokus.

Peter Higgins is de uitvinder van de cirkel-sudoku waarvan je hier een voorbeeld ziet.

De cirkel is opgedeeld in 5 ringen en in 10 cirkelsectoren. De bedoeling hier is dat je de lege vakjes opvult met de cijfers van 0 tot 9 op zo'n manier dat elk cijfer precies een keer voorkomt in elke ring, en dat elk cijfer ook precies een keer voorkomt in twee naast elkaar gelegen cirkelsectoren. Je vindt nog andere voorbeelden in het boek en op de website van Higgins.

Voor mensen die graag denkpuzzels oplossen: ook de bekende puzzel Instant Insanity wordt besproken in het boek.

instant insanity

Voor meer hierover kan je terecht hier, en hier. Op deze laatste site kan je zelf proberen.

En zo gaat het voort. Higgins slaagt erin al deze dingen en nog veel meer (o.a. ook de logische puzzels met eilandbewoners die altijd de waarheid spreken of altijd liegen, of het Die hard with a vengeance-probleem) met elkaar te verbinden, via de grafentheorie, en hij doet dit in feite zonder veel wiskunde. Wat toch wel een prestatie is.

Peter M. Higgins, Nets, puzzles, and postmen, An exploration of mathematical connections.
Oxford University Press (2007).

Een boek over grafentheorie voor de geïnteresseerde leek, maar ook voor de connoisseur: Higgins eindigt met een hoofdstuk voor meer wiskundig aangelegde lezers. In dit hoofdstuk doorloopt hij het hele boek en gaat hij wat dieper in op de wiskunde die er bij komt kijken. Vandaar de dubbele score onderaan.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο / Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

Overzicht Weetlogs

Overzicht Breinlogs

Overzicht Ruimtelogs

Overzicht Techlogs

2012 Kort

The one million dollar questions

Over harmonische driehoeken en hoe je er munt uit slaat

Ionica, Jeanine, de huishoudster en de professor

Chaos niet enkel bij de banken

Quaternionen?

La petite histoire des mathématiques

Bas en het wiskundemeisje

Wiskunde is in

Leonhard, Emmy, Sophie en de anderen

De calculus van vriendschap

Is God een wiskundige?

Over een bibliotheek met oneindig veel vakantielectuur

Robin Wilson schrijft over Lewis Carroll - de wiskundige

De kwadratuur van de sudoku

Wiskunde is sexy

Categorieen

Recent...

Tag cloud

Recente reacties