SciLogs International .com.be.es.de

Recentste blogposts RSS

17, en toch al wiskundig sexy

31. Januari 2012, 13:57

Nieuwsflash 17x17-probleem opgelost! Lees meer hier.

Toen hij 17 jaar was bewees de jonge Carl Friedrich Gauss dat de regelmatige 17-hoek te construeren is met passer en liniaal, een onwaarschijnlijke krachttoer. In 2000 jaar was er namelijk niets interessants gebeurd wat betreft constructies: de oude Grieken hadden geen problemen met regelmatige driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, en ze konden ook een hoek in twee delen, dus zeshoeken, achthoeken, tienhoeken lukten ook. Vijftienhoeken waren een combinatie van driehoek en vijfhoek, ook daar geen probleem. En dan kwam Gauss, en bleek dat de 7-hoek niet maar de 17-hoek wel te construeren was.

Met passer en liniaal betekent eigenlijk: je kan met de passer cirkelbogen trekken, en met het liniaal rechte lijnen tekenen. Maar meten is niet toegestaan. Ik denk dat Gauss het eerder als een puzzel zag, toen hij het probleem aanpakte. Een theoretische puzzel in zijn geval, want een echte constructie volgde pas later:

Constructie 17-hoek

(Gauss was eigenlijk 19 toen hij dit resultaat aantoonde, maar in een blog met deze titel paste dat niet. Zijn geboortejaar begint overigens wel met 17.) 
Gauss had graag gewild dat een regelmatige zeventienhoek zijn graftombe sierde, maar de steenkapper van dienst vond dat geen goed idee. De zeventienhoek lijkt teveel op een cirkel, en de steenkapper vreesde dat hij daardoor als een amateur zou overkomen op de mensen.

Win een biografie van Gauss!
Omdat het een blogpost is over puzzels, hebben we er ook een puzzel ingestoken. Hier en daar staat een cijfer blijkbaar zonder reden in kleur. Als je al deze cijfers achter elkaar zet, dan vind je geboorte- en sterftejaar van een wiskundige waarover we al geblogd hebben en die invloed heeft gehad op het leven van Gauss. Weet je wie het is, mail dan je antwoord naar dit adres. Tussen de deelnemers worden 2 exemplaren van de biografie van Gauss verloot die we al eerder besproken hebben op deze blog. Je kan meedoen tot en met 15 februari.


Puzzels met 17. Daar gaan we het over hebben.


Recent werd door een Iers wiskundige, Gary McGuire, bewezen dat er minstens 17 vakjes moeten ingevuld zijn bij een sudoku, anders heeft deze zeker geen unieke oplossing. Je leest er meer over op kennislink. Hier is er alvast een voor de liefhebbers:

17 vakjes ingevuld

Voor zijn bewijs heeft McGuire de computer ingeschakeld, en daarom staat het nog niet voor 100% vast dat het geldig is. 



17 is ook het aantal kamelen die een sjeik met 3 zonen in zijn testament had staan. Die moesten zo verdeeld worden: de oudste krijgt de helft van de kamelen, de middelste zoon krijgt een derde, en de jongste moet het stellen met het negende deel. Hoe gaan ze dat regelen?



Wisten jullie dat je op de volgende manier kan nagaan of een getal deelbaar is door 17:
neem het laatste cijfer 5 maal, en trek het resultaat af van je oorspronkelijke getal waar je het laatste cijfer van weggelaten hebt.
Dus bijvoorbeeld:
90 826 302 424  wordt  9 082 630 222
want je trekt van 9 082 630 242 het getal 20 (=4 x 5) af.
Herhaal de procedure:
9 082 630 222  wordt  908 263 012
 908 263 012  wordt  90 826 291
 90 826 291  wordt  9 082 624
9 082 624  wordt  908 242
  908 242  wordt  90 814
 90 814  wordt  9 061
 9 061 wordt  901
  901 wordt  85

Dan stopt het. Indien het getal dat overblijft deelbaar is door 17, dan is het startgetal dat ook.
Kan je dit bewijzen? Graag in een reactie!



Dan is er het raadsel van de brug die over 17 minuten zal instorten. Vier jongens moeten nog aan de overkant zien te geraken. Elk van de jongens doet dat aan een ander tempo. Ze hebben respectievelijk 2, 3, 5 en 6 minuten nodig. Maar de brug kan maar twee personen tegelijkertijd aan. Bovendien is het nacht, en donker, en er is maar een zaklamp. Die moet dus telkens als er twee zijn overgestoken worden teruggebracht. Hoe moeten ze het aanpakken?



17 is ook het aantal essentieel verschillende behangpatronen. Met een behangpatroon bedoelen we een patroon dat zich in (minstens) twee verschillende richtingen voortzet. De kristallograaf E. S. Fedorov bewees in 1891 dat het er precies 17 zijn. Escher was een krak in het maken van mooie behangpatronen. Hier zie je er enkele:

vissen

vlinders

Het is voor mij een raadsel hoe je kan bewijzen dat er precies 17 zijn. Ik heb al wel wat bewijzen van dit resultaat gezien, maar niet echt begrepen, en geen enkel dat intuïtief duidelijk is. Ken je er een? Graag in een reactie.



Dan is er natuurlijk ook nog de Onmogelijke Puzzel, gepubliceerd in 1969 door Hans Freudenthal. Hij gaat als volgt.
Twee getallen x en y zijn beide strikt groter dan 1 en de som is maximaal 100. Steven kent enkel de som van deze twee getallen, en Pascale enkel het product. Zowel Steven als Pascale zijn keien in logisch denken.

Pascale zegt: ik kan er niet achterkomen wat x en y zijn
Steven antwoordt: dat wist ik al
Waarop Pascale zegt: maar nu weet ik het wel
Steven repliceert: dan weet ik het nu ook

Bepaal x en y.
Ook deze puzzel heeft met 17 te maken.



Op het zeventiende probleem van Hilbert moet je overigens niet meer zoeken, want dat is ondertussen al opgelost, meer bepaald al in 1(92)7. David Hilbert formuleerde in 1900 23 belangrijke onopgeloste problemen uit de wiskunde met de uitdaging er klaarheid in te scheppen tegen het jaar 2000. Dat is niet gelukt. Voor het 17de wel.

Hilbert

De oplossing van zijn zeventiende probleem is: elke veelterm (in n veranderlijken) die enkel positieve waarden aanneemt (over de reële getallen) kan geschreven worden als som van eindig veel kwadraten van rationale functies. Dit voor de volledigheid.



We zijn nog lang niet aan 17 puzzels, maar met de volgende boeken bij de hand, kom je er zeker... Toch nog even meegeven dat $\pi$ naar het schijnt de 17de letter is in het oorspronkelijke oud-Griekse alfabet. En bekijk ook zeker dit filmpje eens: je ziet er de puzzelontwerper Oskar van Deventer bezig met zijn 17x17x17 Rubik's Cube, gemaakt met een 3D-printer! (Kostprijs: zo'n 1500 euro)

Ken je nog puzzels met 17? Stuur een reactie!



Breinbrekers Moscovich
Ivan Moscovich, Het grote breinbrekerboek. De 1000 beste puzzels, raadsels en doordenkers. 
Lannoo nv, Tielt (2011) 432 pagina's.

Een prachtig boek, met 1000 puzzels, moeilijkheidsgraad varierend van 1 tot 10. Bekijk hier pagina 3 en pagina 357 (weliswaar uit de oorspronkelijke Engelse versie van het boek). Met een voorwoord van Ian Stewart. Ivan Moscovich woont in Nederland. Hij is een van de bekendste bedenkers van puzzels en raadsels. De puzzels zijn gegroepeerd per onderwerp, een beetje zoals in het bekende 536 puzzles & curious problems van die andere puzzelontwerper Henry Dudeney.

Een ideaal boek om a. jezelf cadeau te doen; b. als coffeetablebook te gebruiken; c. in de auto te hebben liggen voor in de files en op vakantie op het strand. Het enige minpunt is dat het boek erg groot is en veel weegt. Het feit alleen al dat er een pagina besteed wordt aan krommen van constante breedte is voor ons voldoende om het boek erg te kunnen waarderen.


Formuledichtheid:  Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: niet van toepassing
Score: Θ Θ Θ Θ Θ



Denkwaar Klouwen
Jaap Klouwen, Denkwaar. Spelen met getallen, woorden en vormen. 75 intrigerende breinbrekers. 
Veen Magazines, Diemen (2010) 192 pagina's.

Henry Dudeney komt ook voor in dit boek met 75 puzzels. Een ander concept dan het vorige, de puzzels zijn iets langer maar je vindt er vast je gading, want het gaat van cijferpuzzels (geef acht manieren om met acht achten het getal 1000 te vormen), via vierkante wielen (!), tot een opgave waar gevraagd wordt de vervangingsweerstand van een kubusschakeling te berekenen. Vaak erg originele puzzels, met telkens een leuk verhaaltje erbij.

Iets moeilijker dan het vorige boek, want hier en daar komt er toch wat wiskunde bij kijken (bijvoorbeeld bij de beste baan voor een vierkant wiel). De auteur Jaap Klouwen maakt al 27 jaar puzzels voor enkele bladen van de Universiteit van Amsterdam. Dit boek is een bundeling van de interessantste. Achteraan in het boek staan ook uitgewerkte oplossingen.  


Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: niet van toepassing
Score: Θ Θ Θ Θ Ο




Graetzer Train your brain
George Grätzer, Train Your Brain. A Year's Worth of Puzzles.
A K Peters/CRC Press (2010) 235 pagina's.

Sommigen kennen de auteur misschien wel van het boek Math into LaTeX. In dit boek staat een verzameling denkoefeningen om het jaar goed door te komen, en je hersenen te trainen. Er zijn 52 hoofdstukken, voor elke week van het jaar is er een. Voor de eerste 36 weken zijn er telkens 3 puzzels, voor de laatste 16 zijn er 2 black belt opgaven. Ook dit is een erg leuke collectie die wel degelijk de bedoeling heeft de lezer op regelmatige basis te doen nadenken. Bij sommige opgaven kan je ook een hint krijgen, en ook in dit boek staan de oplossingen achteraan. 
Een voorbeeld: twee koppels willen een rivier oversteken. Er is een bootje voor 2 personen. De mannen zijn eerder jaloers en willen niet dat hun vrouw alleen is met de andere man. Hoe gaan ze te werk? Nog een voorbeeld: zelfde vraag maar met drie koppels.

Een leuk boek, met veel afwisseling in de problemen. In het Engels wel.

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: niet van toepassing
Score: Θ Θ Θ Θ Ο

 


Geschreven in Algemeen | 4 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Stevige stangen stutten starre stellingen

19. November 2011, 09:47

Nog voordat hij deftig kon praten, maakte de mens constructies met boomstammen of andere materialen. De doelen waren verscheiden: beschutting, klimtuigen, draagberries, … Maar hoe hard de mens zich ook uitslooft met plannen en bouwen, iedere constructie ontmoet vroeg of laat haar beperking.

(voetbalstadion FC Twente)

(Brugge, ijspiste)

(Pukkelpop)

De maximale belasting van een constructie wordt natuurlijk bepaald door de keuze van het materiaal en van de aanhechtingspunten, maar ook (en vooral) door de keuze van het ontwerp.  Nu juist hier blijkt wiskunde nuttig te zijn. Wiskundigen beperken zich niet tot het bewijzen van stellingen, ze maken deze ook star en stevig. We onderscheiden twee niveaus:

1.     Combinatorisch-topologisch: Hoeveel stangen (buizen, balken,…)  gebruiken we, hoeveel knooppunten (scharnieren), en welke knooppunten worden door welke stangen verbonden? Bijvoorbeeld, een kubusconstructie telt 12 stangen en 8 knooppunten, waarin telkens 3 stangen samenkomen.

 

2.     Meetkundig: Kiezen we voor een bepaalde symmetrie? Willen we dat enkele stangen evenwijdig lopen of even lang zijn? Of zijn er complexere voorkeuren, bijvoorbeeld alle knooppunten op een boloppervlak?

Een mooie illustratie van niveau 1 treffen we aan als we een vlak rooster willen stutten:

 

De algemene theorie leert ons dat voor een rooster met R rijen en K kolommen we altijd een starre constructie kunnen bekomen door R+K-1 diagonalen toe te voegen (en door dus evenveel vierkanten te stutten). Bijvoorbeeld:

 

Links het geblokkeerde rooster (met 5+5-1=9 stutdiagonalen), rechts het schematische overzicht van de gebruikte stutstrategie.

Maar let op, een voldoende aantal stangen is nog geen garantie voor starheid, de stangen moeten ook nog vakkundig verdeeld worden over de constructie:

 
 

Hier ziet u een 3 bij 3 rooster dat toch niet voldoende gestut is door 3+3-1=5 diagonalen. De verklaring wordt gegeven door het bijbehorende stutschema dat uit twee aparte stukken bestaat:

 

De telregel voor algemene vlakke structuren is redelijk eenvoudig. Als een constructie V scharnieren telt, dan geldt voor het minimaal aantal stangen E dat vereist is voor starheid:

E = 2V-3 voor vlakke constructies

E = 3V-6 voor ruimtelijke constructies

Bijvoorbeeld, onderstaande vlakke constructie heeft V=5 scharnieren, en dus volstaan 2x5-3=7 staven voor een starre constructie, zoals aangetoond in de linkse figuur:

 

Maar de rechtse figuur is duidelijk niet star (de bovenste staaf kan onafhankelijk van de rest roteren), ondanks het juiste aantal stangen.  De schuld ligt uiteraard bij de slechte verdeling. We ontdekken immers een deelconstructie waar we overdreven gestut hebben. Inderdaad, we hebben hier een deelvierhoek (V’=4) met E’=6 stangen. Dus hebben we een stang verspild (E’=6 > 2V’-3=5), wat we elders in de constructie bekopen (met flexibiliteit). Het is m.a.w. noodzakelijk om onze 2V-3 staven zodanig te verdelen dat voor geen enkele deelconstructie E’ > 2V’-3. Dit was al bekend door Maxwell.

Maar een klassieke stelling van de Nederlandse wiskundige Gerard Laman (1970) zegt dat ook het omgekeerde waar is:  voorgaande verdeelsleutel garandeert altijd een star ontwerp in het vlak. Meer dan honderd jaar geleden ontwikkelde de ingenieur Henneberg een handige grafische methode om alle vlakke starre ontwerpen te genereren met het minimaal aantal staven E=2V-3:

 

Startend met een staaf worden de scharnieren 1 per 1 toegevoegd.  We bevestigen de nieuwe scharnier aan de bestaande constructie met 2 staven (van (i) naar (ii)), of met 3 staven na het weglaten van een staaf tussen twee van de drie aanhechtingspunten (van (ii) naar (iii)).

Let op, met een star ontwerp bedoelen we dat behoudens een ongelukkige keuze van onderlinge lengteverhoudingen dit ontwerp als een starre constructie kan gebouwd worden. Statistisch gezien zijn deze ongelukkige keuzes heel onwaarschijnlijk, maar onze onvermijdelijke drang naar schoonheid en symmetrie blijkt erg nefast. Bekijk bijvoorbeeld onderstaand star ontwerp (i) met V=6 scharnieren en E=2V-3=9 staven (verdeeld volgens het Laman-principe):

 

Maar als we toevallig de binnenste driehoek in puntperspectief plaatsen met de buitenste driehoek, zoals in Figuur (ii), dan wordt de constructie “infinitesimaal vervormbaar”, in de zin dat we de driehoeken een beetje kunnen doen “waggelen” t.o.v. elkaar (probeer dit thuis met de meccano op zolder). De realisatie in Figuur (iii) vertoont zelfs zulke mate van regelmaat dat de ene driehoek een volledige cirkelvormige baan kan maken rond de andere.

De 3D-zieners onder jullie merken ongetwijfeld op dat de niet-starre realisaties (ii) en (iii) van het nochtans starre ontwerp kunnen opgevat worden als projecties van ruimtelijke objecten (Figuur (ii) is een afgeknotte tetraëder, Figuur (iii) een prisma). Deze observatie werd al in de negentiende eeuw gemaakt door James Clerk Maxwell. Een en ander verklaart waarom Projectieve Meetkunde een handig kader verschaft voor de starheidsanalyse van constructies.


In de jaren 70 van de vorige eeuw vroeg de architect Janos Baracs aan enkele wiskundigen in de Universiteit van Montréal of de statica van 3D-constructies kon bestudeerd worden door ze als projecties van 4-dimensionale objecten te beschouwen.

(Ontwerp van Baracs in Quebec)

Uit deze suggestie ontstond het “Structural Topology”-project in Canada, dat intussen uitgegroeid is tot een aparte wiskundige discipline, dikwijls kortweg “Rigidity” genoemd. Behalve de studie van starre constructies, houdt dit gebied zich ook ledig met mechanismen, polyeders, stapelingen en ruimtevullingen (herlees onze blog “Stapelgekke wiskunde”).

De “rigidity community” mag dan wel een klein hutje zijn in het grote wiskundedorp, de problemen die ze behandelen spreken een groot publiek aan. Grote namen zoals Grünbaum, Coxeter, Ziegler en Demaine zijn  vrienden aan huis. Bovendien staat de deur open voor bezoekers van verschillende allooi en komaf: informatici, ingenieurs, architecten, biologen, natuurkundigen, chemici en natuurlijk ook de onvermijdelijke kunstenaars. Starheidonderzoekers blijken flexibele mensen te zijn.

Hoewel, we doen de geschiedenis meer recht aan door de geboorte van het vak “Wiskundige Starheid” eerder in de 18de eeuw te situeren. De Zwitserse wiskundige L. Euler (wie anders?) vroeg zich af of een getrianguleerd gesloten oppervlak een starre ruimtelijke constructie vormt. Hij vermoedde van wel. Maar het duurde tot 1813 alvorens hierop een gedeeltelijk antwoord kwam, en dan nog wel niet van de minste.

Cauchy bewees dat het skelet van een convexe getrianguleerde polytoop een starre constructie is.

 

Eigenlijk bewees Cauchy zelfs dat iedere convexe polytoop star is, indien we de zijvlakken onvervormbaar houden (bijvoorbeeld als metalen plaatjes die aan elkaar vasthangen met scharnierassen). Dit levert stevige architecturale mogelijkheden:

 

Vorige maand vond een interessante “rigidity workshop” plaats in Toronto, waar bovenstaande vragen en aanverwante kwesties aan bod kwamen. 

Hieronder ziet u Robert Connelly aan het werk, met zijn onvermijdelijke modellen en knutselarijen. Deze wiskundige, die er uitziet alsof hij al jaren met beren samenleeft in de Canadese bossen, gaf een lezing over het efficiënt stapelen van cirkels op een torus. In 1976 verbaasde hij vriend, beer en vijand door de ontdekking van flexibele getrianguleerde polyeders (wegens Cauchy dus noodzakelijkerwijs niet-convex).

 

En kijk eens over welk mooi ding ik toen struikelde:

Het buitenste skelet is een kunstwerk van Rinus Roelofs, die ook regelmatig opduikt op Rigidity-bijeenkomsten. Maar binnenin bouwde Bob Connelly een “tensegrity” (constructie met staven en aangetrokken kabels) met dezelfde structuur als het werk van Rinus.

Ook origami-wizard Erik Demaine was van de partij, de “Mozart van de wiskunde” zoals collega Dirk Huylebrouck hem noemde. Erik, de man die zijn volk leerde plooien, kwam al meermaals aan bod in deze blog.

 

Maar het heet hangijzer op deze bijeenkomst bleek eens te meer de zoektocht naar de “heilige graal” van de rigidity-folks, waarvan nu al ettelijke decennia beweerd wordt dat ze binnen handbereik ligt. Ik bedoel de karakterisatie van starre 3D-ontwerpen met stangen en scharnieren. Zo een karakterisatie zou bijvoorbeeld een veralgemening kunnen zijn van het grafische Henneberg-principe, maar nu om 3D-constructies te genereren door scharnieren 1 voor 1 toe te voegen. Of misschien een veralgemening van het verdelingsprincipe van Laman. Dat dit niet eenvoudig zal zijn, wordt aangetoond door volgende ruimtelijke constructie met V=8 scharnieren, E=3V-6=18 staven en geen enkele deelconstructie met overbodige staven (E’>3V’-6). Het aantal staven klopt dus, en ze lijken goed verdeeld, maar toch is de constructie duidelijk niet star.

 

Dit voorbeeld, bekend onder de naam dubbelbanaan,  bezorgt ons al dertig jaar een pijnlijke nek en staat symbool voor de struikelblok naar het inzicht in starre 3D-ontwerpen.



Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Hoe een Javaanse rekenles uit de hand liep

08. September 2011, 14:26

Nu voor de meesten onder ons de vakantie voorbij is, breekt de periode aan dat we onze vrienden en collega’s verblijden met onze vakantiekiekjes, en belangstelling veinzen wanneer de anderen ons hun foto’s tonen. Aanschouw bijvoorbeeld ondergetekende tijdens een bezoek in een Javaanse basisschool:

Wat valt ons hierbij op, buiten het feit dat sommige Europeanen menen dat ze er als een volslagen idioot mogen bijlopen zodra ze zich in een ander continent bevinden? Een rekenles op anekdotische wijze! De onderwijzer verkoos die bewuste dag de kinderen te prikkelen met enkele merkwaardige kwadraten, eerder dan het uitleggen van algemene rekentechnieken. Inderdaad, de tweedemachten van 11, 111, 1111, 11111 enzovoorts, vertonen een mooi patroon. De opgedane kennis mag dan wel heel particulier zijn, terwijl kinderen van een vijfde leerjaar (zie foto hieronder, let vooral op de mooie hemdmotieven) allicht nog veel oefening en routine nodig hebben in doordeweeks cijferen.

Maar verwondering wekt nieuwsgierigheid, en nieuwsgierigheid is de aandrijfmotor van elk leerproces (zie ook eerder op deze blog).

We vinden deze les over kwadraten dus zeer geschikt. Nog net in beeld zien jullie ook de kwadraten van 15, 25, 35 enzovoorts opgelijst. Voor de jonge amateur, die net kennis maakt met getallen en vermenigvuldigingstafels, springen de kwadraten meestal onmiddellijk in het oog:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

Niet in het minst natuurlijk omdat ze hun naam niet gestolen hebben: het zijn vierkantgetallen, ze treden op als oppervlakte van vierkanten met zijde 1, 2, 3, … Om analoge redenen worden mensen aangetrokken door derdemachten: 1, 8, 27, 64, … Deze kwam ik ook geregeld tegen op mijn reis, maar dan vooral in de vorm van een slangenkubus, een 3D-puzzel die duidelijk heel populair is in Java.

Deze slang bestaat uit 27 kubussen (of 8 of 64 of…) waarbij iedere kubus met een zijvlak vasthangt tegen het zijvlak van zijn voorganger/opvolger door middel van een centrale rotatie-as. Hierdoor kan men de slang dus altijd platdrukken zodat we een opeenvolging krijgen van korte rijtjes van 2 of 3 blokjes (in de foto hierboven, als we bovenaan starten: 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 3). Om de puzzel op te lossen moet de slang opgevouwen worden tot een hamiltoniaans pad van de volledige kubus (dit is een pad dat over de kubus kronkelt waarbij alle blokjes juist 1 keer bezocht worden):

           

De oplosbaarheid van de puzzel wordt gegarandeerd bij aankoop, omdat hij zich dan in opgevouwen kubustoestand bevindt. Maar als wiskundige vroeg ik me af of er meerdere oplossingen mogelijk zijn? Kan eenzelfde slang (gedefinieerd door het 2-3-rijtje zoals hierboven) verschillende hamiltoniaanse paden van de kubus vormen?  En stel dat in de winkel de puzzel toch in een uitgerekte vorm ligt, hoe kan je dan weten dat je geen slang in de zak koopt en hij inderdaad oplosbaar is? Bij het geval van 27 blokjes mag je al zeker geen vier of meer kubussen op een rij hebben, maar wat zijn de andere voorwaarden? Ik moet jullie voorlopig het antwoord schuldig blijven. Ergens op het net vond ik wel iemand zo gek om met brute computerkracht alle mogelijke kubusslangen te berekenen (met 27 blokjes).

Maar genoeg gespeeld, laten we even terug onze tweedemachten en derdemachten bekijken, maar nu samengevoegd:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, …

Dan merken we dat 8 en 9 slechts een eenheid verschillen, terwijl de andere machten verder uit elkaar staan. In de 14de eeuw vermoedde de wiskundige rabbijn Gersonides al dat 8 en 9 de enige opeenvolgende natuurlijke getallen zijn die voorkomen als vierkant of kubus. In 1844 opperde de Belgische wiskundige Catalan bovendien dat behalve 8 en 9 geen algemene natuurlijke machten naast elkaar staan.  Het was wachten tot 2002 voor een formeel bewijs van dit vermoeden (Preda Milhailescu).

De Belg Eugène Charles Catalan (1814–1894) is onder wiskundigen vooral bekend door de Catalan-getallen:

$$C_n = \frac{1}{n+1} {2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)! n!}$$

De eerste getallen van deze rij (rij A000108 in OEIS):

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,…

Eigenlijk is deze rij ontdekt door Euler, die $C_n$ identificeerde als het aantal manieren waarop een convexe ($n+2$)-hoek in driehoeken kan verdeeld worden m.b.v. diagonalen. Catalan zelf vond het getal $C_n$ terug als het aantal manieren waarop $2n$ haakjes in elkaar kunnen nestelen ($n$ open haakjes en $n$ gesloten haakjes). Bijvoorbeeld, $C_3 = 5$ kan aldus gevisualiseerd worden:

()()(), ()(()), (())(), (()()), ((()))

Andere combinatorische toepassingen van de Catalan-getallen zijn legio. Maar ondertussen zijn we ver afgeweken, want eigenlijk is dit een vakantieverhaal. Zo kocht ik in Yogyakarta ook nog een houten ei, een 3D-puzzel zoals de kubusslang.

 

    

Maar ditmaal zijn de bouwstenen exotischer dan simpele blokjes, maar ze sluiten perfect tegen elkaar aan, zodat binnenin geen ruimte verloren wordt. Enkel aan de buitenkant zien we enkele uitsparingen (concaviteiten). Hierin scoren kubussen duidelijk beter, ze vullen namelijk perfect de ruimte op.

Een populair en bloeiend deelgebied in de wiskunde houdt zich bezig met het ontwerpen van blokjes (al dan niet convex, al dan niet met enige regelmaat of symmetrie) die de ruimte volledig opvullen zonder gaatjes (al dan niet met een periodiek patroon). Of als het niet lukt (bijvoorbeeld met bollen of tetraëders) dan zoekt men een optimale stapeling, met een zo groot mogelijke dichtheid, en dus minimaal ruimteverlies. Deze wetenschap wordt dikwijls aangeduid met de naam “packings and tessellations”. Lees in deze context zeker ook eens een vorige bijdrage op deze blog: Stapelgekke Wiskunde .

Stel even dat je de ruimte perfect wil opvullen met perfecte blokjes, namelijk convexe polytopen met als zijvlakken identieke regelmatige veelhoeken. Dit zijn de zogenaamde Platonische lichamen : de regelmatige tetraëder, octaëder, icosaëder, dodecaëder en de kubus. Dan blijkt, als je maar met 1 type blokje werkt, dat enkel de kubus geschikt is. Maar als je mag combineren dan lukt het ook met tetraëders en octaëders. Zie bijvoorbeeld hieronder:

Het belang van zulke constructies is niet enkel artistiek of zuiver wiskundig.  Ze geven ons ook meer inzicht in de structuur van materie en de organisatie van cellen, en ze stellen ons soms in staat nieuwe materialen te ontwerpen of transportnetwerken beter te beheersen of gegevens efficiënter op te slaan. Vanuit dit oogpunt kwam het belangrijkste wiskundige nieuws van deze zomer misschien uit Princeton:  Conway, Jiao en Torquato hebben een nieuwe “ruimtebetegeling” gevonden met octaëders en tetraëders.

Het is verbazend dat met deze eenvoudige bouwstenen nog steeds nieuwe ontdekkingen gebeuren. Nu is het wachten op de eerste fabrikant die een 3D-puzzel ontwerpt op basis van deze vondst.

Ondertussen, op het thuisfront...

een schoolbord in chocolade, waarschijnlijk uit de inboedel van het peperkoekenhuisje (met dank aan KL voor de foto).



Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


tau-dag, de perfecte dag om het academiejaar af te sluiten?

27. Juni 2011, 11:37

In onze recente bijdrage naar aanleiding van pi-dag hebben we het er al over gehad: er is een beweging die tot doel heeft de wiskundige constante $\pi$ te laten vallen ten voordele van het dubbele ervan, dat we dan zouden voorstellen door de griekse letter tau, $\tau$.
Je vraagt je misschien af waarom. We laten hierover Vi Hart aan het woord, die er waarschijnlijk wonderwel in slaagt u, de lezer, te overtuigen.

 

(Je kent Vi al uit een vorige blog, waar ze samen met Rinus Roelofs aan het kunstpuzzelen is.)
De beweging is waarschijnlijk opgestart door Bob Palais, een wiskundige, met een artikel in The Mathematical Intelligencer uit 2001 dat als titel heeft $\pi$ is wrong. Bob gebruikt niet tau, maar een nieuw symbool voor $2\pi$:

2pi

Een meer logische keuze dan $\tau$, maar voor een aantal tekstverwerkers een probleem (niet in LaTeX, probeer \def\newpi{{\pi\mskip -7.8 mu \pi}}).
Door toedoen van het tau-manifest, in 2010 geschreven door de fysicus Michael Hartl, kwam er meer beweging in de beweging. Diezelfde Michael Hartl was het die voorstelde om elk jaar op 28 juni (6/28) tau-dag te vieren. Inderdaad, iedere strekking die zichzelf een beetje au sérieux neemt, heeft een bijbel en een hoogdag. Nu nog een logo en de merchandising kan beginnen. Uiteraard roept iedere poging tot verandering ook weerstand op, niet altijd onterecht. Het gevaar bestaat dat het anders zo gesloten front van wiskundigen in twee kampen zal gespleten worden, de $\pi$-risten en de $\tau$-logen. Als u vandaag niet in het centrum van Brussel geraakt, omdat alle toegangswegen geblokkeerd zijn door een mars van $\tau$-militanten, die op hun beurt gehinderd worden door taartgooiende tegenbetogers, dan hebt u hier tenminste wat achtergrondduiding gekregen.

pid

Een beetje geschiedenis. Leonhard Euler (1707-1783) (links), een van de grootste wiskundigen aller tijden, gebruikte om de verhouding van de omtrek van een cirkel tot de diameter voor te stellen soms het symbool p (van perimeter, van het Griekse perimetron of perifereia), soms het symbool c (circumferentia, uit het Latijn). In 1737 stapte hij echter definitief over op de Griekse letter $\pi$. Johann Bernoulli (1667-1748) (rechts), ook niet van de minste, gebruikte de letter c.

Euler  Bernoulli

Nu is het niet zo duidelijk waarom deze wiskundigen de omtrek van een cirkel betrokken op de diameter, en niet op de meer voor de hand liggende straal. Als ze dat wel hadden gedaan, dan was $\pi$ nu waarschijnlijk inderdaad gelijk geweest aan $6,2831...$. Toegegeven, dit pleit voor Palais en Hartl. Hartl zegt verder dat in vele formules niet $\pi$ voorkomt, maar wel $2\pi$. Dan is de keuze voor de Griekse letter tau inderdaad niet zo slecht, omdat je dan met corrector gemakkelijk de nodige aanpassingen kan doen in de handboeken:

2pi  $\Rightarrow$   tau

Maar als we dit nu toepassen op taarten:

2pi   $\Rightarrow$   tau

dan lijkt de keuze $\tau$ toch niet de juiste.
Wij houden het bij $\pi$ en $\pi$-dag. En u? Maar waarom je druk maken, als $\pi$ toch eigenlijk gewoon 4 is?

cartoon

Misschien moeten we de Britse wiskundige Marcus Du Sautoy volgen, die op Twitter voorstelt om op 28 juni niet tau-day te vieren, maar perfect day. Perfect day of perfecte dag omdat 6 en 28 de twee kleinste perfecte getallen zijn.

numberline




Geschreven in Actuele wiskunde | 3 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Datingsitematches, hockeysticks en een harige bal

11. Juni 2011, 09:20

Pythagoras, vooral bekend als het drukbezochte Turkse eethuis op de Turnhoutsebaan in Borgerhout, is ook de naam van een Nederlands wiskundetijdschrift voor jongeren. Meer nog, het is ons standaardantwoord wanneer onze kinderen zich afvragen hoe wij onze jeugd overleefd hebben zonder Facebook, iPad of Wii. Nu het tijdschrift zijn vijftigste verjaardag viert, nemen we de gelegenheid te baat het iedereen aan te prijzen, de jonge leeuwen onder ons in het bijzonder. De artikels in Pythagoras zijn doorgaans vlot geschreven en gemakkelijker te verteren dan de pita’s in het gelijknamige restaurant. Ondergetekenden behoren misschien niet meer tot de doelgroep, maar beleven nog elke maand plezier aan de nieuwe uitgave. Boys will be boys.

Ter gelegenheid van dit jubileum heeft Pythagoras een boek uitgegeven met als titel “De Pythagoras Code”. In samenwerking met de Nederlandse wetenschapssite Kennislink (al eerder bewierookt op deze blog, en ons standaardantwoord wanneer onze kinderen zich afvragen hoe wij nog altijd kunnen overleven zonder Facebook, iPad of Wii) werd een prijsvraag uitgeschreven waarmee je dit jubileumboek kan winnen: vind een ludieke naam voor een bestaande wiskundige stelling. Leuke opgave, spijtig dat we er zelf niet op gekomen zijn. Voor de iets minder wiskundige lezer volgt nu een opsomming van enkele stellingen met commerciële namen, de iets meer wiskundige lezer wordt hierbij uitgenodigd om het lijstje aan te vullen met stellingen die nog ontbreken (door middel van commentaar, onderaan toe te voegen - kan ook zonder Facebook). We hebben zelf ook een eigen duit in het zakje gelegd.

Ham-Sandwichstelling  Gegeven zijn twee sandwichhelften (of twee boterhammen) en een schelletje hesp. Dan is het altijd mogelijk, ongeacht de ruimtelijke schikking van deze drie objecten, om met één enkele zwaai met een hakmes (lees: vlakke sectie) al deze drie objecten exact te halveren. Deze stelling kan in iedere dimensie geformuleerd worden, als je het aantal objecten gelijk neemt aan de dimensie, en met een aangepast hypervlak in de rol van hakmes. Ook al zegt een variant van deze stelling dat met één houw van een slagzwaard in een perfecte vlakke beweging drie gijzelaars kunnen onthoofd worden, vinden we de benaming Al-Qaedastelling eerder ongepast.  In dimensie 2 (het vlak) spreekt men soms van de Pannenkoekstelling.

Stelling van de Harige Bal  Misschien is het je vanmorgen gelukt je te kammen zonder zijstreep, maar voor een bal die helemaal rondom behaard is, blijkt dit een onmogelijke zaak. Om dezelfde reden zijn ook kiwi’s en kokosnoten gedoemd om ofwel ongekamd ofwel met zijstreep door het leven te gaan.

Stelling van de Dronken Man en de Dronken Vogel
 (klinkt als de titel van een parabel): een zatlap geraakt altijd terug thuis. Inderdaad, een man die een grillig traject aflegt door op ieder ogenblik willekeurig een  stap te nemen in een van de vier windrichtingen, zal met een waarschijnlijkheid van 100% ooit terug op zijn startpunt uitkomen. In drie dimensies echter, waar op ieder ogenblik een random keuze tussen zes hoofdrichtingen gemaakt wordt, blijkt er wel een kans te bestaan dat het beginpunt nooit meer bereikt wordt. Een dronken vogel vindt misschien nooit zijn nest terug.

Huwelijksstelling 
Stel dat bijvoorbeeld 10 vrouwen elk een keuzelijst mogen maken uit 10 mannelijke kandidaten. Kan het huwelijksbureau dan garanderen dat iedere vrouw een man krijgt die op haar lijstje stond? Dat hangt er natuurlijk van af. Als twee kieskeurige dames een lijstje inleveren met maar 1 man, en toevallig dezelfde man, dan kunnen ze niet beiden gelukkig gemaakt worden. Bij uitbreiding, als $k$ vrouwen hun lijstjes beperken tot $k-1$ gemeenschappelijke mannen dan is een bevredigende oplossing evenmin mogelijk. De Huwelijksstelling beweert dat in geval voorgaand probleem zich niet voordoet, iedere vrouw een man uit haar lijstje kan krijgen. Misschien is de benaming een beetje gedateerd, misschien is Datingsitestelling meer van deze tijd.

Kunstgaleriestelling  Beschouw een polygonale kamer (bijvoorbeeld een expositieruimte) met $n$ hoeken. Wat is dan het minimaal aantal camera’s (of suppoosten) dat volledige beveiliging garandeert (hele kamer is in beeld)? Voor een saaie kamer zonder inhammen (convexe veelhoek) is 1 camera altijd voldoende, maar wat kunnen we zeggen voor kamers met een willekeurige (veelhoekige) vorm? Volgens de Kunstgaleriestelling volstaan steeds $\lfloor{n/3}\rfloor$ bewakers ($\lfloor{k}\rfloor$ rondt $k$ naar onder af). Een betere grens kunnen we niet geven, want er bestaan kamers waarvoor $\lfloor{n/3}\rfloor$ camera’s vereist zijn. Omdat we in deze posities alle hoeken van de kamer zien, lijkt Wilde-Nachtstelling ons een geschikte alternatieve naam.

Kerstsokstelling (of Hockeystick-stelling of Golfclub-stelling of voor ons part Didgeridoo-stelling) De driehoek van Pascal is een bodemloos vat wat mooie relaties betreft tussen (binomiale) getallen. Deze stelling kan je best met bijbehorende figuur uitleggen: brei je kerstsok startend op een willekeurig punt van een Pascalzijde en volg de diagonaal tot de wol of de goesting op is en eindig met een bocht naar linksonder. Het getal in de “teentip” is dan altijd juist de som van de gepasseerde diagonaalgetallen. De Davidsterstelling is een ander voorbeeld van een eigenschap die mooi gevisualiseerd wordt in deze driehoek. Zie ook hier.

Schrijnwerkerslatstelling  In welke vorm deze vouwlat zich ook bevindt, zonder cross-overs weliswaar, je kan hem altijd tot een rechte lijn uittrekken zonder cross-overs. Maar ook hier geldt beter voorkomen dan genezen: laat je kinderen niet met je gereedschapskist spelen. Erik Demaine is een van de acteurs van het bewijs, hij kreeg al eerder aandacht in deze blog.

Cox-Zuckermachine 
Een mannen-aan-de-toognaam voor een algoritme bedacht door David Cox en Steven Zucker in 1979 voor de constructie van een basis in een Mordell-Weilgroep. Uitdaging voor de lezer: zoek nog andere wiskundigen die beter niet samen een artikel schrijven.

Van Goghstelling  In iedere veelhoek bestaan drie opeenvolgende hoekpunten $A, B, C$ zodat $[A,C]$ een diagonaal is (het verbindingslijnstuk tussen $A$ en $C$ verlaat de veelhoek niet). In dit geval wordt de driehoek gevormd door $A, B, C$ ook wel eens een “oor” genoemd (zie figuur). Eigenlijk kan men zelfs bewijzen dat iedere veelhoek met minstens 4 hoekpunten minstens 2 oren heeft. Het bestaan van dergelijk oor leidt tot inductieve redeneringen voor veelhoeken, bijvoorbeeld bij het trianguleren (de veelhoek verdelen in driehoeken m.b.v. diagonalen). Inderdaad, je snijdt gewoon een oor af en voert de constructie recursief uit op de kleinere veelhoek. 


Voor wie nog tijd over heeft om te googlen, vermelden we nog enkele voorbeelden uit de folklore van de gekke stellingnamen:
  • Infinite Monkey Theorem
  • Law of the Unconscious Statistician
  • Potato Chip Theorem
  • Sausage Hypothesis
  • Wobbly Table Theorem
  • Gossip Theorem 


Geschreven in Actuele wiskunde | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Wiskunstige modeshows, en de decimalen van het getal pi als Moir├ępatroon

22. Mei 2011, 18:49

Programma's om contouren te tekenen van oppervlakken in de ruimte, intrigeren me al vele jaren. Vooral omdat zelfs als het programma het niet goed doet, er vaak toch leuke, en soms ook kunstzinnige dingen uitkomen. Ik geef een voorbeeld. Tekenen we de contouren of de niveaulijnen van het oppervlak met vergelijking $$z=\frac{-5x}{x^2+y^2+1}$$
oppervlak 1

met beperkte nauwkeurigheid, dan vinden we dit:

contouren


Doen we een kleine aanpassing aan de vergelijking van het oppervlak, en ook aan de kleuren die we gebruiken, dan zie je voor 
$$z=\frac{-5x}{2x^2+3y^2+x+y}$$

opp2

het volgende resultaat:

contouren

Deze amateuristische pogingen om wiskunde en kunst te combineren zijn niet te vergelijken met wat zich afspeelde in Gent op vrijdag 20 en zaterdag 21 mei. Onder de naam Wiskunst in Gent brachten Gudrun de Maeyer en Dirk Huylebrouck in een tweedaagse meeting een aantal mensen samen die iets met kunst én met wiskunde hebben. Je ziet de beide organisatoren hier op de foto, voor een van de tentoongestelde kunstwerken:

Dirk en Gudrun

Er werden voordrachten gegeven, er waren kunstwerken tentoongesteld, er werden ter plekke kunstwerken gemaakt. (Er waren ook broodjes, gratis;-) Je kon er bekende en minder bekende, binnenlandse en buitenlandse, grote en kleine kunstenaars ontmoeten, en met hen over hun werk praten. Om maar enkele namen te noemen, je zag er Rinus Roelofs aan het werk samen met Vi Hart bij het maken van een geometrisch kunstwerk:

rinus en vi

rinus en vi

rinus en vi

Je kon er ook naar een lezing luisteren van Peter Raedschelders die het had over vlakverdelingen en magische vierkanten, en kunstwerken maakt die echt de moeite waard zijn:

Peace

Tom Verhoeff had het dan weer over het werk van zijn vader, de kunstenaar Koos Verhoeff, die bekend is om zijn kunstwerken in hout:

evenwichtskunst

en recent tentoongesteld werd in het Mathematikum, in Giessen, Duitsland.
Een deel van de tentoongestelde werken stond opgesteld in de witte zaal van Sint-Lucas, een reden voor architect Patrick Labarque om een kunstwerk te maken dat gebaseerd is op deze zaal. Hij paste er een bolinversie (de driedimensionale variant van de cirkelinversie, je vindt die ook terug in het werk van Jos Leys, eveneens aanwezig, en o.a. bekend door de prachtige film Dimensions) op toe en liet het resultaat maken door een 3D-printer: hier ziet u de witte zaal voor en na de bolinversie.

Witte zaal

Witte zaal na bolinversie

Kortom, er viel heel wat te beleven, dit weekend in Gent.


Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Met de w van wiskunde, vouwen en wc-papier

14. April 2011, 17:45

Het eerder wiskundige verhaal van de uitvinding van het schaakspel en de beloning voor de uitvinder ervan, is welbekend. De keizer van Indië vroeg aan deze uitvinder wat hij graag als beloning wilde hebben, en het antwoord was: mijn schaakbord gevuld met rijstkorrels, eentje op het eerste veld, twee op het tweede, vier op het derde, en dan telkens verdubbelen.

rijst
veelrijst

Op het laatste veld liggen er dus $2^{63}$ rijstkorrels, en het totale aantal kunnen we als volgt berekenen:
$$\large \begin{array}{rcl@{}l} \mbox{totaal} & = & 1+\!\!& 2+2^2+2^3+\ldots+2^{62}+2^{63} \\
2\cdot \mbox{totaal} & = & & 2+ 2^2+2^3 +\ldots+2^{62}+2^{63}+2^{64}
\end{array}$$Indien we nu de bovenste som aftrekken van de onderste, dan vinden we voor het totaal aantal rijstkorrels:
$$\large\mbox{totaal} = 2^{64}-1 = 18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615 $$De keizer dacht eerst dat dit een eerder bescheiden wens was, maar al snel zag hij in dat dit niet het geval was...

Eenzelfde soort gevoel moet de leerlingen van de St. Mark's School in Southborough, Massachusetts, bekropen hebben toen ze op 2 april een poging deden om het wereldrecord papiervouwen te verbreken. Papiervouwen doe je door een blad papier dubbel te vouwen, en dan nog eens dubbel, enzovoorts. Telkens verdubbelen dus, of telkens opnieuw maal twee, zoals in de fabel van het schaakbord.
Het vorige wereldrecord stond op naam van Britney Gallivan, en dateert uit 2002. Zij slaagde erin papier twaalf maal dubbel te vouwen. Daarvoor kocht ze een (grote) rol wc-papier van 85$, en begon er aan. Ze had eerst uitgerekend hoeveel verlies er is bij de vouwen:

vouwen

Op de rol van Britney zat 1200 m wc-papier. Hier zie je het resultaat na 11 maal vouwen:

Britney


Daarmee kwam abrupt een einde aan de idee dat je papier maar zeven of acht keer kan dubbelvouwen.
Britney zat nog op de middelbare school toen ze dit presteerde. Aanleiding was een kans om extra punten te verdienen door iets 12 keer dubbel te vouwen.

Dat moet beter kunnen, dachten de leerlingen van
de St. Mark's School. Of misschien was het wel hun wiskundeleraar James Tanton? Voor de recordpoging kon worden ondernomen, moesten er eerst enkele hindernissen genomen worden. Een van de grootste hindernissen was ... de wind. Die liet het wc-papier niet zomaar liggen waar het moest liggen. Binnenshuis werken bleek de oplossing te zijn, en een goede omgeving was de Oneindige Gang (Infinite Corridor) van het MIT. Deze gang van 251 m lang verbindt een aantal gebouwen van het Massachusetts Institute of Technology met elkaar (en twee keer per jaar gaat de zon precies onder in het verlengde van de gang, zie foto's, een verschijnsel dat MITHenge wordt genoemd).

MIT

De leerlingen van St. Mark's startten met zo'n 4000 m wc-papier. Zij gingen voor 13 keer vouwen! Als we even veronderstellen dat de dikte van het papier 0,1 mm is, dan kom je na 13 keer dubbelvouwen aan een dikte van zo'n 82 cm.

poging

Maar je moet natuurlijk ook rekening houden met het feit dat dubbelvouwen in het Engels folding in half is. Dus wat overblijft moet ook nog een zekere lengte hebben. Als we geen rekening houden met de randeffecten, en de 4000 m 13 keer door 2 delen, dan blijft er nog zo'n 50 cm over. In dit filmpje zie je dat het toch iets minder is (in het filmpje zie je ook even een gastoptreden (?) van Martin Demaine, de Amerikaanse kunstenaar die o.a. bekend is om zijn papiervouwkunstwerken- de gelinkte werken waren recent nog in Rotselaar te bezichtigen - en wiens zoon Erik al even vernoemd werd in deze blog).

Het is niet zeker dat deze recordpoging erkend wordt, want zoals je ziet in het filmpje, er is bij de dertiende vouw heel wat moeite nodig om het papier gevouwen te houden. James Tanton heeft al laten weten dat hij volgend jaar opnieuw een poging doet, maar deze keer met zeker voldoende papier. Zo zie je maar dat wc-papier onverhoopte wiskundige toepassingen kent!

rolletje

origami




Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Wat u door 'n goede ezelsbrug te kennen immer met gemak onthoudt

13. Maart 2011, 22:05

Het is weer zover. Naar jaarlijkse traditie (de vorige versie vind je hier) presenteren we hier ter lering en vermaak en in afwachting van de speciale feestdag van volgend jaar opnieuw een hele resem $\pi$-weetjes.

pidag

Wist je ...
  • $\ldots$ dat het op maandag 14 maart $\pi$-dag is? Waarom? Omdat in de Amerikaanse schrijfwijze de datum 14 maart genoteerd wordt als 3/14 en 3,14 is een benadering voor het getal $\pi$.
  • $\ldots$ dat op 3 augustus 2010 een nieuw wereldrecord decimalen-van-$\pi$-berekenen is gevestigd door de Japanse ingenieur Shigeru Kondo?
    In totaal werden 5 000 000 000 000 decimalen berekend, op een zelfgemaakte computer met een harddisk van 32 TB. Kondo gaat nu voor het dubbele aantal decimalen. Yukiko, de vrouw van Kondo, is er niet echt blij mee, want hun elektriciteitsrekening schoot de hoogte in.

    pi

  • $\ldots$ dat Nicholas Sze, een onderzoeker bij Yahoo, in september 2010 ook een $\pi$-record gebroken heeft? Hij berekende het 2 000 000 000 000 000ste binaire cijfer na de komma, en het bleek een 0 te zijn. Voor de berekening werden meer dan duizend computers tegelijk ingeschakeld. Merk op dat als je zelf deze waarde zou hebben proberen te raden, dat je één kans op twee gelijk had.
    Ter info, de eerste binaire cijfers van $\pi$ zijn:

    11,
    00100100 00111111 01101010 10001000
    10000101 10100011 00001000 11010011
    00010011 00011001 10001010 00101110
    00000011 01110000 01110011 01000100
    10100100 00001001 00111000 00100010
    00101001 10011111 00110001 11010000
    00001000 00101110 11111010 10011000
    11101100 01001110 01101100 10001001

  • $\ldots$ dat het getal $\pi$ echt wel voorkomt in de natuur? Bewijs ervan zie je op de volgende foto, een variant van de spinnenorchis (Ophrys Sphegodes) die we misschien s$\pi$nnenorchis kunnen noemen?

    piorchis

  • $\ldots$ dat de wiskundige Pierre Simon de Laplace in 1811 de volgende prachtige formule bewees die de getallen $\pi$ en e combineert? $$\Large \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2+1}\, {\rm d} x = \frac{\pi}{{\rm e}} $$
  • $\ldots$ dat er ook in 2010 nog nieuwe formules gevonden zijn waarin het getal $\pi$ een prominente plaats inneemt? Bijvoorbeeld de volgende: $$\Large \pi^3 = \frac{216}{7} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{ 2n \choose n }}{16^n(2n+1)^3} $$
    (Pilehrood & Pilehrood).
  • $\ldots$ dat er sinds het begin van de vorige eeuw mensen zijn die zich bezighouden met het maken van zinnen waarin de lengtes van de opeenvolgende woorden de decimalen van $\pi$ zijn? Het bekendste voorbeeld is wellicht:

    How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

    Een probleem hierbij is natuurlijk: wat als er een 0 optreedt? De afspraak is dan: komt overeen met een woord van 10 letters. Ook als er enkele kleine cijfers verschillend van 0 elkaar opvolgen: daarmee kunnen we woorden van meer dan 10 letters laten overeenkomen, bijvoorbeeld 1211 kan dan 12 letters - 11 letters worden. Met deze afspraken (en nog enkele meer) kunnen we nu een boek schrijven dat de decimalen van $\pi$ verwoordt. Dat is precies wat Mike Keith gedaan heeft, in Not A Wake: A Dream Embodying $\pi$'s Digits Fully For 10000 Decimals.
    Het boek bestaat uit 10 secties, elke sectie komt overeen met 1000 decimalen.
    Zo begint het boek:

    Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees
    Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe.
    So scream with the old mischief, ask me another conundrum
    About bitterness of possible fortunes near a landscape Italian.


    Merk op dat ook de titel voldoet aan de voorwaarden...
  • $\ldots$ dat op het graf van de wiskundige Ferdinand von Lindemann het getal $\pi$ staat? 

    Lindemann

    Hier zie je het bewuste detail:

    HighSchoolMusical

    Omheen $\pi$ staan een cirkel en een vierkant die met elkaar verstrengeld zijn.
    Dit alles heeft te maken met het feit dat von Lindemann als eerste bewees dat het getal $\pi$ transcendent is, d.w.z. geen oplossing is van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten. Een onmiddellijk gevolg hiervan is dat de kwadratuur van de cirkel (met enkel passer en liniaal een vierkant construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel) onmogelijk is.
  • $\ldots$ dat er wetenschappers zijn die vinden dat $\pi$ verkeerd is? Ze bedoelen hiermee dat het een foute keuze was het getal $3,1415...$ voor te stellen met de afkorting $\pi$. Het was logischer geweest het dubbele, namelijk $6,2831$ met de letter $\pi$ aan te duiden. Het zou het lezen van de $\pi$-klok alvast een stuk gemakkelijker maken: links zie je de huidige situatie, rechts die bij de andere keuze.

    klokok kloktau

  • $\ldots$ dat we ondertussen ook weten waarom precies pi(e) gebruikt wordt als benaming voor deze constante?

    pie
  • $\ldots$ dat we tenslotte nu ook begrijpen waar de pi in 'piano' vandaan komt?

    piano

Nog een pi-weetje dat niet weerhouden werd: $$\Large \ln 2 = \frac{2}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{2}}}\cdot\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}\cdots $$ Dit is een pi-weetje omdat het bewijs ervan precies op dezelfde manier verloopt als het bewijs van de formule van Vieta voor het getal $\pi$!

Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


The Good, the Bad and the Mathematician

22. Februari 2011, 13:46

Op 30 mei 1832, in het nog breekbare licht van de vroege dag, werd een boer op weg naar de markt opgeschrikt door een schot. In een veld net buiten Parijs vond hij een zieltogende jongeman met een gapende wonde in de buik. Met zijn kar bracht hij hem naar het plaatselijke ziekenhuis van Cochin. Daar stierf de ongelukkige de volgende dag, in de armen van zijn broer, met de legendarische woorden:  `Ne pleure pas, Alfred ! J’ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans!’ 

duel_GaloisIn een recente boekbespreking op deze blog verwees Paul al kort naar het verhaal van Évariste Galois. Het pistolenduel dat deze jonge Franse wiskundige fataal werd, is zonder twijfel de grootste tragedie uit de geschiedenis van de wiskunde. Alle elementen zijn aanwezig voor een oscarfilm: de zelfmoord van de vader, het miskend genie, de politieke intriges, de onbeantwoorde liefde.

De reden van het duel is nooit helemaal uitgeklaard door de historici. Misschien verdedigde hij de eer van zijn geliefde, of werd hij als republikeinse activist uitgedaagd door een politieke tegenstander? Maar waarschijnlijk was het duel een daad van zelfvernietiging van een jonge getormenteerde ziel.

Zijn laatste brief heeft een cultstatus bij vele wiskundigen. Je kan hem zelfs als T-shirt dragen. Galois schreef hem aan zijn vriend Chevalier de nacht voor het duel, vechtend tegen de dageraad die een zekere dood voor hem aankondigde. Zijn noodkreet `Je n’ai pas le temps, je n’ai pas le temps’ is intussen een populair citaat bij een naderende deadline voor een beursaanvraag (of bij ouderwordende wiskundigen die eindelijk zichzelf moeten toegeven dat ze nooit de Fieldsmedaille zullen winnen). Bij deze brief voegde hij ook twee manuscripten. Zijn ideeën gingen duizelingwekkend diep, maar leken te ruw of te slordig voor zijn tijdsgenoten zoals Cauchy, Fourier, Jacobi of zelfs Gauss, zodat de draagkracht ervan miskend werd. Twintig jaar na het noodlottige duel heeft Liouville aan de hand van de manuscripten en de chaotische brief de resultaten van Galois gereconstrueerd, geplamuurd en daarna uitgegeven.

last_letterZijn belangrijkste theorie wordt nog altijd aan alle wiskundestudenten over heel de wereld opgediend als een varkenshaasje in mosterdsaus, onder de naam Galoistheorie. Hij bestudeerde het oplossen van veeltermvergelijkingen met behulp van algebraïsche bewerkingen en worteltrekking (zoals de befaamde discriminantmethode bij vierkantsvergelijkingen), en bracht de structuur van de oplossingprocedure in verband met groepen van permutaties op de nulpunten (“wortels”) van de veelterm in kwestie.  Als een neveneffect van deze methode ontwikkelde Galois de eerste groepentheorie (met inbegrip van de terminologie `groupe’) . In zijn blog “Neverendingbooks  geeft Lieven meer details over enkele groepstructuren die Galois in zijn laatste brief vermeldde.

Maar keren we even terug naar het fatale duel. Misschien had Galois beter de vorige nacht gebruikt om te slapen in plaats van brieven naar heel zijn kenniskring te schrijven, dan was hij beter uitgerust aan het duel verschenen. Maar zoals ik al eerder liet doorschemeren, misschien was overleven niet zijn prioriteit.

Volgens een theorietje van Niels Bohr heeft de jonge wiskundige allicht als eerste zijn pistool getrokken. Bohr noemde dit de revolverheldparadox.  De held in een western wacht inderdaad tot de slechte cowboy eerst naar zijn schietijzer grijpt, om daarna steevast als eerste te vuren. Bohr vermoedde dat de reactie op een impuls sneller is dan de spontane beweging. Het verhaal gaat zelfs dat de Nobelprijswinnaar dit uitgetest heeft met speelgoedpistooltjes en een collega. Een biotechnologisch onderzoek vorig jaar aan de universiteit van Birmingham bevestigde deze stelling.

Een truel spreekt nog meer tot de verbeelding, een gevecht met drie schutters. Wie trekt het eerst zijn pistool, en op wie zal hij zijn wapen richten? Een legendarisch truel is de adembenemende ontknoping in The Good, the Bad and the Ugly, en ook Reservoir Dogs kent een gelijkaardige filmscène.  In de wiskundige speltheorie is een truel een dankbare metafoor voor strategiebepaling en winstberekening in een situatie met drie spelers op de markt. Speltheorie kent belangstelling bij het grote publiek sinds de film A beautiful mind, maar kwam ook al eerder aan bod op deze blog.

In een wiskundig truel schieten de drie cowboys om de beurt en hebben ze elk een vooraf bepaalde schutterskwaliteit (uitgedrukt in trefkansen $p > q > r$). Men kan altijd dezelfde volgorde van schieten hanteren, of men kan opteren om deze volgorde (van de overlevenden) na iedere ronde opnieuw te bepalen (bijvoorbeeld at random).  Bovendien kan de optimale strategie afhangen van een al dan niet onbeperkte beschikbaarheid van kogels.

Het analyseren van een truel geeft soms verrassende resultaten. In zijn artikel A Civilized Three Way Duel  beschrijft William Chen een situatie met een onbeperkte kogelvoorraad en een willekeurige maar vaste schietorde.  Hij neemt aan dat de beste schutter altijd vol treft, de slechtste slechts in de helft van de gevallen en de derde in 80% van zijn pogingen. Dus

$$\Large p=1,\;\; q=0.8,\;\; r=0.5$$

Als we bovendien veronderstellen dat elke cowboy voldoende intelligent en levenslustig is om de beste overlevingsstrategie te volgen, dan toont een kansberekening aan dat de zwakste schutter de grootste overlevingskans heeft, namelijk $\large \frac{47}{90}$, tegenover $0.3$ voor de beste schutter. De derde cowboy heeft de kleinste kans om de zon nog te zien ondergaan ($\large \frac{8}{45}$).

Niet alleen het vorige besluit over de overlevingskansen lijkt contra-intuïtief als dit de eerste keer is dat je met deze speltheorie in aanraking komt, ook het bepalen van de beste strategie voor de zwakste cowboy verrast. Zolang zijn beide tegenstanders nog leven, zullen zij naar elkaar schieten, omdat hijzelf als zwakste de kleinste bedreiging vormt. Bovendien, omdat zijn trefkans de kleinste is van de drie, beschouwt hij elk van hen beter als bondgenoot in de strijd tegen de andere en schiet hij dus best in de lucht wanneer het zijn beurt is (tot natuurlijk het moment dat nog maar één tegenstander overblijft).

We kunnen dit bijvoorbeeld illustreren met bovenstaande trefkansen, waarbij de zwakste eerst geloot wordt, dan de sterkste, en uiteindelijk als laatste de schutter met trefkans $0.8$. De zwakste zou dom zijn als hij de middelmatige cowboy neerknalde, want daarna komt de revolverheld aan de beurt die altijd raak schiet. Deze strategie staat dus gelijk aan zelfmoord.

Als hij de sterkste schutter weet te elimineren, dan moet hij een duel uitvechten tegen een betere schutter, die bovendien eerst aan de beurt is. Hij kan dit overleven weliswaar, maar dan moet de tegenstander missen (kans $0.2$) en hij niet (kans $0.5$), of als hij toch ook mist (kans $0.5$) moet de tegenstander daarna opnieuw missen (kans $0.2$) en hij niet (kans $0.5$), enzovoorts. In dit geval vinden we de overlevingskans van de zwakste cowboy als de som van een meetkundige reeks (onbeperkte kogelvoorraad!):

$$\Large p = 0.2\cdot 0.5 + 0.2^2\cdot 0.5^2 + \ldots = \frac{0.2\cdot 0.5}{1 – 0.2\cdot 0.5} = \frac{1}{9}$$

Stel nu dat onze underdog tijdens zijn eerste beurt niemand doodt (tot grote ontzetting van de middelmatige schutter), dan mag de beste cowboy schieten en doodt deze dus zeker de derde man. De zwakste schutter heeft dan juist één kans om te overleven: de revolverheld voor de raap schieten tijdens zijn volgende (en laatste) beurt. Zijn overlevingskans is nu $0.5$ en dus groter dan bij de vorige strategie. In de lucht schieten is dus de boodschap voor hem.

Misschien heeft Galois in 1832 ook in de lucht geschoten tijdens het legendarische duel, maar met slechts één tegenstander is dit nooit een goede strategie, al stelt een depressie andere doelstellingen voorop.



Geschreven in Mensen en wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


De fractale schoonheid van sneeuwvlokken en ijskristallen

04. December 2010, 14:57

Sneeuw en vorst komen vooral negatief in het nieuws, als spelbrekers voor sportevenementen of als boosdoeners van de verkeersellende. Maar deze week werd ik tijdens het krabben van een aangevroren autoruit getroffen door de schoonheid van een ijskristal.

De rest van de dag zat mijn hoofd vol met fractalen. Tijdens de lunch wierp ik de naam “Mandelbrot” als een muntstuk tussen mijn collega’s, hoofdzakelijk ingenieurs, een verdwaalde chemicus of fysicus daargelaten. Twee van hen wisten dat Mandelbrot onlangs gestorven was, maar bijna iedereen had notie van fractalen. Een enkeling gebruikte ze als screensaver. Een andere collega verbaasde me door te weten dat fractalen werden toegepast bij datacompressie.

Ik weet wel dat fractalen o zo eighties zijn en dat ze destijds redelijk over-hypet werden (de kip met de gouden eieren, aangesproken door fondsaanvragen in zowat iedere wiskundetak), met een weerbots in deze eeuw als gevolg. Ernstige wiskundigen worden verondersteld zich niet meer met die mooie prentjes bezig te houden. 

Het is al lang geen heiligschennis meer om Benoît Mandelbrot te bekritiseren, de vader van de fractalen, omdat hij zijn concepten niet in de diepte uitwerkte maar eerder energie stak in populariseren en het zoeken van interdisciplinaire toepassingen. Geen sant in eigen land dus, maar buiten de grenzen van het strenge vakgebied erg geliefd en heel bekend, deze Poolse wiskundige die later de Franse en Amerikaanse nationaliteit verwierf, en op vijventachtigjarige leeftijd op 14 oktober van dit jaar door kanker geveld werd.

Maar wij kunnen er nog altijd niet genoeg van krijgen, hoe een eenvoudige vergelijking schijnbaar onbeperkte complexiteit kan veroorzaken. Daarom tonen we hieronder nogmaals de Mandelbrotverzameling, ook al krijgt de veelvuldigheid van haar verschijning op het internet stilaan een Lady Gaga-omvang:

 

Als we ieder punt (x,y) in het vlak voorstellen door een complex getal c=x+yi, dan worden de zwarte punten van bovenstaande figuur bepaald door keuzes voor c die de iteraties van de simpele formule f(z) = z^2 + c, startend met z=0, begrensd houden.

Klik op de figuur om in te zoomen op de rand en stel vast dat dezelfde vorm blijft terugkomen op steeds kleinere schaal. Deze zelf-gelijkvormigheid is een karakteristiek voor fractalen en werd door Mandelbrot en later door anderen in uiteenlopende disciplines gespot, zoals economie, informatietheorie, thermodynamica, enz…

Benoît Mandelbrot heeft dan wel de naam “fractal” bedacht in 1975 en vooral populair gemaakt door de mooie plaatjes in zijn boek “The fractal geometry of nature” (1982), maar eigenlijk bouwde hij op het werk van Gaston Julia en Pierre Fatou over dynamische systemen uit het begin van de twintigste eeuw. Als Julia in zijn tijd een computer gehad had en een monitor met aanvaardbare resolutie dan had hij ook waarschijnlijk uitgepakt met prachtige beelden van zijn Juliaverzamelingen, zoals:

 

Toen Helge von Koch in 1904 een meetkundige versie ontwierp van de functie van Weierstrass die overal continu is maar nergens differentieerbaar (1872), kreeg hij als resultaat iets wat we nu de “Koch-sneeuwvlok” noemen, een fractale kromme avant la lettre. Observeer hieronder hoe oneindige complexiteit verkregen wordt door herhaling van een eenvoudig recept, steeds op kleinere schaal:

 

Klik opnieuw op de figuur om oneindig in te zoomen. Ook al begrenst deze sneeuwvlok een eindig vlakgebied, ze heeft toch een oneindige omtrek. De fractale dimensie van de sneeuwvlok van Koch is ongeveer 1,26. Ze is dus dikker dan een gewone lijn of kromme (dimensie1), maar toch niet volledig vlakvullend (dimensie 2). Als we meten in dimensie 1, dan zal bijvoorbeeld het halveren van de eenheid uiteraard een dubbel maatgetal tot gevolg hebben. Of anders gezegd, als we ons latje halveren, dan hebben we dubbel zoveel latjes nodig om af te passen. Bij een fractale kromme van dimensie 1,26 heeft het begrip lengte of omtrek geen zin, want nu wordt het aantal halve latjes vermenigvuldigd met 2^(1,26). De lengte hangt dus drastisch of van de meetresolutie, en is dus oneindig.

In de jaren 60 stelde Mandelbrot dat ook de kust van Engeland in principe oneindig lang was. Links zien we een stuk kust dat met vijftien halve latjes gemeten wordt, terwijl er maar zes van de oorspronkelijke latjes nodig zijn. In een historische publicatie in Science  "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension" (1967), suggereert Mandelbrot dat de fractale dimensie van de Britse kust ongeveer 1,2 is.

De hype mag dan wel over zijn, fractalen blijven een handige visualisering van de structuur in chaotische processen en verschaffen ons een eenvoudige bril om naar de complexe vormen om ons heen te kijken:

 

Ondertussen worden de fractalen door de volgende generatie (onze kinderen) herontdekt, met nieuwe fans tot gevolg. De huidige game-programmeurs maken gretig gebruik van "Mandelbrot-graphics" om complexe taferelen te toveren met simpele formules. Laat u maar eens overdonderen door het Mandelbulb-project, waar nieuwe apostelen de fractalen in 3D laten floreren. Opdracht volbracht, mijnheer Mandelbrot!



Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


't Heeft iets magisch

16. Oktober 2010, 18:48

Zouden we in plaats van de lege momenten op te vullen met het invullen van de cijfers van 1 tot 9 in een vierkant van 9 op 9 opgebouwd uit 9 kleinere vierkanten van 3 op 3 de zaak niet wat moeilijker kunnen maken door ons toe te leggen op het zoeken naar wat bekend staat als de voorloper van de Sudoku, namelijk de magische vierkanten? Ook hierop zijn interessante puzzels gebaseerd, die iets meer wiskunde vergen. Hier zie je er eentje:

magic puzzle


Het probleem hier is het volgende. Vul in de lege vakken getallen in, en wel zodanig dat de som van alle getallen in een rij of kolom steeds gelijk is aan 90. Bovendien moet ook de som van de getallen op elk van de diagonalen (van linksboven naar rechtsonder en van rechtsboven naar linksonder) gelijk zijn aan 90.
Probeer het eens. De juiste oplossing vind je door op de figuur te klikken.
Voor meer puzzels: klik hier.
Wat er in dit geval gevraagd wordt is precies de definitie van magisch vierkant: de getallen op rijen, kolommen en diagonalen hebben dezelfde som, de magische som genoemd, in het voorbeeld is het 90.


Het oudste bekende magische vierkant staat bekend als de LoShu, en er hoort ook een legende met een schildpad bij, die dateert uit 2800 v. C. in China. Hier zie je het vierkant in kwestie, en in dit geval is de magische som gelijk aan 15.

Lo shu

Dit is een voorbeeld van een zuiver magisch vierkant, omdat het opgebouwd is met opeenvolgende getallen beginnend bij 1.
Magische vierkanten worden al eeuwenlang bestudeerd, en je komt ze ook soms tegen in de schilderkunst, en de bouwkunst. De bekendste voorbeelden zijn de ets Melencolia van Albrecht Dürer, waarvan je hier een detail ziet:

Melencolia

Dürer slaagt erin het jaartal waarin hij de ets maakte, namelijk 1514, te verwerken in het magische vierkant. De magische som is hier 34.
Ook bekend is het magisch vierkant op de Sagrada Familia in Barcelona:

Sagrada Familia


een aangepaste versie van het vierkant van
Dürer zoals je kan zien. De magische som is nu 33 (en dat is precies de leeftijd die Christus had toen hij stierf aan het kruis; rechts zie je een uitbeelding van de Judaskus - het is tenslotte een kathedraal).


Het maken van magische vierkanten en varianten ervan met bijkomende eigenschappen is een kunst. In de volgende figuur zie je er vier-in-een:

vier-in-een


Niet alleen het volledige vierkant is magisch, maar ook het deelvierkant met de lichtblauwe rand, ook het geel met rode vierkant, en als je de figuur over 45 graden draait, dan ook het rode vierkant.
Kijk nog even terug naar de oplossing van de puzzel boven, en je zal merken dat naast de opgelegde eisen voor de sommen er nog heel wat andere groepen van vier getallen als som de magische som 90 hebben: gebroken diagonalen, 2 bij 2 deelvierkanten, de hoekpunten van 3 bij 3 vierkanten,...  Zo'n magisch vierkant wordt ook wel een duivels vierkant genoemd.
Er zijn dus allerlei varianten, een bespreking van een aantal ervan vind je bijvoorbeeld in dit document.


De grote specialist op gebied van magische vierkanten was zonder twijfel Benjamin Franklin. Franklin had blijkbaar een methode om snel magische vierkanten te maken. In een van zijn brieven lees je dat hij op een dag aan een kennis beloofde dat hij 's avonds wel eens een magisch vierkant in elkaar zou steken. De volgende dag stuurde hij hem het volgende op:

Benjamin Franklin

(klik voor een vergroting). Dit 16 bij 16 vierkant heeft naast de gewone eigenschappen (som van rijen, kolommen, diagonalen is 2056) ook nog opmerkelijk veel andere kenmerken. De gelijkgekleurde vakjes in de figuur hebben bijvoorbeeld ook als som 2056. Franklin noemt het in zijn brieven the most magically magical of any magic square ever made by any magician.
Wat de methode is die Franklin gebruikt heeft bij de constructie van zijn magische vierkanten, dat blijft tot op heden een raadsel.

postzegel uit 2006

Ook mijn lievelingswiskundige Leonhard Euler heeft een belangrijke rol gespeeld in de ontwikkeling van de magische vierkanten. Hij liet zien hoe je zuivere magische vierkanten kan maken met behulp van Latijnse vierkanten. Een Latijns vierkant van n bij n is een vierkant dat opgevuld is met n verschillende symbolen zodat in elke rij en kolom elk symbool precies eenmaal voorkomt. Een voorbeeld zie je hier: in dit 4 bij 4 Latijns vierkant vind je in elke rij en kolom boer (=1), dame (=2), heer (=3), aas (=4).

Latin

Merk op dat ook de vier kleuren ruiten (=1), harten (=2), schoppen (=3), klaveren (=4) in elke rij en elke kolom precies eenmaal voorkomen. Dit zijn dus in feite twee Latijnse vierkanten die over elkaar gelegd werden. Als we de zaak even symbolisch voorstellen m.b.v. getallen van twee cijfers, het eerste cijfer geeft de waarde van de kaart, het tweede cijfer de kleur (cijfers van 1 tot 4, zoals hierboven tussen de haakjes), dan krijg je dit beeld:

Grieks-Latijns

Het feit dat elke opeenvolging van twee cijfers uit 1, 2, 3, en 4 precies een keer voorkomt, maakt van dit vierkant een Grieks-Latijns vierkant (van orde 4), of Euler vierkant. Het leuke is dat het nu ook een magisch vierkant geworden is, met magische som 110, zoals je kan zien op de figuur.
In dit kader is het interessant het vermoeden van Euler te vermelden: Euler slaagde er niet in Grieks-Latijnse vierkanten van orde 6, 10, 14, 18,... te vinden, en hij formuleerde dan ook het vermoeden dat die niet bestaan.
In 1901 bewees G. Tarry dat een Grieks-Latijns vierkant van orde 6 inderdaad niet bestaat. Maar in 1959 vonden Parker, Bose and Shrikhande toch tegenvoorbeelden van het vermoeden van Euler, o.a. een Grieks-Latijns vierkant van orde 10, waarvan je hier een voorstelling ziet:

orde 10

Voor een keer had Euler het bij het verkeerde eind!

Merk op dat de stap van Latijns vierkant naar Sudoku niet groot is.
  


Pasles
Paul C. Pasles, Benjamin Franklin's Numbers. An Unsung Mathematical Odyssey.
Princeton University Press (2008) 254 pagina's.

Wil je vooral meer weten over Benjamin Franklin, en over zijn magische vierkanten, dan is dit het ideale boek. Het gaat echter niet enkel over deze passie van Franklin, waarvan hij zelf zei dat er nooit een nuttige toepassing van gevonden kon worden (een uitspraak die overigens absoluut niet juist blijkt te zijn). 

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο  (wel veel getallen!)
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο




Block en Tavares
Seymour S. Block, Santiago A. Tavares, Before Sudoku. The World of Magic Squares.
Oxford University Press (2009) 239 pagina's.

In dit boek vind je naast een beknopte geschiedenis een heleboel informatie over magische vierkanten in twee, drie en zelfs vier dimensies. Elke bladzijde verbaast je met nieuwe vormen van magische vierkanten die allerlei nieuwe kenmerken hebben, om maar enkele voorbeelden te geven: je leest er bijvoorbeeld over palindromische magische vierkanten die opgebouwd zijn uit palindromen, of magische vierkanten met enkel priemgetallen.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο




van den essen
Arno van den Essen, Magische vierkanten. De wonderbaarlijke geschiedenis van wiskundige puzzels. Van Lo-Shu tot sudoku.
Veen Magazines (2006) 238 pagina's.

Het enige Nederlandstalige boek van de drie is zeker een aanrader. Je vindt hier een bespreking van de hand van Ionica Smeets, een van de wiskundemeisjes (toch spijtig dat ze gestopt zijn met hun blog!). Het 8 bij 8 vierkant in het artikel van Ionica staat ook op de postzegel die je iets hoger vindt. Als je er op klikt, dan krijg je meer detail.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο





Geschreven in Algemeen | 3 Reacties | Vaste link | Afdrukken


De onredelijke zin van nutteloze leerstof

12. September 2010, 12:20

Misschien herinnert u zich nog dat de kranten en nieuwssites op 17 maart van dit jaar nog een plekje vrij hadden om te berichten over de `dramatische wiskundekennis’ van leerlingen na hun eerste graad. Dit bleek uit een peiling van de KULeuven en de Vlaamse overheid bij meer dan 3000 kinderen. Her en der doken discussies en vragen op: Is het dan echt zo erg gesteld? Is het erger dan vroeger? Zo ja, hoe komt dit eigenlijk? En vooral, moeten we hiervan wakker liggen?


Na deze vaststelling werd het maatschappelijk debat heropend over de zin van wiskunde, zoals een slapende vulkaan die om de zoveel tijd tot uitbarsting komt. Is het belang van dit vak in ons onderwijs niet buiten proportie? Evenveel meningen als er mensen zijn. Maar op onze blog bleef het radiostil. Natuurlijk hadden ook wij ons gedacht hierover, hoe kan het ook anders als je opereert onder de vlag “wiskunde is sexy”, maar we verkozen om dit periodieke bekgevecht geamuseerd van op de kant te volgen. Deze houding was zeker niet comfortabel, aangezien de discussie oeverloos was. Om nog te zwijgen over de emotionele oproep van een van onze lezers om onze nek uit te steken. Maar we beperkten ons tot voorhoofdgefrons, vooral toen de argumenten anekdotisch werden en wiskundekennis gelijkgeschakeld werd met het uitrekenen van (a+b)^2. Alweer moesten we getuigenissen van BV’s slikken die hun merkwaardige producten niet meer kenden en daar blij om waren. De artistieke kennis van de bezoekers van een museum werd getest aan de hand van de vochtregelaar.

Dan verscheen onlangs op de eerste schooldag een vreemd artikel in De Standaard waarin de Vlaamse Scholierenkoepel (VSK) een oproep deed voor `zinvolle leerstof’ en minister Pascal Smet voorstelde om deze aan te brengen met behulp van videogames. In een reflex bukten we ons hoofd omdat we een storm van reacties verwachtten, boegeroep en zelfs projectielen van rot fruit. Maar dat viel allemaal best mee (of tegen), enkele wakkere opiniemakers daargelaten.  Inderdaad, de tegenargumenten zijn soms zo voor de hand liggend dat niemand zich de moeite getroostte om ze te formuleren. Daarom, omdat kritiek geven gemakkelijk is, zeker in dit geval, volgen hier enkele bedenkingen. Weliswaar twee weken na datum, maar kort op de bal spelen is er op onze leeftijd niet meer bij, evenmin als vingervlug videogamen.


De VSK, die 660 leerlingenraden vertegenwoordigt, heeft een enquête gedaan bij 4000 scholieren. Alweer een peiling! Waar vonden ze zoveel jongeren die bereid waren om een formulier in te vullen, vragen we ons af. In ieder geval bleek hieruit dat de jeugd de lessen op school maar saai vindt en de voorzitter van de VSK pleit voor leerstof waarmee jongeren `later iets kunnen doen’. Als voorbeeld gaf hij het invullen van de belastingbrief, wat in de praktijk meer nodig is dan kennis over het ontstaan van een aardbeving. Je moet dit drie keer lezen om het te geloven. Gaan zo de lessen minder saai worden? Belastingbrieven invullen, Jezus, het zal wel kwestie van smaak zijn, maar dan leer ik liever de verklaring voor aardbevingen of vulkanen, ook al is de kans klein dat ik deze wetenschap ooit zal nodig hebben om te overleven. Hoewel, het zou wel eerder vervelend zijn als de toekomstige generatie weer denkt vulkanen te kunnen sussen met mensenoffers.

Misschien is het inderdaad een deeltaak van het onderwijs om jongeren op de praktijk van het leven voor te bereiden (naast het leren begrijpen en kritisch bekijken van de maatschappij, en het aanreiken van culturele en wetenschappelijke verworvenheden). Maar het is onmogelijk om te voorspellen welke praktijk de leerling van vandaag over enkele jaren moet trotseren. Welke tekstverwerker zullen ze later moeten verteren? Welk type gsm? Welk muziekmedium? Hoe gaan de belastingbrieven van morgen er uitzien, gaan we ze sowieso nog moeten invullen? Het lijkt daarom vanzelfsprekend om een algemene vorming te geven, die tot flexibele mensen leidt die hun plan kunnen trekken in een steeds veranderende omgeving. Kurt Lewin zei het al: "Niets is zo praktisch als een goede theorie".


We waren (aangenaam) verrast dat in bovenvermeld krantenartikel "wiskunde" niet voor de bijl ging als totaal zinloos voor het latere leven, toch wel het meest contextvrije vak bij uitstek. Wiskunde wordt dikwijls verward met droog rekenen, wat een onverwacht argument verschaft voor haar praktische toepasbaarheid. Deze week nog op de radio gehoord naar aanleiding van een enquête bij 1500 Vlamingen waaruit bleek dat de ziekenhuisfacturen vaak onoverzichtelijk zijn: `Je moet een wiskundige zijn om hier nog aan uit te kunnen.’ We weten nu niet goed of we ons opgelucht moeten voelen dat wiskunde als nuttig erkend wordt of bedroefd omdat het vak herleid wordt tot een soort boekhouden.

Waarschijnlijk is wiskunde uitgevonden door enkele lamzakken die het beu waren om voor ieder nieuw probleem een oplossing te zoeken en dus op zoek gingen naar gemeenschappelijke patronen. Eigenlijk was het onvermijdelijk dat het menselijk brein evolueerde tot een abstracte denkmachine om te overleven in de verscheidenheid en veelvuldigheid van de praktijk. Je kan wiskunde dus niet enkel opvatten als de studie van patronen maar ook van het menselijk denken zelf. Zelfs de VSK en Pascal Smet zullen moeten toegeven dat onze scholieren dit in het latere leven nodig hebben. Volgens een interpretatie van de kwantummechanica ontstaat de werkelijkheid maar pas als we ze “waarnemen” (merk op hoe de taal bij dit woord de theorie voorafging!). Omdat iedere perceptie ons brein moet passeren, en omdat dit laatste in wezen een wiskundig apparaat is, hebben wiskundige objecten zelf een hoog werkelijkheidsgehalte. Driehoeken, cirkels, complexe getallen, oneigenlijke integralen, Hilbertruimtes enzovoorts, ze bestaan dus allemaal echt. Dit verklaart meteen waarom wiskunde zo onredelijk effectief is om fysica,  biologie, economie,… te beschrijven. De Zweeds-Amerikaanse kosmoloog en filosoof Max Tegmark gaat zelfs nog een stap verder en beweert dat wiskunde niet zomaar het denkmodel is waarin we de wereld aantreffen, maar dat het fysische universum op zich een wiskundige structuur is (naar het schijnt dacht hij dit al voor hij The Matrix gezien had). De stap naar het model van Pascal Smet waarin de wereld eigenlijk een groot videogame is, lijkt niet zo groot. 


Uiteraard is het aan te raden om concrete voorbeelden en toepassingen te gebruiken in de wiskundeles ten behoeve van de begripsvorming en de motivatie van de leerlingen. Maar om de leerstof terug te verbrokkelen tot een stapel aparte feitjes en anekdotes is ronduit tegennatuurlijk.

We zijn in ons secundair onderwijs volgegoten met zogenaamde zinloze leerstof zoals de Alpentocht van Hannibal, verzen van Horatius of de methode van Thales om de hoogte van de Egyptische piramides te berekenen door hun schaduw op te meten. Maar al deze fragmenten zijn onderdeel geworden van de caleidoscopische mens die we nu zijn. Het is onbegonnen werk om bij iedere daad, woord of inzicht de vinger te leggen op de alinea in onze vroegere leerboeken die ons tot daar gebracht heeft. Of hoe nutteloze leerstof toch onredelijk zinvol kan zijn.


Als we ons dan toch laten meeslepen door onze tijdsgeest waarin onderwijs eerder competenties aanleert dan kennis, dan pleiten we voor het stimuleren van de weetgierigheid, een gereedschap dat de scholier zeker van pas zal komen in het latere leven, en wat het probleem van alles saai te vinden meteen grotendeels oplost.


 

 



Geschreven in Actuele wiskunde | 4 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Puzzels en wiskunde

05. Augustus 2010, 11:56

Martin Gardner mag gerust een blogger van het eerste uur genoemd worden. Welk onderwerp we in deze blog ook willen toelichten, Gardner heeft er wel iets over geschreven. Vandaag gaat het hier over dissectie-puzzels. Hier zie je een klassiek voorbeeld van Henry Dudeney, uit zijn boek Amusements in Mathematics:
dudeney-dissectie   

Als je problemen hebt met de oplossing ervan, klik dan even op de figuur.
Van dit soort puzzels zijn er veel te vinden, bijvoorbeeld in Gardner's boeken die zijn columns in de Scientific American bundelen. In Penrose tiles to trapdoor ciphers vind je de volgende opgave. Verdeel deze figuur in twee gelijke delen.

2 gelijke delen?

Soms zijn de opgaven doortrapt, zoals hier: op de volgende figuur zie je de verdeling van de gegeven vorm in twee gelijke delen. Kan je diezelfde vorm ook opdelen in drie gelijke stukken?

dissectie

Er zijn natuurlijk allerlei varianten van dit soort puzzels. Een iets moeilijkere soort is die waar gevraagd wordt een gegeven vorm op te splitsen in stukken waarmee je dan een andere gegeven vorm moet maken. Het bekendste voorbeeld is ongetwijfeld de Haberdasher's puzzle, opnieuw van de hand van Henry Dudeney: verdeel een gelijkzijdige driehoek in vier delen (die deze keer niet allemaal dezelfde vorm moeten hebben) zodat je met de vier stukken een vierkant kan vormen. Hier zie je een animatie:


haberdasher

Het gaat hier bovendien om een Hinged Dissection: door op de juiste plaats scharnieren aan te brengen, kan je zoals je ziet de omvorming mechanisch laten gebeuren. Lees in dit kader zeker de volgende leuke column in de Guardian (waarin verschillende personen/onderwerpen van deze blog samenkomen). Je leest daar o.a. hoe Erik Demaine dit probleem van Dudeney veralgemeend heeft.
Er wordt nogal wat wiskundig onderzoek gedaan naar puzzels, en bij dit soort dissectiepuzzel kan je je de vraag stellen: hoeveel verschillende oplossingen zijn er en hoe bewijs je dat? Het antwoord is niet altijd eenvoudig. Je kan best starten met een niet te moeilijke vraag, bijvoorbeeld de volgende.

Gegeven een vlakke figuur. Kan je deze opdelen in een eindig aantal gelijke (congruente) delen
die dezelfde vorm hebben (maar dan kleiner) als de oorspronkelijke figuur?
 
De eerste opgave was er zo een (als we tenminste spiegelingen toestaan). Hier zie je er nog een, met de oplossing:

dissectie

En dit is er een die je eerst zelf kan proberen (voor je doorklikt). Vier delen.

dissectie

We kunnen al dadelijk een eigenschap afleiden uit deze figuren. We hebben hier een oplossing in 4 stukken, en dat impliceert dat er ook een oplossing is met 16 stukken, en met 64 stukken,... Meer algemeen hebben we een eerste stelling:

is er een oplossing bestaande uit n delen, dan is er ook een met n2 stukken.

Dat er niet voor elke beginvorm een oplossing is, dat zal duidelijk worden als je als beginfiguur een cirkel neemt. Voor welke figuren gaat het dan wel? Ook die vraag is te moeilijk om zomaar te beantwoorden. We beperken nog:

welke beginfiguren kunnen opgesplitst worden in 2 gelijke delen die beide dezelfde vorm hebben als het origineel?

Blijkbaar is dit een goede vraag, want in 1999 werd dit probleem opgelost door S. Ngai, V. Sirvent, P. Veerman, en Y. Wang, in hun artikel On 2-reptiles in the plane. Het antwoord is verbazend: er zijn precies zes beginfiguren.

De meest eenvoudige is een rechthoek waarvan de lengte gelijk is aan wortel 2 keer de breedte. Dit is ook een bekend geval: een blad A4-papier is de helft van een blad papier van het formaat A3. De papierformaten A0, A1, A2, enz. zijn precies zo gedefinieerd.

De tweede mogelijkheid zie je op de volgende figuur. Het gaat om een rechthoekige gelijkbenige driehoek.

driehoek

En dan wordt het interessant. Er zijn dus nu nog 4 andere beginvormen.Waar de eerste twee echt wel eerder gewoon waren, zijn de andere vier wel erg speciaal: elk van de vier heeft een fractale rand. Ze dragen ook sprookjesachtige namen. Hier zie je ze:

Heighway dragon:
heighway

Twindragon:
twin dragon

Tame Twindragon:

tame twin dragon

Levy dragon:
Levy dragon

Het bewijs vind je in bovenvermeld artikel, maar het is absoluut niet eenvoudig. Zoals dat ten andere wel vaker gebeurt: eenvoudige problemen hebben niet altijd eenvoudige oplossingen.
Meer over dergelijke lichtere wiskundedingen kan je lezen in het erg mooie boek van Jean-Paul Delahaye.



Delahaye
Jean-Paul Delahaye, Mathématiques pour le plaisir: Un inventaire de curiosités,
Belin - Pour La Science (2010).

Dit boek is een bundeling van columns geschreven voor het tijdschrift Pour La Science. Er zijn vijf delen, met als titels Kunst (met o.a. een hoofdstuk over ambigrammen, en over de kunstenaar Jos Leys), Meetkunde (o.a. over schoenveters en hoe je die toch nog kan gebruiken als er een stuk afbreekt, en over dissecties), Spellen (o.a. over hoe je een Sudoku kan oplossen, en over flexagons), Getallen, en tot slot, Hersenbrekers. Een erg leuk en mooi geïllustreerd boek.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο 
Score: Θ Θ Θ Θ Ο





Geschreven in Algemeen | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Martin Gardner, de vader van de recreatieve wiskunde, is niet meer

28. Mei 2010, 11:57

Martin Gardner, de wiskundige puzzelaar bij uitstek, is deze week op 95-jarige leeftijd overleden.

martin     ambigram

Vorig jaar verschenen er nog twee nieuwe boeken van hem, wat het totaal op zo'n 70 brengt. Voor wie Gardner niet kent, hij is bekend geworden door zijn column Mathematical Games in de Scientific American. Die column (1956-1981) werd gretig gelezen, en heeft de recreatieve wiskunde tot een wetenschap gemaakt. Gardner haalde zelfs wiskundige aprilgrappen uit met zijn lezers: op 1 april 1975 publiceerde hij een landkaart die niet met vier kleuren te kleuren viel. Dit zou dan in tegenspraak zijn met een vermoeden van Francis Guthrie uit 1852 dat je elke landkaart (die aan bepaalde voorwaarden voldoet) kan inkleuren met vier kleuren op zo'n manier dat aangrenzende landen een verschillende kleur krijgen. Dit resultaat staat nu bekend als de Vierkleurenstelling - op twijfelachtige wijze bewezen in 1976).  Hier zie je de kaart:

5 kleuren?

(Als je er op klikt, dan zie je de kleuring door Stan Wagon...).
Nu zijn die columns van Gardner in de Scientific American al lang geleden in boekvorm uitgebracht. En om even te laten zien hoe actueel (en hoe leuk) ze nu nog zijn en ook om hulde te brengen aan Martin Gardner, wil ik het in deze column even hebben over de eerste bundeling, The First Scientific American Book of Puzzles and Games uit 1959, ondertussen al verschillende keren heruitgegeven (met soms ook een andere titel):

boek 1

Het is leuk de verschillende kaften te bekijken, want ze vertellen je al heel wat over de inhoud van het boek. Er staat bijvoorbeeld een hoofdstuk in over hexaflexagons:


hexaflexagons

Meer over hexaflexagons lees je hier, en zie je hier. En hier vind je er een om zelf te maken, gebaseerd op de afbeeldingen in deze blog.
Hexaflexagons zijn verwant met kaleidocycles, en zo komen we uit bij Escher. Gardner heeft namelijk ook een rol gespeeld in de Escherrage van een aantal jaren geleden. Gardner bezat zelf een originele Escher, een van mijn persoonlijke favorieten:

escher

Wat vind je nog in dit boek? Iets over de band van Möbius, en over het probleem van de torens van Hanoi. Een hoofdstuk over de polyominoes van Solomon W. Golomb die aan de basis liggen van een aantal spelletjes die nu in de speelgoedwinkels te krijgen zijn. Er is ook een hoofdstuk met als titel Sam Loyd, America's Greatest Puzzlist. Telkens gaat het om korte bijdragen, maar ze doen je zin krijgen in meer.

Je leest er bijvoorbeeld ook het volgende raadsel (dat nu niet meer zo politiek correct is): kan je zes sigaretten zo leggen dat elke sigaret alle anderen raakt?  Natuurlijk kan dit, en op de kaft rechtsboven zie je een oplossing met 7 sigaretten, waarover Gardner vertelt dat ze aangebracht werd door 15 lezers van zijn oorspronkelijke column.

Ik wil het tot slot hebben over nog een ander onderwerp: wiskundige goocheltrucs met speelkaarten. Daarover gaat hoofdstuk 10. En hier vind je een versie van een van de oudste en tegelijkertijd leukste hersenbrekers, namelijk het bekende wijn/water mixing probleem:

Je hebt twee gelijke glazen,
een ervan is gevuld met wijn, het andere met water.

Beide glazen zijn precies even vol.
Je brengt een lepel wijn uit het ene glas over naar het andere.
Je mengt, en dan breng je een lepel van het mengsel over naar het glas met wijn.
Zit er nu meer water in het glas met wijn dan wijn in het glas met water, of net omgekeerd?

Dit probleem heeft alle kwaliteiten van een goed raadsel: niet te eenvoudig, en het leidt steeds tot overloze discussies omdat de oplossing tegenintuïtief is. Gardner brengt het aan via een kaarttruc, die werkelijk verbluffend overkomt. Wil je er meer van weten, lees dan het boek.

Na dit eerste boek met columns zullen er nog 14 andere volgen. En dit is slechts een klein deel van het omvangrijke oeuvre van Martin Gardner. In mijn boekenkast nemen zijn boeken alvast een prominente plaats in:
 
 
 


eerste boek
Martin Gardner, Hexaflexagons, Probability Paradoxes, and the Tower of Hanoi,
Cambridge University Press (2008).

Het eerste deel in een vijftiendelige heruitgave van de columns van Martin Gardner in de Scientific American. Nog steeds erg actueel, prettig om te lezen door de grote afwisseling. De oorspronkelijke editie werd grondig aangepakt, de hoofdstukken zijn langer geworden, geactualiseerd, en je vindt er nu telkens ook een uitgebreide bibliografie. Een aanrader.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο 
Score: Θ Θ Θ Θ Ο






Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Stapelgekke wiskunde

04. Mei 2010, 13:52

Meestal begint het met artisjokken en eindigt het met wc-papier, maar het kan ook omgekeerd. Dit verhaal begint in een supermarkt van Delhaize waar we gisteren deze rol toiletpapier vonden:

toiletpapier met formulesVoortaan kunnen we ons dus schoonvegen met vergelijkingen van Maxwell en formules van andere helden. De psychologische gevolgen voor de mensheid in het algemeen, en voor jonge wetenschappers en fysicastudenten in het bijzonder, zijn voorlopig niet te overzien.

 

Nu, als toiletpapier arrogant uit de hoek komt, voelen we ons uitgedaagd en gaan we in de tegenaanval. Het viel ons namelijk op dat de manier waarop papierrollen doorgaans verpakt worden, meer winkelruimte verspilt dan nodig. Van bovenuit gezien lijkt een pak wc-rollen op identieke cirkels die het vlak opvullen:

Cirkels volgens vierkantpatroonGewoonlijk opteert de fabrikant helaas voor het "vierkantpatroon".
De verpakkingsdichtheid, gedefinieerd als de fractie van het vlak dat door de cirkels ingenomen wordt, kan eenvoudig berekend worden als de oppervlakte van de cirkel gedeeld door de oppervlakte van een omgeschreven vierkant.

In dit geval vinden we dus:

                             pi/4 ≈ 0,785

Meer dan 21% ruimte blijft dus onbenut.

Nochtans kondigde Axel Thue al in 1890 zijn theorema aan: de meest optimale manier om met cirkels het vlak op te vullen gebeurt volgens een "zeshoekpatroon":

cirkels met zeshoekpatroon Nu zijn de cirkels ingeschreven in regelmatige zeshoeken die het vlak betegelen. De verpakkingsdichtheid is dan de fractie van de oppervlakte die binnen de zeshoek bedekt wordt door een cirkel:

                   pi/√(12) ≈ 0,907


We hoeven dus niet meer dan 10% ruimte verspillen!

Merk op dat de middelpunten van de gestapelde cirkels (wc-rollen) op een regelmatig rooster liggen, zowel bij het vierkantpatroon als bij het zeshoekpatroon. Inderdaad, als we de middelpunten van drie elkaar wederzijds rakende cirkels coördinaten (0,0), (1,0) en (0,1) geven, dan liggen de andere middelpunten op (m,n) met m en n gehele getallen (let op, het assenstelsel is enkel rechthoekig in geval van het vierkantpatroon). Carl Friedrich Gauss bewees al eerder dat het zeshoekpatroon de hoogste dichtheid heeft als we ons beperken tot cirkels op een regelmatig rooster, maar het Theorema van Thue is algemener.

Denk in bovenstaande optimale cirkelconfiguratie de cirkels even weg, zodat enkel de zeshoeken overblijven. We herkennen onmiddellijk de structuur van de honingraat.

honingraat Wat is er zo speciaal aan zeshoeken dat ze zo geliefd zijn door bijen (en over het hoofd gezien door toiletpapier-verpakkers)?

Om te beginnen zijn er niet zo veel regelmatige veelhoeken waarmee het vlak kan betegeld worden. Gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en regelmatige zeshoeken, en dan hebben we het gehad.

Maar waarom kiezen bijen dan niet voor de driehoek, het vierkant, of misschien een andere niet-veelhoekige vorm?

Dit brengt ons bij het befaamde honingraatvermoeden :

"Van alle mogelijke vlakverdelingen in cellen met gelijke oppervlakte gebruikt de honingraat het minste materiaal (dus, de totale omtrek van de celranden is minimaal als we voor regelmatige zeshoeken kiezen)"

In 1943 gaf Lázló Fejes Tóth hiervoor een bewijs in de veronderstelling dat de cellen convexe veelhoeken zijn, Pappus van Alexandrië wist dit al in het geval de cellen regelmatige veelhoeken zijn, maar in 1999 bewees Thomas C. Hales het vermoeden in volle algemeenheid, vanaf toen de honingraatstelling.

Het voorgaande probleem heeft een boeiende 3D-versie: hoe kunnen we de ruimte in cellen van gelijk volume verdelen zodat de oppervlakte van de celranden geminimaliseerd worden? Dit staat bekend als het probleem van Kelvin. Uit wat ze tot hiertoe geleerd heeft, zou de lezer kunnen concluderen: kijk naar de bijtjes (en vooral niet naar verpakkers van papierrollen).

Inderdaad, eigenlijk bestaat een honingraat uit 3D-cellen:

3D-honingraatcel
Meetkundig worden deze honingraatcellen gevormd door een combinatie van een zeshoekig prisma en een "ruitdodecaheder".

 

 

Maar L.F. Tóth ontdekte in 1965 dat de natuur in deze kwestie een  steekje had laten vallen: de honingraatcel is niet de oplossing van Kelvin's probleem. De boog kan niet altijd gespannen staan, moeten de anders zo ijverige bijen ditmaal gedacht hebben. Lord Kelvin zelf suggereerde een oplossing, gebaseerd op een "gesnoeide octaheder", maar in 1994 spatte dit vermoeden als een zeepbel uit elkaar toen D. Phelan en R. Weaire "schuim" ontdekten met gelijk volume maar kleinere oppervlakte dan het Kelvinschuim.

 
Op het einde van de zestiende eeuw, het tijdperk van kapers en zeevaarders, stelde Thomas Harriot formules op voor het aantal kanonskogels in een piramidevormige stapel.

Deze manier van bolstapeling kan in heel de ruimte voortgezet worden. Als we een horizontale laag doorsnijden met een vlak door alle middelpunten, dan vinden we onze optimale vlakke cirkelstapeling terug (zeshoekpatroon). De volgende laag is een halve boldiameter verschoven zodat de kogels in de kuiltjes van de vorige laag passen, maar zodanig dat ze precies boven de kogels liggen van twee lagen eronder. Scheikundigen kennen dit als een "kubisch vlakkengecentreerde atoomstructuur", fruitkramers als de voor de hand liggende manier om sinaasappels in een hoop te leggen. Op deze manier wordt 26% ruimte verloren. Meer bepaald, de dichtheid van deze "kanonkogelstapeling" is gelijk aan

                   pi/√(18) ≈  0,74 

In 1611 beweerde Johannes Kepler dat geen enkele bolstapeling een efficiëntere dichtheid kon hebben dan deze pi/√(18), maar kon het niet bewijzen. Deze bewering staat sinds dan bekend als het vermoeden van Kepler. Er zijn nog enkele andere stapelingen bekend die even opvullend zijn, telkens opgebouwd uit lagen die het zeshoekpatroon volgen. Hieronder zie je een veelgebruikt alternatief (de "hexagonaal compacte stapeling"):


In 1831 bewees Gauss dat pi/√(18) de grootst mogelijke dichtheid is voor een bolstapeling met middelpunten op een regelmatig rooster. Maar dit sloot het bestaan niet uit van onregelmatige compactere stapels. In het vlak zijn de dingen veel eenvoudiger. Rond iedere cirkel kunnen we precies zes identieke cirkels leggen, die de gegeven cirkel allemaal raken. Probeer dit maar uit met euromunten. Wiskundigen zeggen dat het vlak kusgetal zes heeft. Dit verklaart waarom het zeshoekpatroon werkt bij cirkels in het vlak. Het ruimtelijke kusgetal is gelijk aan twaalf; twaalf identieke bollen kunnen een bol met dezelfde straal simultaan raken, en voor een dertiende is er geen plaats (deze observatie gaat terug tot Newton). Maar in tegenstelling tot het vlak is het kussen nu geen starre aangelegenheid: de rakende bollen kunnen nog een beetje bewegen relatief t.o.v. elkaar. Dit leidt tot heel veel mogelijkheden van "lokaal compacte situaties".

In 1998 stuurde Thomas Hales (jawel, de man van het honingraatvermoeden) het bericht de wereld rond dat hij het vermoeden van Kepler bewezen had. Hij had het probleem eerst herleid tot ongeveer 5000 mogelijk kanshebbers, die daarna een voor een uitgesloten werden met behulp van de computer (en zijn student Ferguson). Dit doet onwillekeurig denken aan het bewijs van Appel en Haken voor het vierkleurenprobleem. Het nadeel van dergelijke computerbewijzen is dat ze moeilijk controleerbaar zijn. In 2003 werd het resultaat van T. Hales dan toch gepubliceerd, maar met een kanttekening van de uitgevers waarbij ze de correctheid niet garandeerden. Dit was de aanleiding voor Hales en Ferguson om het Flyspeck project te starten ("Formal Proof for Kepler").

Stapelproblemen kunnen ook statistisch bekeken worden. Als we knikkers willekeurig stapelen dan mogen we een dichtheid van ongeveer 60% verwachten. Na het schudden van de doos knikkers wordt de stapeling lokaal geoptimaliseerd, wat gemiddeld een dichtheid van 65% oplevert. Iedereen heeft dit fenomeen al waargenomen bij een doos met keukenzout. Als je nu geduldig alle zoutkorrels stapelt als kanonkogels dan zou dit een extra winst van 9% geven. 

Stanislaw Ulam vermoedde dat iedere hoop van identieke convexe objecten zodanig kan gestapeld worden dat de dichtheid groter is dan die van een stapel kanonkogels. Bij mijn weten is dit vermoeden nog niet bewezen. Even leek het erop dat regelmatige tetraeders nog slechter te stapelen zijn dan bollen. Sinds John Conway in 2006 de race naar compacte tetraederstapels gestart heeft, zijn al een hele reeks verbeteringen gepubliceerd. Het huidige record geeft een dichtheid van 85,63% (ver boven de 74% van een kanonkogelstapel, conform met het vermoeden van Ulam) en staat sinds dit jaar op naam van Chen, Engel en Glotzer.


In ieder geval hebben de wiskundigen nog genoeg problemen op stapel staan. Wat dacht je bijvoorbeeld van de volgende uitdaging, een e-mail die Thomas Hales van een groenteboer kreeg net nadat hij het probleem van Kepler opgelost had: "We need you down here right away. We can stack the oranges, but we're having trouble with the artichokes."?

 

Verder lezen:  (met aandrang aanbevolen)

"Cannonballs and honeycombs" door Thomas Hales.

G. Szpiro, Kepler's Conjecture: How Some of the Greatest Minds in History Helped Solve One of the Oldest Math Problems in the World, John Wiley & Sons, 2003.

 



Geschreven in Actuele wiskunde | 2 Reacties | Vaste link | Afdrukken


«Vorige   1 2 3 4  Volgende»