SciLogs International .com.be.es.de

Recentste blogposts RSS

tau-dag, de perfecte dag om het academiejaar af te sluiten?

27. Juni 2011, 11:37

In onze recente bijdrage naar aanleiding van pi-dag hebben we het er al over gehad: er is een beweging die tot doel heeft de wiskundige constante $\pi$ te laten vallen ten voordele van het dubbele ervan, dat we dan zouden voorstellen door de griekse letter tau, $\tau$.
Je vraagt je misschien af waarom. We laten hierover Vi Hart aan het woord, die er waarschijnlijk wonderwel in slaagt u, de lezer, te overtuigen.

 

(Je kent Vi al uit een vorige blog, waar ze samen met Rinus Roelofs aan het kunstpuzzelen is.)
De beweging is waarschijnlijk opgestart door Bob Palais, een wiskundige, met een artikel in The Mathematical Intelligencer uit 2001 dat als titel heeft $\pi$ is wrong. Bob gebruikt niet tau, maar een nieuw symbool voor $2\pi$:

2pi

Een meer logische keuze dan $\tau$, maar voor een aantal tekstverwerkers een probleem (niet in LaTeX, probeer \def\newpi{{\pi\mskip -7.8 mu \pi}}).
Door toedoen van het tau-manifest, in 2010 geschreven door de fysicus Michael Hartl, kwam er meer beweging in de beweging. Diezelfde Michael Hartl was het die voorstelde om elk jaar op 28 juni (6/28) tau-dag te vieren. Inderdaad, iedere strekking die zichzelf een beetje au sérieux neemt, heeft een bijbel en een hoogdag. Nu nog een logo en de merchandising kan beginnen. Uiteraard roept iedere poging tot verandering ook weerstand op, niet altijd onterecht. Het gevaar bestaat dat het anders zo gesloten front van wiskundigen in twee kampen zal gespleten worden, de $\pi$-risten en de $\tau$-logen. Als u vandaag niet in het centrum van Brussel geraakt, omdat alle toegangswegen geblokkeerd zijn door een mars van $\tau$-militanten, die op hun beurt gehinderd worden door taartgooiende tegenbetogers, dan hebt u hier tenminste wat achtergrondduiding gekregen.

pid

Een beetje geschiedenis. Leonhard Euler (1707-1783) (links), een van de grootste wiskundigen aller tijden, gebruikte om de verhouding van de omtrek van een cirkel tot de diameter voor te stellen soms het symbool p (van perimeter, van het Griekse perimetron of perifereia), soms het symbool c (circumferentia, uit het Latijn). In 1737 stapte hij echter definitief over op de Griekse letter $\pi$. Johann Bernoulli (1667-1748) (rechts), ook niet van de minste, gebruikte de letter c.

Euler  Bernoulli

Nu is het niet zo duidelijk waarom deze wiskundigen de omtrek van een cirkel betrokken op de diameter, en niet op de meer voor de hand liggende straal. Als ze dat wel hadden gedaan, dan was $\pi$ nu waarschijnlijk inderdaad gelijk geweest aan $6,2831...$. Toegegeven, dit pleit voor Palais en Hartl. Hartl zegt verder dat in vele formules niet $\pi$ voorkomt, maar wel $2\pi$. Dan is de keuze voor de Griekse letter tau inderdaad niet zo slecht, omdat je dan met corrector gemakkelijk de nodige aanpassingen kan doen in de handboeken:

2pi  $\Rightarrow$   tau

Maar als we dit nu toepassen op taarten:

2pi   $\Rightarrow$   tau

dan lijkt de keuze $\tau$ toch niet de juiste.
Wij houden het bij $\pi$ en $\pi$-dag. En u? Maar waarom je druk maken, als $\pi$ toch eigenlijk gewoon 4 is?

cartoon

Misschien moeten we de Britse wiskundige Marcus Du Sautoy volgen, die op Twitter voorstelt om op 28 juni niet tau-day te vieren, maar perfect day. Perfect day of perfecte dag omdat 6 en 28 de twee kleinste perfecte getallen zijn.

numberline




Geschreven in Actuele wiskunde | 3 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Datingsitematches, hockeysticks en een harige bal

11. Juni 2011, 09:20

Pythagoras, vooral bekend als het drukbezochte Turkse eethuis op de Turnhoutsebaan in Borgerhout, is ook de naam van een Nederlands wiskundetijdschrift voor jongeren. Meer nog, het is ons standaardantwoord wanneer onze kinderen zich afvragen hoe wij onze jeugd overleefd hebben zonder Facebook, iPad of Wii. Nu het tijdschrift zijn vijftigste verjaardag viert, nemen we de gelegenheid te baat het iedereen aan te prijzen, de jonge leeuwen onder ons in het bijzonder. De artikels in Pythagoras zijn doorgaans vlot geschreven en gemakkelijker te verteren dan de pita’s in het gelijknamige restaurant. Ondergetekenden behoren misschien niet meer tot de doelgroep, maar beleven nog elke maand plezier aan de nieuwe uitgave. Boys will be boys.

Ter gelegenheid van dit jubileum heeft Pythagoras een boek uitgegeven met als titel “De Pythagoras Code”. In samenwerking met de Nederlandse wetenschapssite Kennislink (al eerder bewierookt op deze blog, en ons standaardantwoord wanneer onze kinderen zich afvragen hoe wij nog altijd kunnen overleven zonder Facebook, iPad of Wii) werd een prijsvraag uitgeschreven waarmee je dit jubileumboek kan winnen: vind een ludieke naam voor een bestaande wiskundige stelling. Leuke opgave, spijtig dat we er zelf niet op gekomen zijn. Voor de iets minder wiskundige lezer volgt nu een opsomming van enkele stellingen met commerciële namen, de iets meer wiskundige lezer wordt hierbij uitgenodigd om het lijstje aan te vullen met stellingen die nog ontbreken (door middel van commentaar, onderaan toe te voegen - kan ook zonder Facebook). We hebben zelf ook een eigen duit in het zakje gelegd.

Ham-Sandwichstelling  Gegeven zijn twee sandwichhelften (of twee boterhammen) en een schelletje hesp. Dan is het altijd mogelijk, ongeacht de ruimtelijke schikking van deze drie objecten, om met één enkele zwaai met een hakmes (lees: vlakke sectie) al deze drie objecten exact te halveren. Deze stelling kan in iedere dimensie geformuleerd worden, als je het aantal objecten gelijk neemt aan de dimensie, en met een aangepast hypervlak in de rol van hakmes. Ook al zegt een variant van deze stelling dat met één houw van een slagzwaard in een perfecte vlakke beweging drie gijzelaars kunnen onthoofd worden, vinden we de benaming Al-Qaedastelling eerder ongepast.  In dimensie 2 (het vlak) spreekt men soms van de Pannenkoekstelling.

Stelling van de Harige Bal  Misschien is het je vanmorgen gelukt je te kammen zonder zijstreep, maar voor een bal die helemaal rondom behaard is, blijkt dit een onmogelijke zaak. Om dezelfde reden zijn ook kiwi’s en kokosnoten gedoemd om ofwel ongekamd ofwel met zijstreep door het leven te gaan.

Stelling van de Dronken Man en de Dronken Vogel
 (klinkt als de titel van een parabel): een zatlap geraakt altijd terug thuis. Inderdaad, een man die een grillig traject aflegt door op ieder ogenblik willekeurig een  stap te nemen in een van de vier windrichtingen, zal met een waarschijnlijkheid van 100% ooit terug op zijn startpunt uitkomen. In drie dimensies echter, waar op ieder ogenblik een random keuze tussen zes hoofdrichtingen gemaakt wordt, blijkt er wel een kans te bestaan dat het beginpunt nooit meer bereikt wordt. Een dronken vogel vindt misschien nooit zijn nest terug.

Huwelijksstelling 
Stel dat bijvoorbeeld 10 vrouwen elk een keuzelijst mogen maken uit 10 mannelijke kandidaten. Kan het huwelijksbureau dan garanderen dat iedere vrouw een man krijgt die op haar lijstje stond? Dat hangt er natuurlijk van af. Als twee kieskeurige dames een lijstje inleveren met maar 1 man, en toevallig dezelfde man, dan kunnen ze niet beiden gelukkig gemaakt worden. Bij uitbreiding, als $k$ vrouwen hun lijstjes beperken tot $k-1$ gemeenschappelijke mannen dan is een bevredigende oplossing evenmin mogelijk. De Huwelijksstelling beweert dat in geval voorgaand probleem zich niet voordoet, iedere vrouw een man uit haar lijstje kan krijgen. Misschien is de benaming een beetje gedateerd, misschien is Datingsitestelling meer van deze tijd.

Kunstgaleriestelling  Beschouw een polygonale kamer (bijvoorbeeld een expositieruimte) met $n$ hoeken. Wat is dan het minimaal aantal camera’s (of suppoosten) dat volledige beveiliging garandeert (hele kamer is in beeld)? Voor een saaie kamer zonder inhammen (convexe veelhoek) is 1 camera altijd voldoende, maar wat kunnen we zeggen voor kamers met een willekeurige (veelhoekige) vorm? Volgens de Kunstgaleriestelling volstaan steeds $\lfloor{n/3}\rfloor$ bewakers ($\lfloor{k}\rfloor$ rondt $k$ naar onder af). Een betere grens kunnen we niet geven, want er bestaan kamers waarvoor $\lfloor{n/3}\rfloor$ camera’s vereist zijn. Omdat we in deze posities alle hoeken van de kamer zien, lijkt Wilde-Nachtstelling ons een geschikte alternatieve naam.

Kerstsokstelling (of Hockeystick-stelling of Golfclub-stelling of voor ons part Didgeridoo-stelling) De driehoek van Pascal is een bodemloos vat wat mooie relaties betreft tussen (binomiale) getallen. Deze stelling kan je best met bijbehorende figuur uitleggen: brei je kerstsok startend op een willekeurig punt van een Pascalzijde en volg de diagonaal tot de wol of de goesting op is en eindig met een bocht naar linksonder. Het getal in de “teentip” is dan altijd juist de som van de gepasseerde diagonaalgetallen. De Davidsterstelling is een ander voorbeeld van een eigenschap die mooi gevisualiseerd wordt in deze driehoek. Zie ook hier.

Schrijnwerkerslatstelling  In welke vorm deze vouwlat zich ook bevindt, zonder cross-overs weliswaar, je kan hem altijd tot een rechte lijn uittrekken zonder cross-overs. Maar ook hier geldt beter voorkomen dan genezen: laat je kinderen niet met je gereedschapskist spelen. Erik Demaine is een van de acteurs van het bewijs, hij kreeg al eerder aandacht in deze blog.

Cox-Zuckermachine 
Een mannen-aan-de-toognaam voor een algoritme bedacht door David Cox en Steven Zucker in 1979 voor de constructie van een basis in een Mordell-Weilgroep. Uitdaging voor de lezer: zoek nog andere wiskundigen die beter niet samen een artikel schrijven.

Van Goghstelling  In iedere veelhoek bestaan drie opeenvolgende hoekpunten $A, B, C$ zodat $[A,C]$ een diagonaal is (het verbindingslijnstuk tussen $A$ en $C$ verlaat de veelhoek niet). In dit geval wordt de driehoek gevormd door $A, B, C$ ook wel eens een “oor” genoemd (zie figuur). Eigenlijk kan men zelfs bewijzen dat iedere veelhoek met minstens 4 hoekpunten minstens 2 oren heeft. Het bestaan van dergelijk oor leidt tot inductieve redeneringen voor veelhoeken, bijvoorbeeld bij het trianguleren (de veelhoek verdelen in driehoeken m.b.v. diagonalen). Inderdaad, je snijdt gewoon een oor af en voert de constructie recursief uit op de kleinere veelhoek. 


Voor wie nog tijd over heeft om te googlen, vermelden we nog enkele voorbeelden uit de folklore van de gekke stellingnamen:
  • Infinite Monkey Theorem
  • Law of the Unconscious Statistician
  • Potato Chip Theorem
  • Sausage Hypothesis
  • Wobbly Table Theorem
  • Gossip Theorem 


Geschreven in Actuele wiskunde | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Wiskunstige modeshows, en de decimalen van het getal pi als Moirépatroon

22. Mei 2011, 18:49

Programma's om contouren te tekenen van oppervlakken in de ruimte, intrigeren me al vele jaren. Vooral omdat zelfs als het programma het niet goed doet, er vaak toch leuke, en soms ook kunstzinnige dingen uitkomen. Ik geef een voorbeeld. Tekenen we de contouren of de niveaulijnen van het oppervlak met vergelijking $$z=\frac{-5x}{x^2+y^2+1}$$
oppervlak 1

met beperkte nauwkeurigheid, dan vinden we dit:

contouren


Doen we een kleine aanpassing aan de vergelijking van het oppervlak, en ook aan de kleuren die we gebruiken, dan zie je voor 
$$z=\frac{-5x}{2x^2+3y^2+x+y}$$

opp2

het volgende resultaat:

contouren

Deze amateuristische pogingen om wiskunde en kunst te combineren zijn niet te vergelijken met wat zich afspeelde in Gent op vrijdag 20 en zaterdag 21 mei. Onder de naam Wiskunst in Gent brachten Gudrun de Maeyer en Dirk Huylebrouck in een tweedaagse meeting een aantal mensen samen die iets met kunst én met wiskunde hebben. Je ziet de beide organisatoren hier op de foto, voor een van de tentoongestelde kunstwerken:

Dirk en Gudrun

Er werden voordrachten gegeven, er waren kunstwerken tentoongesteld, er werden ter plekke kunstwerken gemaakt. (Er waren ook broodjes, gratis;-) Je kon er bekende en minder bekende, binnenlandse en buitenlandse, grote en kleine kunstenaars ontmoeten, en met hen over hun werk praten. Om maar enkele namen te noemen, je zag er Rinus Roelofs aan het werk samen met Vi Hart bij het maken van een geometrisch kunstwerk:

rinus en vi

rinus en vi

rinus en vi

Je kon er ook naar een lezing luisteren van Peter Raedschelders die het had over vlakverdelingen en magische vierkanten, en kunstwerken maakt die echt de moeite waard zijn:

Peace

Tom Verhoeff had het dan weer over het werk van zijn vader, de kunstenaar Koos Verhoeff, die bekend is om zijn kunstwerken in hout:

evenwichtskunst

en recent tentoongesteld werd in het Mathematikum, in Giessen, Duitsland.
Een deel van de tentoongestelde werken stond opgesteld in de witte zaal van Sint-Lucas, een reden voor architect Patrick Labarque om een kunstwerk te maken dat gebaseerd is op deze zaal. Hij paste er een bolinversie (de driedimensionale variant van de cirkelinversie, je vindt die ook terug in het werk van Jos Leys, eveneens aanwezig, en o.a. bekend door de prachtige film Dimensions) op toe en liet het resultaat maken door een 3D-printer: hier ziet u de witte zaal voor en na de bolinversie.

Witte zaal

Witte zaal na bolinversie

Kortom, er viel heel wat te beleven, dit weekend in Gent.


Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Met de w van wiskunde, vouwen en wc-papier

14. April 2011, 17:45

Het eerder wiskundige verhaal van de uitvinding van het schaakspel en de beloning voor de uitvinder ervan, is welbekend. De keizer van Indië vroeg aan deze uitvinder wat hij graag als beloning wilde hebben, en het antwoord was: mijn schaakbord gevuld met rijstkorrels, eentje op het eerste veld, twee op het tweede, vier op het derde, en dan telkens verdubbelen.

rijst
veelrijst

Op het laatste veld liggen er dus $2^{63}$ rijstkorrels, en het totale aantal kunnen we als volgt berekenen:
$$\large \begin{array}{rcl@{}l} \mbox{totaal} & = & 1+\!\!& 2+2^2+2^3+\ldots+2^{62}+2^{63} \\
2\cdot \mbox{totaal} & = & & 2+ 2^2+2^3 +\ldots+2^{62}+2^{63}+2^{64}
\end{array}$$Indien we nu de bovenste som aftrekken van de onderste, dan vinden we voor het totaal aantal rijstkorrels:
$$\large\mbox{totaal} = 2^{64}-1 = 18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615 $$De keizer dacht eerst dat dit een eerder bescheiden wens was, maar al snel zag hij in dat dit niet het geval was...

Eenzelfde soort gevoel moet de leerlingen van de St. Mark's School in Southborough, Massachusetts, bekropen hebben toen ze op 2 april een poging deden om het wereldrecord papiervouwen te verbreken. Papiervouwen doe je door een blad papier dubbel te vouwen, en dan nog eens dubbel, enzovoorts. Telkens verdubbelen dus, of telkens opnieuw maal twee, zoals in de fabel van het schaakbord.
Het vorige wereldrecord stond op naam van Britney Gallivan, en dateert uit 2002. Zij slaagde erin papier twaalf maal dubbel te vouwen. Daarvoor kocht ze een (grote) rol wc-papier van 85$, en begon er aan. Ze had eerst uitgerekend hoeveel verlies er is bij de vouwen:

vouwen

Op de rol van Britney zat 1200 m wc-papier. Hier zie je het resultaat na 11 maal vouwen:

Britney


Daarmee kwam abrupt een einde aan de idee dat je papier maar zeven of acht keer kan dubbelvouwen.
Britney zat nog op de middelbare school toen ze dit presteerde. Aanleiding was een kans om extra punten te verdienen door iets 12 keer dubbel te vouwen.

Dat moet beter kunnen, dachten de leerlingen van
de St. Mark's School. Of misschien was het wel hun wiskundeleraar James Tanton? Voor de recordpoging kon worden ondernomen, moesten er eerst enkele hindernissen genomen worden. Een van de grootste hindernissen was ... de wind. Die liet het wc-papier niet zomaar liggen waar het moest liggen. Binnenshuis werken bleek de oplossing te zijn, en een goede omgeving was de Oneindige Gang (Infinite Corridor) van het MIT. Deze gang van 251 m lang verbindt een aantal gebouwen van het Massachusetts Institute of Technology met elkaar (en twee keer per jaar gaat de zon precies onder in het verlengde van de gang, zie foto's, een verschijnsel dat MITHenge wordt genoemd).

MIT

De leerlingen van St. Mark's startten met zo'n 4000 m wc-papier. Zij gingen voor 13 keer vouwen! Als we even veronderstellen dat de dikte van het papier 0,1 mm is, dan kom je na 13 keer dubbelvouwen aan een dikte van zo'n 82 cm.

poging

Maar je moet natuurlijk ook rekening houden met het feit dat dubbelvouwen in het Engels folding in half is. Dus wat overblijft moet ook nog een zekere lengte hebben. Als we geen rekening houden met de randeffecten, en de 4000 m 13 keer door 2 delen, dan blijft er nog zo'n 50 cm over. In dit filmpje zie je dat het toch iets minder is (in het filmpje zie je ook even een gastoptreden (?) van Martin Demaine, de Amerikaanse kunstenaar die o.a. bekend is om zijn papiervouwkunstwerken- de gelinkte werken waren recent nog in Rotselaar te bezichtigen - en wiens zoon Erik al even vernoemd werd in deze blog).

Het is niet zeker dat deze recordpoging erkend wordt, want zoals je ziet in het filmpje, er is bij de dertiende vouw heel wat moeite nodig om het papier gevouwen te houden. James Tanton heeft al laten weten dat hij volgend jaar opnieuw een poging doet, maar deze keer met zeker voldoende papier. Zo zie je maar dat wc-papier onverhoopte wiskundige toepassingen kent!

rolletje

origami




Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Wat u door 'n goede ezelsbrug te kennen immer met gemak onthoudt

13. Maart 2011, 22:05

Het is weer zover. Naar jaarlijkse traditie (de vorige versie vind je hier) presenteren we hier ter lering en vermaak en in afwachting van de speciale feestdag van volgend jaar opnieuw een hele resem $\pi$-weetjes.

pidag

Wist je ...
  • $\ldots$ dat het op maandag 14 maart $\pi$-dag is? Waarom? Omdat in de Amerikaanse schrijfwijze de datum 14 maart genoteerd wordt als 3/14 en 3,14 is een benadering voor het getal $\pi$.
  • $\ldots$ dat op 3 augustus 2010 een nieuw wereldrecord decimalen-van-$\pi$-berekenen is gevestigd door de Japanse ingenieur Shigeru Kondo?
    In totaal werden 5 000 000 000 000 decimalen berekend, op een zelfgemaakte computer met een harddisk van 32 TB. Kondo gaat nu voor het dubbele aantal decimalen. Yukiko, de vrouw van Kondo, is er niet echt blij mee, want hun elektriciteitsrekening schoot de hoogte in.

    pi

  • $\ldots$ dat Nicholas Sze, een onderzoeker bij Yahoo, in september 2010 ook een $\pi$-record gebroken heeft? Hij berekende het 2 000 000 000 000 000ste binaire cijfer na de komma, en het bleek een 0 te zijn. Voor de berekening werden meer dan duizend computers tegelijk ingeschakeld. Merk op dat als je zelf deze waarde zou hebben proberen te raden, dat je één kans op twee gelijk had.
    Ter info, de eerste binaire cijfers van $\pi$ zijn:

    11,
    00100100 00111111 01101010 10001000
    10000101 10100011 00001000 11010011
    00010011 00011001 10001010 00101110
    00000011 01110000 01110011 01000100
    10100100 00001001 00111000 00100010
    00101001 10011111 00110001 11010000
    00001000 00101110 11111010 10011000
    11101100 01001110 01101100 10001001

  • $\ldots$ dat het getal $\pi$ echt wel voorkomt in de natuur? Bewijs ervan zie je op de volgende foto, een variant van de spinnenorchis (Ophrys Sphegodes) die we misschien s$\pi$nnenorchis kunnen noemen?

    piorchis

  • $\ldots$ dat de wiskundige Pierre Simon de Laplace in 1811 de volgende prachtige formule bewees die de getallen $\pi$ en e combineert? $$\Large \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2+1}\, {\rm d} x = \frac{\pi}{{\rm e}} $$
  • $\ldots$ dat er ook in 2010 nog nieuwe formules gevonden zijn waarin het getal $\pi$ een prominente plaats inneemt? Bijvoorbeeld de volgende: $$\Large \pi^3 = \frac{216}{7} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{ 2n \choose n }}{16^n(2n+1)^3} $$
    (Pilehrood & Pilehrood).
  • $\ldots$ dat er sinds het begin van de vorige eeuw mensen zijn die zich bezighouden met het maken van zinnen waarin de lengtes van de opeenvolgende woorden de decimalen van $\pi$ zijn? Het bekendste voorbeeld is wellicht:

    How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

    Een probleem hierbij is natuurlijk: wat als er een 0 optreedt? De afspraak is dan: komt overeen met een woord van 10 letters. Ook als er enkele kleine cijfers verschillend van 0 elkaar opvolgen: daarmee kunnen we woorden van meer dan 10 letters laten overeenkomen, bijvoorbeeld 1211 kan dan 12 letters - 11 letters worden. Met deze afspraken (en nog enkele meer) kunnen we nu een boek schrijven dat de decimalen van $\pi$ verwoordt. Dat is precies wat Mike Keith gedaan heeft, in Not A Wake: A Dream Embodying $\pi$'s Digits Fully For 10000 Decimals.
    Het boek bestaat uit 10 secties, elke sectie komt overeen met 1000 decimalen.
    Zo begint het boek:

    Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees
    Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe.
    So scream with the old mischief, ask me another conundrum
    About bitterness of possible fortunes near a landscape Italian.


    Merk op dat ook de titel voldoet aan de voorwaarden...
  • $\ldots$ dat op het graf van de wiskundige Ferdinand von Lindemann het getal $\pi$ staat? 

    Lindemann

    Hier zie je het bewuste detail:

    HighSchoolMusical

    Omheen $\pi$ staan een cirkel en een vierkant die met elkaar verstrengeld zijn.
    Dit alles heeft te maken met het feit dat von Lindemann als eerste bewees dat het getal $\pi$ transcendent is, d.w.z. geen oplossing is van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten. Een onmiddellijk gevolg hiervan is dat de kwadratuur van de cirkel (met enkel passer en liniaal een vierkant construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel) onmogelijk is.
  • $\ldots$ dat er wetenschappers zijn die vinden dat $\pi$ verkeerd is? Ze bedoelen hiermee dat het een foute keuze was het getal $3,1415...$ voor te stellen met de afkorting $\pi$. Het was logischer geweest het dubbele, namelijk $6,2831$ met de letter $\pi$ aan te duiden. Het zou het lezen van de $\pi$-klok alvast een stuk gemakkelijker maken: links zie je de huidige situatie, rechts die bij de andere keuze.

    klokok kloktau

  • $\ldots$ dat we ondertussen ook weten waarom precies pi(e) gebruikt wordt als benaming voor deze constante?

    pie
  • $\ldots$ dat we tenslotte nu ook begrijpen waar de pi in 'piano' vandaan komt?

    piano

Nog een pi-weetje dat niet weerhouden werd: $$\Large \ln 2 = \frac{2}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{2}}}\cdot\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}\cdots $$ Dit is een pi-weetje omdat het bewijs ervan precies op dezelfde manier verloopt als het bewijs van de formule van Vieta voor het getal $\pi$!

Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


The Good, the Bad and the Mathematician

22. Februari 2011, 13:46

Op 30 mei 1832, in het nog breekbare licht van de vroege dag, werd een boer op weg naar de markt opgeschrikt door een schot. In een veld net buiten Parijs vond hij een zieltogende jongeman met een gapende wonde in de buik. Met zijn kar bracht hij hem naar het plaatselijke ziekenhuis van Cochin. Daar stierf de ongelukkige de volgende dag, in de armen van zijn broer, met de legendarische woorden:  `Ne pleure pas, Alfred ! J’ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans!’ 

duel_GaloisIn een recente boekbespreking op deze blog verwees Paul al kort naar het verhaal van Évariste Galois. Het pistolenduel dat deze jonge Franse wiskundige fataal werd, is zonder twijfel de grootste tragedie uit de geschiedenis van de wiskunde. Alle elementen zijn aanwezig voor een oscarfilm: de zelfmoord van de vader, het miskend genie, de politieke intriges, de onbeantwoorde liefde.

De reden van het duel is nooit helemaal uitgeklaard door de historici. Misschien verdedigde hij de eer van zijn geliefde, of werd hij als republikeinse activist uitgedaagd door een politieke tegenstander? Maar waarschijnlijk was het duel een daad van zelfvernietiging van een jonge getormenteerde ziel.

Zijn laatste brief heeft een cultstatus bij vele wiskundigen. Je kan hem zelfs als T-shirt dragen. Galois schreef hem aan zijn vriend Chevalier de nacht voor het duel, vechtend tegen de dageraad die een zekere dood voor hem aankondigde. Zijn noodkreet `Je n’ai pas le temps, je n’ai pas le temps’ is intussen een populair citaat bij een naderende deadline voor een beursaanvraag (of bij ouderwordende wiskundigen die eindelijk zichzelf moeten toegeven dat ze nooit de Fieldsmedaille zullen winnen). Bij deze brief voegde hij ook twee manuscripten. Zijn ideeën gingen duizelingwekkend diep, maar leken te ruw of te slordig voor zijn tijdsgenoten zoals Cauchy, Fourier, Jacobi of zelfs Gauss, zodat de draagkracht ervan miskend werd. Twintig jaar na het noodlottige duel heeft Liouville aan de hand van de manuscripten en de chaotische brief de resultaten van Galois gereconstrueerd, geplamuurd en daarna uitgegeven.

last_letterZijn belangrijkste theorie wordt nog altijd aan alle wiskundestudenten over heel de wereld opgediend als een varkenshaasje in mosterdsaus, onder de naam Galoistheorie. Hij bestudeerde het oplossen van veeltermvergelijkingen met behulp van algebraïsche bewerkingen en worteltrekking (zoals de befaamde discriminantmethode bij vierkantsvergelijkingen), en bracht de structuur van de oplossingprocedure in verband met groepen van permutaties op de nulpunten (“wortels”) van de veelterm in kwestie.  Als een neveneffect van deze methode ontwikkelde Galois de eerste groepentheorie (met inbegrip van de terminologie `groupe’) . In zijn blog “Neverendingbooks  geeft Lieven meer details over enkele groepstructuren die Galois in zijn laatste brief vermeldde.

Maar keren we even terug naar het fatale duel. Misschien had Galois beter de vorige nacht gebruikt om te slapen in plaats van brieven naar heel zijn kenniskring te schrijven, dan was hij beter uitgerust aan het duel verschenen. Maar zoals ik al eerder liet doorschemeren, misschien was overleven niet zijn prioriteit.

Volgens een theorietje van Niels Bohr heeft de jonge wiskundige allicht als eerste zijn pistool getrokken. Bohr noemde dit de revolverheldparadox.  De held in een western wacht inderdaad tot de slechte cowboy eerst naar zijn schietijzer grijpt, om daarna steevast als eerste te vuren. Bohr vermoedde dat de reactie op een impuls sneller is dan de spontane beweging. Het verhaal gaat zelfs dat de Nobelprijswinnaar dit uitgetest heeft met speelgoedpistooltjes en een collega. Een biotechnologisch onderzoek vorig jaar aan de universiteit van Birmingham bevestigde deze stelling.

Een truel spreekt nog meer tot de verbeelding, een gevecht met drie schutters. Wie trekt het eerst zijn pistool, en op wie zal hij zijn wapen richten? Een legendarisch truel is de adembenemende ontknoping in The Good, the Bad and the Ugly, en ook Reservoir Dogs kent een gelijkaardige filmscène.  In de wiskundige speltheorie is een truel een dankbare metafoor voor strategiebepaling en winstberekening in een situatie met drie spelers op de markt. Speltheorie kent belangstelling bij het grote publiek sinds de film A beautiful mind, maar kwam ook al eerder aan bod op deze blog.

In een wiskundig truel schieten de drie cowboys om de beurt en hebben ze elk een vooraf bepaalde schutterskwaliteit (uitgedrukt in trefkansen $p > q > r$). Men kan altijd dezelfde volgorde van schieten hanteren, of men kan opteren om deze volgorde (van de overlevenden) na iedere ronde opnieuw te bepalen (bijvoorbeeld at random).  Bovendien kan de optimale strategie afhangen van een al dan niet onbeperkte beschikbaarheid van kogels.

Het analyseren van een truel geeft soms verrassende resultaten. In zijn artikel A Civilized Three Way Duel  beschrijft William Chen een situatie met een onbeperkte kogelvoorraad en een willekeurige maar vaste schietorde.  Hij neemt aan dat de beste schutter altijd vol treft, de slechtste slechts in de helft van de gevallen en de derde in 80% van zijn pogingen. Dus

$$\Large p=1,\;\; q=0.8,\;\; r=0.5$$

Als we bovendien veronderstellen dat elke cowboy voldoende intelligent en levenslustig is om de beste overlevingsstrategie te volgen, dan toont een kansberekening aan dat de zwakste schutter de grootste overlevingskans heeft, namelijk $\large \frac{47}{90}$, tegenover $0.3$ voor de beste schutter. De derde cowboy heeft de kleinste kans om de zon nog te zien ondergaan ($\large \frac{8}{45}$).

Niet alleen het vorige besluit over de overlevingskansen lijkt contra-intuïtief als dit de eerste keer is dat je met deze speltheorie in aanraking komt, ook het bepalen van de beste strategie voor de zwakste cowboy verrast. Zolang zijn beide tegenstanders nog leven, zullen zij naar elkaar schieten, omdat hijzelf als zwakste de kleinste bedreiging vormt. Bovendien, omdat zijn trefkans de kleinste is van de drie, beschouwt hij elk van hen beter als bondgenoot in de strijd tegen de andere en schiet hij dus best in de lucht wanneer het zijn beurt is (tot natuurlijk het moment dat nog maar één tegenstander overblijft).

We kunnen dit bijvoorbeeld illustreren met bovenstaande trefkansen, waarbij de zwakste eerst geloot wordt, dan de sterkste, en uiteindelijk als laatste de schutter met trefkans $0.8$. De zwakste zou dom zijn als hij de middelmatige cowboy neerknalde, want daarna komt de revolverheld aan de beurt die altijd raak schiet. Deze strategie staat dus gelijk aan zelfmoord.

Als hij de sterkste schutter weet te elimineren, dan moet hij een duel uitvechten tegen een betere schutter, die bovendien eerst aan de beurt is. Hij kan dit overleven weliswaar, maar dan moet de tegenstander missen (kans $0.2$) en hij niet (kans $0.5$), of als hij toch ook mist (kans $0.5$) moet de tegenstander daarna opnieuw missen (kans $0.2$) en hij niet (kans $0.5$), enzovoorts. In dit geval vinden we de overlevingskans van de zwakste cowboy als de som van een meetkundige reeks (onbeperkte kogelvoorraad!):

$$\Large p = 0.2\cdot 0.5 + 0.2^2\cdot 0.5^2 + \ldots = \frac{0.2\cdot 0.5}{1 – 0.2\cdot 0.5} = \frac{1}{9}$$

Stel nu dat onze underdog tijdens zijn eerste beurt niemand doodt (tot grote ontzetting van de middelmatige schutter), dan mag de beste cowboy schieten en doodt deze dus zeker de derde man. De zwakste schutter heeft dan juist één kans om te overleven: de revolverheld voor de raap schieten tijdens zijn volgende (en laatste) beurt. Zijn overlevingskans is nu $0.5$ en dus groter dan bij de vorige strategie. In de lucht schieten is dus de boodschap voor hem.

Misschien heeft Galois in 1832 ook in de lucht geschoten tijdens het legendarische duel, maar met slechts één tegenstander is dit nooit een goede strategie, al stelt een depressie andere doelstellingen voorop.



Geschreven in Mensen en wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


De fractale schoonheid van sneeuwvlokken en ijskristallen

04. December 2010, 14:57

Sneeuw en vorst komen vooral negatief in het nieuws, als spelbrekers voor sportevenementen of als boosdoeners van de verkeersellende. Maar deze week werd ik tijdens het krabben van een aangevroren autoruit getroffen door de schoonheid van een ijskristal.

De rest van de dag zat mijn hoofd vol met fractalen. Tijdens de lunch wierp ik de naam “Mandelbrot” als een muntstuk tussen mijn collega’s, hoofdzakelijk ingenieurs, een verdwaalde chemicus of fysicus daargelaten. Twee van hen wisten dat Mandelbrot onlangs gestorven was, maar bijna iedereen had notie van fractalen. Een enkeling gebruikte ze als screensaver. Een andere collega verbaasde me door te weten dat fractalen werden toegepast bij datacompressie.

Ik weet wel dat fractalen o zo eighties zijn en dat ze destijds redelijk over-hypet werden (de kip met de gouden eieren, aangesproken door fondsaanvragen in zowat iedere wiskundetak), met een weerbots in deze eeuw als gevolg. Ernstige wiskundigen worden verondersteld zich niet meer met die mooie prentjes bezig te houden. 

Het is al lang geen heiligschennis meer om Benoît Mandelbrot te bekritiseren, de vader van de fractalen, omdat hij zijn concepten niet in de diepte uitwerkte maar eerder energie stak in populariseren en het zoeken van interdisciplinaire toepassingen. Geen sant in eigen land dus, maar buiten de grenzen van het strenge vakgebied erg geliefd en heel bekend, deze Poolse wiskundige die later de Franse en Amerikaanse nationaliteit verwierf, en op vijventachtigjarige leeftijd op 14 oktober van dit jaar door kanker geveld werd.

Maar wij kunnen er nog altijd niet genoeg van krijgen, hoe een eenvoudige vergelijking schijnbaar onbeperkte complexiteit kan veroorzaken. Daarom tonen we hieronder nogmaals de Mandelbrotverzameling, ook al krijgt de veelvuldigheid van haar verschijning op het internet stilaan een Lady Gaga-omvang:

 

Als we ieder punt (x,y) in het vlak voorstellen door een complex getal c=x+yi, dan worden de zwarte punten van bovenstaande figuur bepaald door keuzes voor c die de iteraties van de simpele formule f(z) = z^2 + c, startend met z=0, begrensd houden.

Klik op de figuur om in te zoomen op de rand en stel vast dat dezelfde vorm blijft terugkomen op steeds kleinere schaal. Deze zelf-gelijkvormigheid is een karakteristiek voor fractalen en werd door Mandelbrot en later door anderen in uiteenlopende disciplines gespot, zoals economie, informatietheorie, thermodynamica, enz…

Benoît Mandelbrot heeft dan wel de naam “fractal” bedacht in 1975 en vooral populair gemaakt door de mooie plaatjes in zijn boek “The fractal geometry of nature” (1982), maar eigenlijk bouwde hij op het werk van Gaston Julia en Pierre Fatou over dynamische systemen uit het begin van de twintigste eeuw. Als Julia in zijn tijd een computer gehad had en een monitor met aanvaardbare resolutie dan had hij ook waarschijnlijk uitgepakt met prachtige beelden van zijn Juliaverzamelingen, zoals:

 

Toen Helge von Koch in 1904 een meetkundige versie ontwierp van de functie van Weierstrass die overal continu is maar nergens differentieerbaar (1872), kreeg hij als resultaat iets wat we nu de “Koch-sneeuwvlok” noemen, een fractale kromme avant la lettre. Observeer hieronder hoe oneindige complexiteit verkregen wordt door herhaling van een eenvoudig recept, steeds op kleinere schaal:

 

Klik opnieuw op de figuur om oneindig in te zoomen. Ook al begrenst deze sneeuwvlok een eindig vlakgebied, ze heeft toch een oneindige omtrek. De fractale dimensie van de sneeuwvlok van Koch is ongeveer 1,26. Ze is dus dikker dan een gewone lijn of kromme (dimensie1), maar toch niet volledig vlakvullend (dimensie 2). Als we meten in dimensie 1, dan zal bijvoorbeeld het halveren van de eenheid uiteraard een dubbel maatgetal tot gevolg hebben. Of anders gezegd, als we ons latje halveren, dan hebben we dubbel zoveel latjes nodig om af te passen. Bij een fractale kromme van dimensie 1,26 heeft het begrip lengte of omtrek geen zin, want nu wordt het aantal halve latjes vermenigvuldigd met 2^(1,26). De lengte hangt dus drastisch of van de meetresolutie, en is dus oneindig.

In de jaren 60 stelde Mandelbrot dat ook de kust van Engeland in principe oneindig lang was. Links zien we een stuk kust dat met vijftien halve latjes gemeten wordt, terwijl er maar zes van de oorspronkelijke latjes nodig zijn. In een historische publicatie in Science  "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension" (1967), suggereert Mandelbrot dat de fractale dimensie van de Britse kust ongeveer 1,2 is.

De hype mag dan wel over zijn, fractalen blijven een handige visualisering van de structuur in chaotische processen en verschaffen ons een eenvoudige bril om naar de complexe vormen om ons heen te kijken:

 

Ondertussen worden de fractalen door de volgende generatie (onze kinderen) herontdekt, met nieuwe fans tot gevolg. De huidige game-programmeurs maken gretig gebruik van "Mandelbrot-graphics" om complexe taferelen te toveren met simpele formules. Laat u maar eens overdonderen door het Mandelbulb-project, waar nieuwe apostelen de fractalen in 3D laten floreren. Opdracht volbracht, mijnheer Mandelbrot!



Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


't Heeft iets magisch

16. Oktober 2010, 18:48

Zouden we in plaats van de lege momenten op te vullen met het invullen van de cijfers van 1 tot 9 in een vierkant van 9 op 9 opgebouwd uit 9 kleinere vierkanten van 3 op 3 de zaak niet wat moeilijker kunnen maken door ons toe te leggen op het zoeken naar wat bekend staat als de voorloper van de Sudoku, namelijk de magische vierkanten? Ook hierop zijn interessante puzzels gebaseerd, die iets meer wiskunde vergen. Hier zie je er eentje:

magic puzzle


Het probleem hier is het volgende. Vul in de lege vakken getallen in, en wel zodanig dat de som van alle getallen in een rij of kolom steeds gelijk is aan 90. Bovendien moet ook de som van de getallen op elk van de diagonalen (van linksboven naar rechtsonder en van rechtsboven naar linksonder) gelijk zijn aan 90.
Probeer het eens. De juiste oplossing vind je door op de figuur te klikken.
Voor meer puzzels: klik hier.
Wat er in dit geval gevraagd wordt is precies de definitie van magisch vierkant: de getallen op rijen, kolommen en diagonalen hebben dezelfde som, de magische som genoemd, in het voorbeeld is het 90.


Het oudste bekende magische vierkant staat bekend als de LoShu, en er hoort ook een legende met een schildpad bij, die dateert uit 2800 v. C. in China. Hier zie je het vierkant in kwestie, en in dit geval is de magische som gelijk aan 15.

Lo shu

Dit is een voorbeeld van een zuiver magisch vierkant, omdat het opgebouwd is met opeenvolgende getallen beginnend bij 1.
Magische vierkanten worden al eeuwenlang bestudeerd, en je komt ze ook soms tegen in de schilderkunst, en de bouwkunst. De bekendste voorbeelden zijn de ets Melencolia van Albrecht Dürer, waarvan je hier een detail ziet:

Melencolia

Dürer slaagt erin het jaartal waarin hij de ets maakte, namelijk 1514, te verwerken in het magische vierkant. De magische som is hier 34.
Ook bekend is het magisch vierkant op de Sagrada Familia in Barcelona:

Sagrada Familia


een aangepaste versie van het vierkant van
Dürer zoals je kan zien. De magische som is nu 33 (en dat is precies de leeftijd die Christus had toen hij stierf aan het kruis; rechts zie je een uitbeelding van de Judaskus - het is tenslotte een kathedraal).


Het maken van magische vierkanten en varianten ervan met bijkomende eigenschappen is een kunst. In de volgende figuur zie je er vier-in-een:

vier-in-een


Niet alleen het volledige vierkant is magisch, maar ook het deelvierkant met de lichtblauwe rand, ook het geel met rode vierkant, en als je de figuur over 45 graden draait, dan ook het rode vierkant.
Kijk nog even terug naar de oplossing van de puzzel boven, en je zal merken dat naast de opgelegde eisen voor de sommen er nog heel wat andere groepen van vier getallen als som de magische som 90 hebben: gebroken diagonalen, 2 bij 2 deelvierkanten, de hoekpunten van 3 bij 3 vierkanten,...  Zo'n magisch vierkant wordt ook wel een duivels vierkant genoemd.
Er zijn dus allerlei varianten, een bespreking van een aantal ervan vind je bijvoorbeeld in dit document.


De grote specialist op gebied van magische vierkanten was zonder twijfel Benjamin Franklin. Franklin had blijkbaar een methode om snel magische vierkanten te maken. In een van zijn brieven lees je dat hij op een dag aan een kennis beloofde dat hij 's avonds wel eens een magisch vierkant in elkaar zou steken. De volgende dag stuurde hij hem het volgende op:

Benjamin Franklin

(klik voor een vergroting). Dit 16 bij 16 vierkant heeft naast de gewone eigenschappen (som van rijen, kolommen, diagonalen is 2056) ook nog opmerkelijk veel andere kenmerken. De gelijkgekleurde vakjes in de figuur hebben bijvoorbeeld ook als som 2056. Franklin noemt het in zijn brieven the most magically magical of any magic square ever made by any magician.
Wat de methode is die Franklin gebruikt heeft bij de constructie van zijn magische vierkanten, dat blijft tot op heden een raadsel.

postzegel uit 2006

Ook mijn lievelingswiskundige Leonhard Euler heeft een belangrijke rol gespeeld in de ontwikkeling van de magische vierkanten. Hij liet zien hoe je zuivere magische vierkanten kan maken met behulp van Latijnse vierkanten. Een Latijns vierkant van n bij n is een vierkant dat opgevuld is met n verschillende symbolen zodat in elke rij en kolom elk symbool precies eenmaal voorkomt. Een voorbeeld zie je hier: in dit 4 bij 4 Latijns vierkant vind je in elke rij en kolom boer (=1), dame (=2), heer (=3), aas (=4).

Latin

Merk op dat ook de vier kleuren ruiten (=1), harten (=2), schoppen (=3), klaveren (=4) in elke rij en elke kolom precies eenmaal voorkomen. Dit zijn dus in feite twee Latijnse vierkanten die over elkaar gelegd werden. Als we de zaak even symbolisch voorstellen m.b.v. getallen van twee cijfers, het eerste cijfer geeft de waarde van de kaart, het tweede cijfer de kleur (cijfers van 1 tot 4, zoals hierboven tussen de haakjes), dan krijg je dit beeld:

Grieks-Latijns

Het feit dat elke opeenvolging van twee cijfers uit 1, 2, 3, en 4 precies een keer voorkomt, maakt van dit vierkant een Grieks-Latijns vierkant (van orde 4), of Euler vierkant. Het leuke is dat het nu ook een magisch vierkant geworden is, met magische som 110, zoals je kan zien op de figuur.
In dit kader is het interessant het vermoeden van Euler te vermelden: Euler slaagde er niet in Grieks-Latijnse vierkanten van orde 6, 10, 14, 18,... te vinden, en hij formuleerde dan ook het vermoeden dat die niet bestaan.
In 1901 bewees G. Tarry dat een Grieks-Latijns vierkant van orde 6 inderdaad niet bestaat. Maar in 1959 vonden Parker, Bose and Shrikhande toch tegenvoorbeelden van het vermoeden van Euler, o.a. een Grieks-Latijns vierkant van orde 10, waarvan je hier een voorstelling ziet:

orde 10

Voor een keer had Euler het bij het verkeerde eind!

Merk op dat de stap van Latijns vierkant naar Sudoku niet groot is.
  


Pasles
Paul C. Pasles, Benjamin Franklin's Numbers. An Unsung Mathematical Odyssey.
Princeton University Press (2008) 254 pagina's.

Wil je vooral meer weten over Benjamin Franklin, en over zijn magische vierkanten, dan is dit het ideale boek. Het gaat echter niet enkel over deze passie van Franklin, waarvan hij zelf zei dat er nooit een nuttige toepassing van gevonden kon worden (een uitspraak die overigens absoluut niet juist blijkt te zijn). 

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο  (wel veel getallen!)
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο




Block en Tavares
Seymour S. Block, Santiago A. Tavares, Before Sudoku. The World of Magic Squares.
Oxford University Press (2009) 239 pagina's.

In dit boek vind je naast een beknopte geschiedenis een heleboel informatie over magische vierkanten in twee, drie en zelfs vier dimensies. Elke bladzijde verbaast je met nieuwe vormen van magische vierkanten die allerlei nieuwe kenmerken hebben, om maar enkele voorbeelden te geven: je leest er bijvoorbeeld over palindromische magische vierkanten die opgebouwd zijn uit palindromen, of magische vierkanten met enkel priemgetallen.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Ο Ο Ο




van den essen
Arno van den Essen, Magische vierkanten. De wonderbaarlijke geschiedenis van wiskundige puzzels. Van Lo-Shu tot sudoku.
Veen Magazines (2006) 238 pagina's.

Het enige Nederlandstalige boek van de drie is zeker een aanrader. Je vindt hier een bespreking van de hand van Ionica Smeets, een van de wiskundemeisjes (toch spijtig dat ze gestopt zijn met hun blog!). Het 8 bij 8 vierkant in het artikel van Ionica staat ook op de postzegel die je iets hoger vindt. Als je er op klikt, dan krijg je meer detail.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο





Geschreven in Algemeen | 3 Reacties | Vaste link | Afdrukken


De onredelijke zin van nutteloze leerstof

12. September 2010, 12:20

Misschien herinnert u zich nog dat de kranten en nieuwssites op 17 maart van dit jaar nog een plekje vrij hadden om te berichten over de `dramatische wiskundekennis’ van leerlingen na hun eerste graad. Dit bleek uit een peiling van de KULeuven en de Vlaamse overheid bij meer dan 3000 kinderen. Her en der doken discussies en vragen op: Is het dan echt zo erg gesteld? Is het erger dan vroeger? Zo ja, hoe komt dit eigenlijk? En vooral, moeten we hiervan wakker liggen?


Na deze vaststelling werd het maatschappelijk debat heropend over de zin van wiskunde, zoals een slapende vulkaan die om de zoveel tijd tot uitbarsting komt. Is het belang van dit vak in ons onderwijs niet buiten proportie? Evenveel meningen als er mensen zijn. Maar op onze blog bleef het radiostil. Natuurlijk hadden ook wij ons gedacht hierover, hoe kan het ook anders als je opereert onder de vlag “wiskunde is sexy”, maar we verkozen om dit periodieke bekgevecht geamuseerd van op de kant te volgen. Deze houding was zeker niet comfortabel, aangezien de discussie oeverloos was. Om nog te zwijgen over de emotionele oproep van een van onze lezers om onze nek uit te steken. Maar we beperkten ons tot voorhoofdgefrons, vooral toen de argumenten anekdotisch werden en wiskundekennis gelijkgeschakeld werd met het uitrekenen van (a+b)^2. Alweer moesten we getuigenissen van BV’s slikken die hun merkwaardige producten niet meer kenden en daar blij om waren. De artistieke kennis van de bezoekers van een museum werd getest aan de hand van de vochtregelaar.

Dan verscheen onlangs op de eerste schooldag een vreemd artikel in De Standaard waarin de Vlaamse Scholierenkoepel (VSK) een oproep deed voor `zinvolle leerstof’ en minister Pascal Smet voorstelde om deze aan te brengen met behulp van videogames. In een reflex bukten we ons hoofd omdat we een storm van reacties verwachtten, boegeroep en zelfs projectielen van rot fruit. Maar dat viel allemaal best mee (of tegen), enkele wakkere opiniemakers daargelaten.  Inderdaad, de tegenargumenten zijn soms zo voor de hand liggend dat niemand zich de moeite getroostte om ze te formuleren. Daarom, omdat kritiek geven gemakkelijk is, zeker in dit geval, volgen hier enkele bedenkingen. Weliswaar twee weken na datum, maar kort op de bal spelen is er op onze leeftijd niet meer bij, evenmin als vingervlug videogamen.


De VSK, die 660 leerlingenraden vertegenwoordigt, heeft een enquête gedaan bij 4000 scholieren. Alweer een peiling! Waar vonden ze zoveel jongeren die bereid waren om een formulier in te vullen, vragen we ons af. In ieder geval bleek hieruit dat de jeugd de lessen op school maar saai vindt en de voorzitter van de VSK pleit voor leerstof waarmee jongeren `later iets kunnen doen’. Als voorbeeld gaf hij het invullen van de belastingbrief, wat in de praktijk meer nodig is dan kennis over het ontstaan van een aardbeving. Je moet dit drie keer lezen om het te geloven. Gaan zo de lessen minder saai worden? Belastingbrieven invullen, Jezus, het zal wel kwestie van smaak zijn, maar dan leer ik liever de verklaring voor aardbevingen of vulkanen, ook al is de kans klein dat ik deze wetenschap ooit zal nodig hebben om te overleven. Hoewel, het zou wel eerder vervelend zijn als de toekomstige generatie weer denkt vulkanen te kunnen sussen met mensenoffers.

Misschien is het inderdaad een deeltaak van het onderwijs om jongeren op de praktijk van het leven voor te bereiden (naast het leren begrijpen en kritisch bekijken van de maatschappij, en het aanreiken van culturele en wetenschappelijke verworvenheden). Maar het is onmogelijk om te voorspellen welke praktijk de leerling van vandaag over enkele jaren moet trotseren. Welke tekstverwerker zullen ze later moeten verteren? Welk type gsm? Welk muziekmedium? Hoe gaan de belastingbrieven van morgen er uitzien, gaan we ze sowieso nog moeten invullen? Het lijkt daarom vanzelfsprekend om een algemene vorming te geven, die tot flexibele mensen leidt die hun plan kunnen trekken in een steeds veranderende omgeving. Kurt Lewin zei het al: "Niets is zo praktisch als een goede theorie".


We waren (aangenaam) verrast dat in bovenvermeld krantenartikel "wiskunde" niet voor de bijl ging als totaal zinloos voor het latere leven, toch wel het meest contextvrije vak bij uitstek. Wiskunde wordt dikwijls verward met droog rekenen, wat een onverwacht argument verschaft voor haar praktische toepasbaarheid. Deze week nog op de radio gehoord naar aanleiding van een enquête bij 1500 Vlamingen waaruit bleek dat de ziekenhuisfacturen vaak onoverzichtelijk zijn: `Je moet een wiskundige zijn om hier nog aan uit te kunnen.’ We weten nu niet goed of we ons opgelucht moeten voelen dat wiskunde als nuttig erkend wordt of bedroefd omdat het vak herleid wordt tot een soort boekhouden.

Waarschijnlijk is wiskunde uitgevonden door enkele lamzakken die het beu waren om voor ieder nieuw probleem een oplossing te zoeken en dus op zoek gingen naar gemeenschappelijke patronen. Eigenlijk was het onvermijdelijk dat het menselijk brein evolueerde tot een abstracte denkmachine om te overleven in de verscheidenheid en veelvuldigheid van de praktijk. Je kan wiskunde dus niet enkel opvatten als de studie van patronen maar ook van het menselijk denken zelf. Zelfs de VSK en Pascal Smet zullen moeten toegeven dat onze scholieren dit in het latere leven nodig hebben. Volgens een interpretatie van de kwantummechanica ontstaat de werkelijkheid maar pas als we ze “waarnemen” (merk op hoe de taal bij dit woord de theorie voorafging!). Omdat iedere perceptie ons brein moet passeren, en omdat dit laatste in wezen een wiskundig apparaat is, hebben wiskundige objecten zelf een hoog werkelijkheidsgehalte. Driehoeken, cirkels, complexe getallen, oneigenlijke integralen, Hilbertruimtes enzovoorts, ze bestaan dus allemaal echt. Dit verklaart meteen waarom wiskunde zo onredelijk effectief is om fysica,  biologie, economie,… te beschrijven. De Zweeds-Amerikaanse kosmoloog en filosoof Max Tegmark gaat zelfs nog een stap verder en beweert dat wiskunde niet zomaar het denkmodel is waarin we de wereld aantreffen, maar dat het fysische universum op zich een wiskundige structuur is (naar het schijnt dacht hij dit al voor hij The Matrix gezien had). De stap naar het model van Pascal Smet waarin de wereld eigenlijk een groot videogame is, lijkt niet zo groot. 


Uiteraard is het aan te raden om concrete voorbeelden en toepassingen te gebruiken in de wiskundeles ten behoeve van de begripsvorming en de motivatie van de leerlingen. Maar om de leerstof terug te verbrokkelen tot een stapel aparte feitjes en anekdotes is ronduit tegennatuurlijk.

We zijn in ons secundair onderwijs volgegoten met zogenaamde zinloze leerstof zoals de Alpentocht van Hannibal, verzen van Horatius of de methode van Thales om de hoogte van de Egyptische piramides te berekenen door hun schaduw op te meten. Maar al deze fragmenten zijn onderdeel geworden van de caleidoscopische mens die we nu zijn. Het is onbegonnen werk om bij iedere daad, woord of inzicht de vinger te leggen op de alinea in onze vroegere leerboeken die ons tot daar gebracht heeft. Of hoe nutteloze leerstof toch onredelijk zinvol kan zijn.


Als we ons dan toch laten meeslepen door onze tijdsgeest waarin onderwijs eerder competenties aanleert dan kennis, dan pleiten we voor het stimuleren van de weetgierigheid, een gereedschap dat de scholier zeker van pas zal komen in het latere leven, en wat het probleem van alles saai te vinden meteen grotendeels oplost.


 

 



Geschreven in Actuele wiskunde | 4 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Puzzels en wiskunde

05. Augustus 2010, 11:56

Martin Gardner mag gerust een blogger van het eerste uur genoemd worden. Welk onderwerp we in deze blog ook willen toelichten, Gardner heeft er wel iets over geschreven. Vandaag gaat het hier over dissectie-puzzels. Hier zie je een klassiek voorbeeld van Henry Dudeney, uit zijn boek Amusements in Mathematics:
dudeney-dissectie   

Als je problemen hebt met de oplossing ervan, klik dan even op de figuur.
Van dit soort puzzels zijn er veel te vinden, bijvoorbeeld in Gardner's boeken die zijn columns in de Scientific American bundelen. In Penrose tiles to trapdoor ciphers vind je de volgende opgave. Verdeel deze figuur in twee gelijke delen.

2 gelijke delen?

Soms zijn de opgaven doortrapt, zoals hier: op de volgende figuur zie je de verdeling van de gegeven vorm in twee gelijke delen. Kan je diezelfde vorm ook opdelen in drie gelijke stukken?

dissectie

Er zijn natuurlijk allerlei varianten van dit soort puzzels. Een iets moeilijkere soort is die waar gevraagd wordt een gegeven vorm op te splitsen in stukken waarmee je dan een andere gegeven vorm moet maken. Het bekendste voorbeeld is ongetwijfeld de Haberdasher's puzzle, opnieuw van de hand van Henry Dudeney: verdeel een gelijkzijdige driehoek in vier delen (die deze keer niet allemaal dezelfde vorm moeten hebben) zodat je met de vier stukken een vierkant kan vormen. Hier zie je een animatie:


haberdasher

Het gaat hier bovendien om een Hinged Dissection: door op de juiste plaats scharnieren aan te brengen, kan je zoals je ziet de omvorming mechanisch laten gebeuren. Lees in dit kader zeker de volgende leuke column in de Guardian (waarin verschillende personen/onderwerpen van deze blog samenkomen). Je leest daar o.a. hoe Erik Demaine dit probleem van Dudeney veralgemeend heeft.
Er wordt nogal wat wiskundig onderzoek gedaan naar puzzels, en bij dit soort dissectiepuzzel kan je je de vraag stellen: hoeveel verschillende oplossingen zijn er en hoe bewijs je dat? Het antwoord is niet altijd eenvoudig. Je kan best starten met een niet te moeilijke vraag, bijvoorbeeld de volgende.

Gegeven een vlakke figuur. Kan je deze opdelen in een eindig aantal gelijke (congruente) delen
die dezelfde vorm hebben (maar dan kleiner) als de oorspronkelijke figuur?
 
De eerste opgave was er zo een (als we tenminste spiegelingen toestaan). Hier zie je er nog een, met de oplossing:

dissectie

En dit is er een die je eerst zelf kan proberen (voor je doorklikt). Vier delen.

dissectie

We kunnen al dadelijk een eigenschap afleiden uit deze figuren. We hebben hier een oplossing in 4 stukken, en dat impliceert dat er ook een oplossing is met 16 stukken, en met 64 stukken,... Meer algemeen hebben we een eerste stelling:

is er een oplossing bestaande uit n delen, dan is er ook een met n2 stukken.

Dat er niet voor elke beginvorm een oplossing is, dat zal duidelijk worden als je als beginfiguur een cirkel neemt. Voor welke figuren gaat het dan wel? Ook die vraag is te moeilijk om zomaar te beantwoorden. We beperken nog:

welke beginfiguren kunnen opgesplitst worden in 2 gelijke delen die beide dezelfde vorm hebben als het origineel?

Blijkbaar is dit een goede vraag, want in 1999 werd dit probleem opgelost door S. Ngai, V. Sirvent, P. Veerman, en Y. Wang, in hun artikel On 2-reptiles in the plane. Het antwoord is verbazend: er zijn precies zes beginfiguren.

De meest eenvoudige is een rechthoek waarvan de lengte gelijk is aan wortel 2 keer de breedte. Dit is ook een bekend geval: een blad A4-papier is de helft van een blad papier van het formaat A3. De papierformaten A0, A1, A2, enz. zijn precies zo gedefinieerd.

De tweede mogelijkheid zie je op de volgende figuur. Het gaat om een rechthoekige gelijkbenige driehoek.

driehoek

En dan wordt het interessant. Er zijn dus nu nog 4 andere beginvormen.Waar de eerste twee echt wel eerder gewoon waren, zijn de andere vier wel erg speciaal: elk van de vier heeft een fractale rand. Ze dragen ook sprookjesachtige namen. Hier zie je ze:

Heighway dragon:
heighway

Twindragon:
twin dragon

Tame Twindragon:

tame twin dragon

Levy dragon:
Levy dragon

Het bewijs vind je in bovenvermeld artikel, maar het is absoluut niet eenvoudig. Zoals dat ten andere wel vaker gebeurt: eenvoudige problemen hebben niet altijd eenvoudige oplossingen.
Meer over dergelijke lichtere wiskundedingen kan je lezen in het erg mooie boek van Jean-Paul Delahaye.



Delahaye
Jean-Paul Delahaye, Mathématiques pour le plaisir: Un inventaire de curiosités,
Belin - Pour La Science (2010).

Dit boek is een bundeling van columns geschreven voor het tijdschrift Pour La Science. Er zijn vijf delen, met als titels Kunst (met o.a. een hoofdstuk over ambigrammen, en over de kunstenaar Jos Leys), Meetkunde (o.a. over schoenveters en hoe je die toch nog kan gebruiken als er een stuk afbreekt, en over dissecties), Spellen (o.a. over hoe je een Sudoku kan oplossen, en over flexagons), Getallen, en tot slot, Hersenbrekers. Een erg leuk en mooi geïllustreerd boek.

Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο 
Score: Θ Θ Θ Θ Ο





Geschreven in Algemeen | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Martin Gardner, de vader van de recreatieve wiskunde, is niet meer

28. Mei 2010, 11:57

Martin Gardner, de wiskundige puzzelaar bij uitstek, is deze week op 95-jarige leeftijd overleden.

martin     ambigram

Vorig jaar verschenen er nog twee nieuwe boeken van hem, wat het totaal op zo'n 70 brengt. Voor wie Gardner niet kent, hij is bekend geworden door zijn column Mathematical Games in de Scientific American. Die column (1956-1981) werd gretig gelezen, en heeft de recreatieve wiskunde tot een wetenschap gemaakt. Gardner haalde zelfs wiskundige aprilgrappen uit met zijn lezers: op 1 april 1975 publiceerde hij een landkaart die niet met vier kleuren te kleuren viel. Dit zou dan in tegenspraak zijn met een vermoeden van Francis Guthrie uit 1852 dat je elke landkaart (die aan bepaalde voorwaarden voldoet) kan inkleuren met vier kleuren op zo'n manier dat aangrenzende landen een verschillende kleur krijgen. Dit resultaat staat nu bekend als de Vierkleurenstelling - op twijfelachtige wijze bewezen in 1976).  Hier zie je de kaart:

5 kleuren?

(Als je er op klikt, dan zie je de kleuring door Stan Wagon...).
Nu zijn die columns van Gardner in de Scientific American al lang geleden in boekvorm uitgebracht. En om even te laten zien hoe actueel (en hoe leuk) ze nu nog zijn en ook om hulde te brengen aan Martin Gardner, wil ik het in deze column even hebben over de eerste bundeling, The First Scientific American Book of Puzzles and Games uit 1959, ondertussen al verschillende keren heruitgegeven (met soms ook een andere titel):

boek 1

Het is leuk de verschillende kaften te bekijken, want ze vertellen je al heel wat over de inhoud van het boek. Er staat bijvoorbeeld een hoofdstuk in over hexaflexagons:


hexaflexagons

Meer over hexaflexagons lees je hier, en zie je hier. En hier vind je er een om zelf te maken, gebaseerd op de afbeeldingen in deze blog.
Hexaflexagons zijn verwant met kaleidocycles, en zo komen we uit bij Escher. Gardner heeft namelijk ook een rol gespeeld in de Escherrage van een aantal jaren geleden. Gardner bezat zelf een originele Escher, een van mijn persoonlijke favorieten:

escher

Wat vind je nog in dit boek? Iets over de band van Möbius, en over het probleem van de torens van Hanoi. Een hoofdstuk over de polyominoes van Solomon W. Golomb die aan de basis liggen van een aantal spelletjes die nu in de speelgoedwinkels te krijgen zijn. Er is ook een hoofdstuk met als titel Sam Loyd, America's Greatest Puzzlist. Telkens gaat het om korte bijdragen, maar ze doen je zin krijgen in meer.

Je leest er bijvoorbeeld ook het volgende raadsel (dat nu niet meer zo politiek correct is): kan je zes sigaretten zo leggen dat elke sigaret alle anderen raakt?  Natuurlijk kan dit, en op de kaft rechtsboven zie je een oplossing met 7 sigaretten, waarover Gardner vertelt dat ze aangebracht werd door 15 lezers van zijn oorspronkelijke column.

Ik wil het tot slot hebben over nog een ander onderwerp: wiskundige goocheltrucs met speelkaarten. Daarover gaat hoofdstuk 10. En hier vind je een versie van een van de oudste en tegelijkertijd leukste hersenbrekers, namelijk het bekende wijn/water mixing probleem:

Je hebt twee gelijke glazen,
een ervan is gevuld met wijn, het andere met water.

Beide glazen zijn precies even vol.
Je brengt een lepel wijn uit het ene glas over naar het andere.
Je mengt, en dan breng je een lepel van het mengsel over naar het glas met wijn.
Zit er nu meer water in het glas met wijn dan wijn in het glas met water, of net omgekeerd?

Dit probleem heeft alle kwaliteiten van een goed raadsel: niet te eenvoudig, en het leidt steeds tot overloze discussies omdat de oplossing tegenintuïtief is. Gardner brengt het aan via een kaarttruc, die werkelijk verbluffend overkomt. Wil je er meer van weten, lees dan het boek.

Na dit eerste boek met columns zullen er nog 14 andere volgen. En dit is slechts een klein deel van het omvangrijke oeuvre van Martin Gardner. In mijn boekenkast nemen zijn boeken alvast een prominente plaats in:
 
 
 


eerste boek
Martin Gardner, Hexaflexagons, Probability Paradoxes, and the Tower of Hanoi,
Cambridge University Press (2008).

Het eerste deel in een vijftiendelige heruitgave van de columns van Martin Gardner in de Scientific American. Nog steeds erg actueel, prettig om te lezen door de grote afwisseling. De oorspronkelijke editie werd grondig aangepakt, de hoofdstukken zijn langer geworden, geactualiseerd, en je vindt er nu telkens ook een uitgebreide bibliografie. Een aanrader.

Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο 
Score: Θ Θ Θ Θ Ο






Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Stapelgekke wiskunde

04. Mei 2010, 13:52

Meestal begint het met artisjokken en eindigt het met wc-papier, maar het kan ook omgekeerd. Dit verhaal begint in een supermarkt van Delhaize waar we gisteren deze rol toiletpapier vonden:

toiletpapier met formulesVoortaan kunnen we ons dus schoonvegen met vergelijkingen van Maxwell en formules van andere helden. De psychologische gevolgen voor de mensheid in het algemeen, en voor jonge wetenschappers en fysicastudenten in het bijzonder, zijn voorlopig niet te overzien.

 

Nu, als toiletpapier arrogant uit de hoek komt, voelen we ons uitgedaagd en gaan we in de tegenaanval. Het viel ons namelijk op dat de manier waarop papierrollen doorgaans verpakt worden, meer winkelruimte verspilt dan nodig. Van bovenuit gezien lijkt een pak wc-rollen op identieke cirkels die het vlak opvullen:

Cirkels volgens vierkantpatroonGewoonlijk opteert de fabrikant helaas voor het "vierkantpatroon".
De verpakkingsdichtheid, gedefinieerd als de fractie van het vlak dat door de cirkels ingenomen wordt, kan eenvoudig berekend worden als de oppervlakte van de cirkel gedeeld door de oppervlakte van een omgeschreven vierkant.

In dit geval vinden we dus:

                             pi/4 ≈ 0,785

Meer dan 21% ruimte blijft dus onbenut.

Nochtans kondigde Axel Thue al in 1890 zijn theorema aan: de meest optimale manier om met cirkels het vlak op te vullen gebeurt volgens een "zeshoekpatroon":

cirkels met zeshoekpatroon Nu zijn de cirkels ingeschreven in regelmatige zeshoeken die het vlak betegelen. De verpakkingsdichtheid is dan de fractie van de oppervlakte die binnen de zeshoek bedekt wordt door een cirkel:

                   pi/√(12) ≈ 0,907


We hoeven dus niet meer dan 10% ruimte verspillen!

Merk op dat de middelpunten van de gestapelde cirkels (wc-rollen) op een regelmatig rooster liggen, zowel bij het vierkantpatroon als bij het zeshoekpatroon. Inderdaad, als we de middelpunten van drie elkaar wederzijds rakende cirkels coördinaten (0,0), (1,0) en (0,1) geven, dan liggen de andere middelpunten op (m,n) met m en n gehele getallen (let op, het assenstelsel is enkel rechthoekig in geval van het vierkantpatroon). Carl Friedrich Gauss bewees al eerder dat het zeshoekpatroon de hoogste dichtheid heeft als we ons beperken tot cirkels op een regelmatig rooster, maar het Theorema van Thue is algemener.

Denk in bovenstaande optimale cirkelconfiguratie de cirkels even weg, zodat enkel de zeshoeken overblijven. We herkennen onmiddellijk de structuur van de honingraat.

honingraat Wat is er zo speciaal aan zeshoeken dat ze zo geliefd zijn door bijen (en over het hoofd gezien door toiletpapier-verpakkers)?

Om te beginnen zijn er niet zo veel regelmatige veelhoeken waarmee het vlak kan betegeld worden. Gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en regelmatige zeshoeken, en dan hebben we het gehad.

Maar waarom kiezen bijen dan niet voor de driehoek, het vierkant, of misschien een andere niet-veelhoekige vorm?

Dit brengt ons bij het befaamde honingraatvermoeden :

"Van alle mogelijke vlakverdelingen in cellen met gelijke oppervlakte gebruikt de honingraat het minste materiaal (dus, de totale omtrek van de celranden is minimaal als we voor regelmatige zeshoeken kiezen)"

In 1943 gaf Lázló Fejes Tóth hiervoor een bewijs in de veronderstelling dat de cellen convexe veelhoeken zijn, Pappus van Alexandrië wist dit al in het geval de cellen regelmatige veelhoeken zijn, maar in 1999 bewees Thomas C. Hales het vermoeden in volle algemeenheid, vanaf toen de honingraatstelling.

Het voorgaande probleem heeft een boeiende 3D-versie: hoe kunnen we de ruimte in cellen van gelijk volume verdelen zodat de oppervlakte van de celranden geminimaliseerd worden? Dit staat bekend als het probleem van Kelvin. Uit wat ze tot hiertoe geleerd heeft, zou de lezer kunnen concluderen: kijk naar de bijtjes (en vooral niet naar verpakkers van papierrollen).

Inderdaad, eigenlijk bestaat een honingraat uit 3D-cellen:

3D-honingraatcel
Meetkundig worden deze honingraatcellen gevormd door een combinatie van een zeshoekig prisma en een "ruitdodecaheder".

 

 

Maar L.F. Tóth ontdekte in 1965 dat de natuur in deze kwestie een  steekje had laten vallen: de honingraatcel is niet de oplossing van Kelvin's probleem. De boog kan niet altijd gespannen staan, moeten de anders zo ijverige bijen ditmaal gedacht hebben. Lord Kelvin zelf suggereerde een oplossing, gebaseerd op een "gesnoeide octaheder", maar in 1994 spatte dit vermoeden als een zeepbel uit elkaar toen D. Phelan en R. Weaire "schuim" ontdekten met gelijk volume maar kleinere oppervlakte dan het Kelvinschuim.

 
Op het einde van de zestiende eeuw, het tijdperk van kapers en zeevaarders, stelde Thomas Harriot formules op voor het aantal kanonskogels in een piramidevormige stapel.

Deze manier van bolstapeling kan in heel de ruimte voortgezet worden. Als we een horizontale laag doorsnijden met een vlak door alle middelpunten, dan vinden we onze optimale vlakke cirkelstapeling terug (zeshoekpatroon). De volgende laag is een halve boldiameter verschoven zodat de kogels in de kuiltjes van de vorige laag passen, maar zodanig dat ze precies boven de kogels liggen van twee lagen eronder. Scheikundigen kennen dit als een "kubisch vlakkengecentreerde atoomstructuur", fruitkramers als de voor de hand liggende manier om sinaasappels in een hoop te leggen. Op deze manier wordt 26% ruimte verloren. Meer bepaald, de dichtheid van deze "kanonkogelstapeling" is gelijk aan

                   pi/√(18) ≈  0,74 

In 1611 beweerde Johannes Kepler dat geen enkele bolstapeling een efficiëntere dichtheid kon hebben dan deze pi/√(18), maar kon het niet bewijzen. Deze bewering staat sinds dan bekend als het vermoeden van Kepler. Er zijn nog enkele andere stapelingen bekend die even opvullend zijn, telkens opgebouwd uit lagen die het zeshoekpatroon volgen. Hieronder zie je een veelgebruikt alternatief (de "hexagonaal compacte stapeling"):


In 1831 bewees Gauss dat pi/√(18) de grootst mogelijke dichtheid is voor een bolstapeling met middelpunten op een regelmatig rooster. Maar dit sloot het bestaan niet uit van onregelmatige compactere stapels. In het vlak zijn de dingen veel eenvoudiger. Rond iedere cirkel kunnen we precies zes identieke cirkels leggen, die de gegeven cirkel allemaal raken. Probeer dit maar uit met euromunten. Wiskundigen zeggen dat het vlak kusgetal zes heeft. Dit verklaart waarom het zeshoekpatroon werkt bij cirkels in het vlak. Het ruimtelijke kusgetal is gelijk aan twaalf; twaalf identieke bollen kunnen een bol met dezelfde straal simultaan raken, en voor een dertiende is er geen plaats (deze observatie gaat terug tot Newton). Maar in tegenstelling tot het vlak is het kussen nu geen starre aangelegenheid: de rakende bollen kunnen nog een beetje bewegen relatief t.o.v. elkaar. Dit leidt tot heel veel mogelijkheden van "lokaal compacte situaties".

In 1998 stuurde Thomas Hales (jawel, de man van het honingraatvermoeden) het bericht de wereld rond dat hij het vermoeden van Kepler bewezen had. Hij had het probleem eerst herleid tot ongeveer 5000 mogelijk kanshebbers, die daarna een voor een uitgesloten werden met behulp van de computer (en zijn student Ferguson). Dit doet onwillekeurig denken aan het bewijs van Appel en Haken voor het vierkleurenprobleem. Het nadeel van dergelijke computerbewijzen is dat ze moeilijk controleerbaar zijn. In 2003 werd het resultaat van T. Hales dan toch gepubliceerd, maar met een kanttekening van de uitgevers waarbij ze de correctheid niet garandeerden. Dit was de aanleiding voor Hales en Ferguson om het Flyspeck project te starten ("Formal Proof for Kepler").

Stapelproblemen kunnen ook statistisch bekeken worden. Als we knikkers willekeurig stapelen dan mogen we een dichtheid van ongeveer 60% verwachten. Na het schudden van de doos knikkers wordt de stapeling lokaal geoptimaliseerd, wat gemiddeld een dichtheid van 65% oplevert. Iedereen heeft dit fenomeen al waargenomen bij een doos met keukenzout. Als je nu geduldig alle zoutkorrels stapelt als kanonkogels dan zou dit een extra winst van 9% geven. 

Stanislaw Ulam vermoedde dat iedere hoop van identieke convexe objecten zodanig kan gestapeld worden dat de dichtheid groter is dan die van een stapel kanonkogels. Bij mijn weten is dit vermoeden nog niet bewezen. Even leek het erop dat regelmatige tetraeders nog slechter te stapelen zijn dan bollen. Sinds John Conway in 2006 de race naar compacte tetraederstapels gestart heeft, zijn al een hele reeks verbeteringen gepubliceerd. Het huidige record geeft een dichtheid van 85,63% (ver boven de 74% van een kanonkogelstapel, conform met het vermoeden van Ulam) en staat sinds dit jaar op naam van Chen, Engel en Glotzer.


In ieder geval hebben de wiskundigen nog genoeg problemen op stapel staan. Wat dacht je bijvoorbeeld van de volgende uitdaging, een e-mail die Thomas Hales van een groenteboer kreeg net nadat hij het probleem van Kepler opgelost had: "We need you down here right away. We can stack the oranges, but we're having trouble with the artichokes."?

 

Verder lezen:  (met aandrang aanbevolen)

"Cannonballs and honeycombs" door Thomas Hales.

G. Szpiro, Kepler's Conjecture: How Some of the Greatest Minds in History Helped Solve One of the Oldest Math Problems in the World, John Wiley & Sons, 2003.

 



Geschreven in Actuele wiskunde | 2 Reacties | Vaste link | Afdrukken


De maand april is MAM. MAM staat voor Mathematics Awareness Month.

10. April 2010, 10:30

Elke maand is er wel iets wiskundigs. Nu gaat het niet om 1 april, maar om de volledige maand april. Die is in de USA uitgeroepen tot Mathematics Awareness Month of MAM. Oftewel de maand van het zich bewust zijn van de wiskunde. Hiermee wordt waarschijnlijk niet bedoeld wat Thomas Pynchon een van de figuren in zijn roman Against The Day laat zeggen:

"Seeing that, on the face of it, all mathematics leads, doesn't it, sooner or later, to some kind of human suffering."

Ik citeer de website:

Its goal is to increase public understanding of and appreciation for mathematics.

En daar kunnen we in deze blog wel achter staan. In April 2010 is het thema van de MAM Wiskunde en Sport, wat natuurlijk twee keer precies hetzelfde is.

Ik stel voor dat we dan nu wat wiskunde doen, en wel in de vorm van enkele Sangaku's. Een Sangaku is een plaatje dat een wiskundige stelling voorstelt. Opdracht is je bewust worden om welke stelling het gaat, en ze dan even bewijzen. Sangaku's komen uit Japan. Een beetje wiskunde zal nodig zijn, maar we zullen die beperken tot wat rekenen met  breuken en wortels, de stelling van Pythagoras, en de merkwaardige producten (x + y)² = x² + 2xy + y² en (x - y)² = x² - 2xy + y².

We beginnen met deze:


sangaku 1

Wat willen we weten? Je kan je dadelijk de vraag stellen: hoe tekenen we dit? Vertrekkend van twee cirkels en een lijn, hoe kunnen we de twee cirkels op die lijn leggen zodat ze elkaar raken? Stel dat de cirkels straal R1 en R2 hebben, dan is het voldoende dat we de afstand tussen de twee streepjes op de gegeven rechte kennen. Noem die x. De stelling van Pythagoras geeft dan het antwoord:
 
bewijs 1
 
We zien inderdaad dat x² + (R1 - R2)² = (R1 + R2)². Haakjes uitwerken, vereenvoudigen en een wortel nemen resulteert in een eerste stelling:
 
eigenschap

We zijn nu klaar voor de tweede:

sangaku 2

(een Sangaku uit 1824). Er is een extra cirkel die raakt aan de twee andere en aan de rechte. De vraag die logisch volgt is: hoe groot is die cirkel? Stel dat hij als straal R3 heeft. Bekijk even de volgende figuur: 

bewijs 2


Uit onze eerste stelling en uit het feit dat x = x1 + x2 is, volgt na wat rekenen (merk op dat x1 = 2 √R1R3 en x2 = 2 √R2R3 ) de tweede stelling:

stelling 2

Hier is nog een derde:

ford

De breuken onder de lijn geven de relatieve positie aan van de streepjes. Enige vraag die we ons hierbij kunnen stellen is: hoe groot zijn de cirkels? Of anders gezegd, bepaal R1, R2 en R3. Uit de figuur kunnen we xx1 en x2 halen, en, rekening houdend met het extra gegeven dat b.c - a.d = 1 is het dan opnieuw niet zo moeilijk om in te zien dat we voor de stralen het volgende vinden:

stelling 3

Let op de vorm: in dit schema hoort bij een breuk met noemer N blijkbaar een cirkel met als straal 1/(2N²).
Dit inzicht laat ons toe verder te gaan. Als we starten met twee cirkels bij de breuken a/b = 0/1 en c/d = 1/1, dan kunnen we (zoals hierboven) nieuwe cirkels blijven toevoegen, en dit levert de volgende figuur op:

Ford cirkels

We zijn nu al ver doorgedrongen in de wiskunde. De cirkels in de vorige figuur worden Ford cirkels genoemd. En voor de liefhebbers, ze kunnen in verband gebracht worden met de Riemann zeta functie: de totale oppervlakte van de getekende cirkels, in de veronderstelling dat we oneindig lang cirkels blijven toevoegen, is precies gelijk aan 

HighSchoolMusical


De laatste figuur toont wel wat gelijkenis met deze mooie Sangaku uit 1788:

pandigit

die al een stuk moeilijker is. Veel meer over Sangaku's kan je lezen in het hieronder vermelde boek. We zetten een streep onder deze blogbijdrage met een fractaalachtige figuur die enkel opgebouwd is uit Ford cirkels:
 
epan



winning ways
Fukagawa Hidetoshi en Tony Rothman, Sacred Mathematics. Japanese Temple Geometry.
Princeton University Press (2008).

Een boek vol Sangaku's met ook de geschiedenis van de Sangaku. De basis is opnieuw de stelling van Pythagoras. Ook de berekening van benaderingen voor het getal pi vind je er in terug. Je leest er verder het fascinerende reisdagboek van de Japanse negentiende-eeuwse wiskundige Yamaguchi Kanzan die te voet door Japan trok om Sangaku's te verzamelen.
Het boek won de 2008 PROSE Award for Professional and Scholarly Excellence in Mathematics van de associatie van Amerikaanse uitgevers. Het is inderdaad een prachtig boek, en een must voor elke Sangaku-liefhebber!

Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο 
Score: Θ Θ Θ Θ Ο







Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Zondag pi-dag, maar vandaag de dag van de vrouw (van Ludolf Van Ceulen)

08. Maart 2010, 17:48

Allicht wist je dat het op zondag 14 maart π-dag is? Waarom? Omdat in de Amerikaanse schrijfwijze de datum 14 maart genoteerd wordt als 3/14 en 3,14 is een benadering voor het getal π. We hebben hierover vroeger al geschreven, i.v.m. graancirkels en ook hier.

Toevallig is het ook dit jaar precies 400 jaar geleden dat Ludolf Van Ceulen, die vooral bekend (gebleven) is door zijn berekening van het getal π tot op 35 decimalen, stierf. In zijn boek Vanden Circkel heeft hij de berekening van de eerste 20 decimalen beschreven. Je ziet hier een uittreksel uit de tweede editie van 1615: 

lvc

(Je kan de tekst vergroten door er op te klikken.) Maar speciaal vandaag, op vrouwendag, willen we ook de vrouw van Ludolf, Adriana Symonsz, eren. Zij heeft er uiteindelijk voor gezorgd dat alle 35 decimalen van manlief op zijn grafzerk gebeiteld werden. Een daad van toewijding waarbij wij mannen alleen maar stil en nederig worden. Dit stond op de grafzerk in kwestie:
 
 
en uit wat D. Bierens de Haan er over schreef in 1878 blijkt eens te meer hoe groot de rol is die Adriana hierbij gespeeld heeft:
 

 

Maar wist je ook ...

...dat op 31 december 2009 een nieuw wereldrecord  decimalen-van-π
-berekenen is gevestigd door Fabrice Bellard? In totaal werden 2 699 999 990 000 decimalen berekend, op een gewone desktop computer. De berekening is gedaan met wat bekend staat als de Chudnovsky reeks:

banach-tarski

 

met A=13591409, B=545140134, C=640320. Elke volgende term geeft 14 extra decimalen. De berekening gebeurde binair en nam 103 dagen in beslag.

digits of pi


...dat de laatste twee van de 16 decimalen van π die Isaac Newton eigenhandig berekende in 1665-1666 fout waren? Newton gebruikte de volgende integraal:

integraal

Hij berekende een benadering van deze integraal met zijn binomiaalreeks.
Newton zei achteraf zelf: "I am ashamed to tell you to how many figures I carried these computations, having no other business at the time".

... dat de getallen van de rij van Fibonacci gebruikt kunnen worden om een benadering van π te berekenen?
Als we de getallen van deze rij van Fibonacci voorstellen door Fn: F0=1, F1=1, F2=2, F3=3 en Fn+2=Fn+1+Fn, dan kunnen we eenvoudig bewijzen dat

fibonaccireeks

Dit is een gevolg van de volgende eigenschap:

fibonaccisom

... dat de volgende prachtige formule in de notaboekjes van Ramanujan te vinden is?

ramanujan

... dat Andriy Tychonovych Slyusarchuk, een Oekraïense neurochirurg en professor, in juni 2009 beweerde dat hij de nieuwe wereldrecordhouder decimalen-van-π-uit-het-hoofd-kennen was, omdat hij 30 miljoen decimalen gememoriseerd had. Die 30 miljoen decimalen stonden in 20 boeken. Hoewel hij niet al die decimalen heeft opgezegd, is zijn bewering toch geverifieerd door een jury. Deze jury koos willekeurige passages uit de 20 boeken, en Slyusarchuk kon inderdaad de decimalen op de gekozen pagina's reciteren. 

... dat in de Disney-film High School Musical, die zich afspeelt in een school, in een bepaalde scene een reeks voor π van de hand van Ramanujan te zien is op het schoolbord? Een van de leerlingen vraagt aan de lerares: "Moet in die tweede vergelijking niet staan zestien gedeeld door pi?". Waarop de lerares haar rekentoestel bovenhaalt, begint te rekenen, en de fout verbetert.

HighSchoolMusical


... dat de studie van het maken en gebruiken van mnemotechnische middelen om de decimalen van π te memoriseren, een speciale naam heeft? We noemen het de pifilologie. (Let op het mooie samengaan van π en het getal van de gulden snede φ in deze naam;-) In de pifilologie zijn pidichten (in het Engels piems) erg belangrijk. Pidichten zijn gedichten die het getal π op de volgende manier voorstellen: het aantal letters in elk woord geeft een decimaal aan van π. Hier is bijvoorbeeld een Engels pidicht:

How I wish I could enumerate pi easily, since all these bullshit
mnemonics prevent recalling any of pi's sequence more simply.

...dat er veel pandigitale benaderingen zijn voor π? Pandigitaal betekent dat elk cijfer van 1 tot 9 er precies 1 keer in voorkomt. Hier is een voorbeeld. Het getal

pandigit

geeft een benadering voor π die tot op 9 cijfers na de komma correct is. (Merk op dat er een veel betere pandigitale benadering bestaat voor het getal e:
epan

is tot op 18457734525360901453873570 decimalen correct.) 

...dat in de 21ste aflevering ("Marge in de boeien") van het vierde seizoen van de reeks The Simpsons de eigenaar van de Springfieldse Kwik-E-Mart Apu Nahasapeemapetilon in de rechtbank zegt dat hij in staat is 40000 decimalen van het getal π op te zeggen? Apu merkt verder terecht op dat het 40000ste cijfer gelijk is aan 1. Blijkbaar hebben de schrijvers van deze aflevering deze scene voorbereid door aan de NASA te vragen wat de 40000ste decimaal van π is. NASA heeft hen dan een uitprint gestuurd van de eerste 40000 cijfers.

...dat het naaldenexperiment van Buffon niet de enige vreemde methode is om een benadering te vinden voor het getal π? Botsingen tellen in een eenvoudig dynamisch systeem met twee bollen kan ook. Het verschil met Buffon is dat deze methode volledig deterministisch is, en dat je er π mee kan berekenen tot op gelijk welke nauwkeurigheid. Hier zie je de opstelling:

pipool

Er wordt verondersteld dat de muur absoluut elastisch is. Laat de grote bol rollen in de richting van de kleine bol. Als de massa van de grote bol 100N keer zo groot is als de massa van de kleine bol, dan is het aantal botsingen in dit systeem een getal met N+1 cijfers. De eerste N cijfers van dit getal zijn precies de eerste N decimalen van het getal π (beginnend bij de 3).

...dat het volgende extra korte C programma het getal π berekent tot op 15000 decimalen?
 
a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;
main(){for(;b=c-=14;h=printf("%04d",
e+d/f))for(e=d%=f;g=-b*2;d/=g)
d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%-g;}


...dat eπ√ 163 en eπ-π twee bekende voorbeelden zijn van getallen die bijna geheel zijn (almost integer)?

xkcd


(http://www.xkcd.com)

Hier vind je deze informatie in flyer-vorm, ter lering en vermaak van vrienden en/of collega's.



Geschreven in Actuele wiskunde | 2 Reacties | Vaste link | Afdrukken


Logische valkuilen en Logicomix

19. Januari 2010, 12:04

Wiskunde heeft nu eenmaal een niet al te beste naam bij veel mensen, en dit om allerlei redenen. Wat men zeker niet kan zeggen van wiskunde, is dat het iets saais is.  Bewijs daarvan zijn de talloze verrassende dingen die je als wiskundige tegenkomt. Ik bedoel met verrassend bijvoorbeeld tegenintuïtief, of ook paradoxaal klinkend. Een typevoorbeeld hiervan is de zogenaamde paradox van Banach-Tarski uit 1924. Het gaat hier om een stelling die paradoxaal klinkt, maar toch wel degelijk bewezen is (weliswaar gebruik makend van een axioma, maar dat gebeurt wel vaker in de wiskunde). De stelling zegt bijvoorbeeld dat je een massieve bol in 5 stukken kan verdelen en die aan elkaar kan passen zodat je twee bollen hebt die net zo groot en net zo massief zijn als de oorspronkelijke bol.

banach-tarski

Zie ook de boekbespreking enige tijd geleden in deze blog.

Iets anders nu. Bekijk even de volgende figuur.

diagonal paradox

In de figuur wordt verondersteld dat de gekleurde gebroken lijnen trapvormig van het ene hoekpunt naar het andere lopen. Stel verder dat het omgeschreven vierkant zijde 1 heeft. Het is dan eenvoudig in te zien dat de totale lengte van zo'n gekleurde lijn gelijk is aan de som van twee zijden van het vierkant, dus gelijk is aan 2. Dat geldt zowel voor de rode, als voor de groene en voor de blauwe lijn. Dus de blauwe lijn heeft ook totale lengte 2. Als we zo steeds fijner en fijner werken, dan zal het resultaat steeds meer gaan lijken op de diagonaal van het vierkant. Hoe fijn we ook werken, de lengte van zo'n 'traplijn' zal steeds 2 zijn. Maar... de lengte van de diagonaal van het vierkant is wel gelijk aan √2 . Hoe zit dat dan?
Dit is de bekende Diagonaalparadox (niet te verwarren met de diagonaalparadox van Cantor).

Nummer 3. In de volgende figuur veronderstellen we dat het rode vlakdeel naar rechts verder loopt tot op oneindig.

gabriels hoorn

We kunnen wiskundig bewijzen (met een integraal) dat de totale oppervlakte van het rode vlakdeel oneindig groot is.
We wentelen nu dit vlakdeel om zijn symmetrie-as. Het resultaat ziet er ongeveer zo uit:

torricelli's trompet


Van deze 3d-figuur kunnen we de inhoud berekenen (opnieuw met een integraal). Blijkt dat deze inhoud eindig groot is (meer bepaald pi m3 als we de eenheden in m uitdrukken).
Kan dit wel? De resulterende figuur wordt de Hoorn van Gabriel (of de Trompet van Torricelli) genoemd. Zie ook de paradox van de schilder die verwant is met dit probleem:

Paradox van de schilder

(Je kan bewijzen dat de manteloppervlakte van de
hoorn van Gabriel oneindig groot is.
De inhoud van de hoorn is gelijk aan pi.)

Een schilder wil de binnenkant van de hoorn
geel schilderen.
Omdat de oppervlakte die geschilderd moet worden
oneindig groot is, ziet de schilder het niet zitten.
De schildersgast komt met een goed idee:
omdat de inhoud van de hoorn eindig groot is,
kunnen we hem volledig vullen met verf.
Dan is de binnenkant ineens mee geschilderd.
 

Hoe zit dit eigenlijk?

 

Een overzicht geven van alle bekende paradoxen is onbegonnen werk. Daarom volgt hier een bloemlezing.
De beroemdste zijn natuurlijk die van Zeno (490-430) (bijvoorbeeld die van Achilles en de schildpad, maar er zijn er meer).

Achilles en de schildpad

Achilles en de schildpad
houden een loopwedstrijd.

De schildpad krijgt hierbij een voorsprong.
Achilles zal de schildpad echter nooit
kunnen inhalen want telkens
als hij de afstand tot de schildpad
heeft overbrugd, is de schildpad
weer een eindje verder geraakt.
 

zeno


Ook de paradox van de kapper is algemeen bekend:

Paradox van de kapper

De kapper van het dorp scheert alle mannen
die zichzelf niet scheren
.

Vraag is, scheert hij zichzelf?  

Als het antwoord op deze vraag ja is,
dan scheert hij zichzelf niet: een contradictie.

Is het antwoord neen,
dan moet hij zichzelf scheren: opnieuw een contradictie.


kapper

En je kent waarschijnlijk wel de paradox van de leugenaar (die aan de basis ligt van de onvolledigheidsstelling van Kurt Gödel), hier te zien in een variant:

Paradox van de leugenaar

  liar

En dan heb je bijvoorbeeld ook nog de paradox van Berry, de paradox van de onverwachte toets,...
Bij de paradox van de kapper en de leugenaar speelt het begrip zelfreferentie een grote rol. Een beroemd voorbeeld van zelfreferentie vinden we in het schilderij van René Magritte Ceci n'est pas une pipe. Ook in de Prentengalerij van Escher, in de vorm van het Droste-effect.

Prent

Een leuk voorbeeld vinden we ook in het boek Finite Dimensional Vector Spaces van Paul Halmos.
Daar staat op p. 198 in de index:
Hochschild, G.P. ... 198.

Zelfreferentie leidt vaak tot logische problemen. zoals bijvoorbeeld in de klassenparadox van Bertrand Russell (1872-1970). We kunnen deze als volgt kaderen.

De bibliothecaris in de bibliotheek van Babel vindt dat je niet genoeg kan classificeren. Hij heeft dan ook in de loop der jaren allerlei indexen gemaakt  in boekvorm met de bedoeling een boek gemakkelijk te kunnen terugvinden in de reusachtige bibliotheek. Zo heeft hij een boek waarin alle boeken (en hun plaats in de bib) zijn opgenomen die een rode omslag hebben. Niet toevallig heeft deze index zelf ook een rode kaft.
Hij heeft bijvoorbeeld ook een boek gemaakt dat alle boeken van meer dan 3000 pagina's oplijst. Dit boek is niet al te dik.
Nu vindt de bibliothecaris dat hij ook een index moet maken met daarin alle boeken die zichzelf vermelden zoals het rode boek over de rode boeken. Noem deze index Z.

En dan ook een index met boeken die zichzelf niet vermelden (zoals het >3000 p. boek). Noem deze NZ.
Deze twee boeken bevatten samen alle boeken van de bibliotheek van Babel.


De klassenparadox van Russell

In welk van deze beide boeken
moet hij het boek NZ vermelden?


Is het antwoord op deze vraag NZ,
dan staat het boek NZ in NZ
en hoort het te staan in Z.

Dus moet het staan in boek Z,
maar in Z staan enkel de boeken
die zichzelf vermelden: een contradictie.


Russell was filosoof en wiskundige. Hij vond deze paradox in 1901, toen hij al bezig was aan zijn magnum opus, de Principia Mathematica. Deze paradox deed de wiskunde, meer bepaald de verzamelingenleer, op haar grondvesten beven.  Meer over deze periode kan je lezen in het erg leuke stripverhaal Logicomix.



logicomix
Apostolos Doxiadis, Christos H. Papadimitriou, Alecos Papadatos, Annie Di Donna, Logicomix. Een epische zoektocht naar de waarheid. 
De Vliegende Hollander (2009) 345 pagina's.

Dit stripverhaal over de beginselen van de wiskunde en de vragen en problemen waarmee de wiskundigen van het begin van de twintigste eeuw geconfronteerd werden, kent een enorm succes. De figuur van Bertrand Russell staat centraal. 

De Engelse versie van dit boek komt voor in verschillende lijstjes bij de 10 beste boeken van 2009. Een aanrader.
Apostolos Doxiadis is bij ons bekend van zijn roman Oom Petros en het vermoeden van Goldbach.

Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Θ

 



Geschreven in Actuele wiskunde | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken


«Vorige   1 2 3 4  Volgende»