SciLogs International .com.be.es.de

Recentste blogposts RSS

Wiskunde en sneeuw

21. December 2009, 14:36

Deze combinatie doet me dadelijk denken aan het boek Frøken Smillas fornemmelse for sne (Smilla's gevoel voor sneeuw) uit 1992 van de Deense auteur Peter Høeg waarin de hoofdrolspeelster Smilla op een bepaald ogenblik zegt ”Het valt me makkelijker me voor de wiskunde te interesseren dan van mijn medemensen te houden”. (Nu ik terugdenk aan dit boek, weet ik plots weer waar ik de sfeer uit het boek De eenzaamheid van de priemgetallen van Paolo Giordano van ken.)

In deze uitspraak worden twee zaken met elkaar in verband gebracht waarvan ik liever heb dat ze niet samen genoemd worden. Het staat er wel niet letterlijk, maar het beeld van de mensenschuwe wiskundige is dichtbij. 

Mensenschuw en sneeuwpret liggen dan gelukkig weer mijlenver uit elkaar. Stan Wagon, een wiskundige (en o.a. auteur van het boek The Banach-Tarski Paradox), en een aantal collega's laten de sneeuw in elk geval niet liggen. Elk jaar doen ze mee aan een internationale sneeuwsculptuurwedstrijd in Breckenridge (Colorado). Ze maken dan samen een wiskundige sneeuwsculptuur (en halen er nog prijzen mee binnen ook). Zoals de bovenstaande uit 2003, met de naam Whirled White Web (pdf, 2.7 MB). Zilveren medaille.

In het jaar 2000 maakten ze een Enneper-oppervlak, een oppervlak genoemd naar de Duitse wiskundige Alfred Enneper (1830-1885) (waar waarschijnlijk niemand die dit leest al ooit van gehoord heeft). Hier zie je wat meer ervan: in volgorde Enneper zelf, een stelsel parametervergelijkingen van het bewuste oppervlak en de sneeuwsculptuur van Team Minnesota. Zilveren medaille.



Het gaat om een zogenaamd minimaaloppervlak. Minimaaloppervlakken kom je (behalve als sneeuwsculpturen) in de natuur wel vaker tegen, bijvoorbeeld bij zeepbellen. Ook in de kunst duiken ze op. Het oppervlak van Enneper deed me denken aan het kunstwerk dat ik recent nog gezien heb, naar aanleiding van het bezoek van Erik Demaine aan België. Hij neemt een ringvormig stuk karton en maakt daarin (met veel geduld) cirkelvormige plooien. Als hij dan de zwaartekracht haar werk laat doen na het plooien, dan is bijvoorbeeld dit het resultaat:

Mensenschuw kan je wiskundige Demaine zeker niet noemen, als je kijkt naar zijn indrukwekkende lijst co-auteurs.

Lees het artikel
'De Mozarts van de wskunde' (pdf) over Erik en Martin Demaine (Eos-magazine, februari 2009, door wiskundige Dirk Huylebrouck)



Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken


De calculus van vriendschap

09. December 2009, 11:56

Het gebeurt eerder zelden dat ik een boek over wiskunde lees en daar al vanaf het begin een geweldige affiniteit mee voel.
Er zijn een aantal zaken die me altijd gefascineerd hebben. Een daarvan is een formule uit 1656. Als je de volgende rij getallen op dezelfde manier voortzet, waar kom je dan terecht?

rij van Wallis

Het verbazingwekkende antwoord is: uiteindelijk in pi/2. In de limiet heb je dan links een product met oneindig veel factoren, en rechts staat er dus pi/2. Dat wordt zo genoteerd:

formule van Wallis

Deze formule wordt de productformule van Wallis voor pi genoemd. John Wallis (1616-1703) was toevallig ook de eerste die ∞ als symbool voor oneindig gebruikte. De formule van Wallis is een van de oudste oneindige uitdrukkingen voor het getal pi. En toch erg nuttig. Een Japanse collega zei me onlangs in een e-mail: ik gebruik ook graag de productformule van Wallis om andere dingen mee te bewijzen.

Iets anders nu, wat is de waarde van de volgende integraal?

sinxopx

Ter aanvulling: de getalwaarde die deze integraal geeft is te zien als de oppervlakte van een vlakke figuur:

sinxopx

De waarde van de integraal is precies gelijk aan de som van de oppervlaktes van de rode vlakdelen min de som van de oppervlaktes van de groene, waarbij je er vanuit moet gaan dat de figuur naar rechts toe oneindig ver doorloopt.
Het antwoord is, al even verrassend, opnieuw
pi/2:

int waarde

Integralen berekenen heb ik geleerd in het secundair onderwijs, maar dit is er een die je niet op de gewone manier kan vinden. Een trukje is hier de oplossing, een trukje dat bekend staat als differentiating under the integral sign. In de wiskunde worden bepaalde trukjes zo vaak gebruikt dat we ze gerust kunnen opwaarderen tot "technieken".

Een laatste probleem dat ik altijd wel leuk heb gevonden, waar ik voor het eerst mee geconfronteerd werd in een les over programmeren: vier honden bevinden zich op de vier hoeken van een vierkant, en ze lopen naar elkaar toe. Elke hond loopt recht naar de hond die in tegenwijzerzin (of in wijzerzin zoals in de rechtse figuur) bekeken het dichtstbij is. Hun snelheden zijn precies gelijk.

vier honden curve of pursuit


Welke baan beschrijven de honden? Merk op dat ze zich op elk ogenblik op de hoekpunten van een (steeds kleiner wordend) vierkant bevinden. De vraag is dan: hoeveel afstand leggen de honden elk af voor ze samenkomen in het midden van het vierkant. Het antwoord is iets om over na te denken: de afgelegde afstand is gelijk aan de lengte van de zijde van het startvierkant.

Alle drie deze problemen vind je terug in een nieuw boek, dat de correspondentie bevat tussen een leerling en zijn leraar wiskunde. De brieven in kwestie gaan bijna uitsluitend over wiskunde, meer bepaald calculus, maar ze worden met de tijd meer persoonlijk. Een aanrader. De auteur, Steven Strogatz, heeft eerder al een boek geschreven over synchronisatie. Je kan hem aan het werk zien in dit leuke filmpje.

 

 

 

 





cover
Steven Strogatz,The Calculus of Friendship: What a Teacher and a Student Learned about Life while Corresponding about Math. Princeton University Press (2009) 166 pagina's.

Zoals de ondertitel belooft: leerling en leraar groeien naar elkaar toe in hun correspondentie over calculus-problemen. Om te begrijpen waar ze het over hebben, moet je wel wat wiskunde kennen. Maar dat hebben jullie in deze blog waarschijnlijk ook al gemerkt.


Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο
Score: Θ Θ Θ Θ Ο




cover

Paul J. Nahin, Chases and Escapes. The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton University Press (2007) 270 pagina's.

Een boek voor lezers (met een goede wiskunde-achtergrond) die interesse hebben voor problemen zoals het Vier honden probleem. Het boek is zoals de meeste boeken van deze auteur een aangename afwisseling van geschiedenis en wiskunde!


Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Ο
Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο
Score: Θ Θ Θ Ο Ο

 





Geschreven in Boekenrubriek | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken