16. Oktober 2011, 16:42

In mijn vorige logje beschreef ik, aan de hand van een beroemde hardloopwedstrijd tussen de Griekse held Achilles en een schildpad, een belangrijke methode die in de moderne natuurkunde bekend staat als storingsrekening. In dit logje zullen we zien hoe de storingsrekening soms tekortschiet in het beschrijven van experimenten met elementaire deeltjes, en hoe een recente ontdekking het mogelijk maakt de resultaten te verbeteren.

Storingsrekening in het kort

De taakomschrijving van een natuurkundige is in grote lijnen heel simpel:

1. Maak een model dat bepaalde aspecten uit de wereld om ons heen beschrijft,
2. Reken met het model de uitkomsten van denkbeeldige experimenten uit,
3. Vergelijk de resultaten met de uitkomsten van daadwerkelijke experimenten,
4. Als de tests succesvol zijn, gebruik het model dan om nieuwe verschijnselen te voorspellen.

Van deze vier stappen is de tweede degene die in de populairwetenschappelijke literatuur verreweg het minste besproken wordt. Het is immers de meest technische stap, en daardoor vaak de minst interessante om in detail uit te leggen. Toch zijn er ook op dit gebied allerlei interessante ontwikkelingen gaande. In deze serie logjes wil ik twee van die recente ontwikkelingen beschrijven.

Het vervelende van het rekenwerk dat de natuurkundige moet doen, is dat berekeningen in veel modellen niet exact gedaan kunnen worden. De formules die moeten worden toegepast, zijn vaak bijzonder gecompliceerd, en kunnen noch met de hand, noch met de computer precies worden opgelost. Het idee van storingsrekening is om eerst een berekening te doen in een eenvoudiger model, waarin de uitkomst wél exact bepaald worden. Dat model wordt vervolgens vervormd ("verstoord") tot het echte model.

Een beroemde grap over natuurkundigen luidt als volgt. Een veehouder merkt dat de melkproductie van zijn koeien al enige weken ver beneden de maat is. Hij verandert de voeding van de beesten, bouwt een betere stal, probeert het zelfs met muziektherapie, maar wat hij ook doet, de koeien blijven veel te weinig melk geven. Uiteindelijk vraagt de veehouder een bevriend theoretisch fysicus om eens naar de koeien te komen kijken. De natuurkundige observeert het gedrag van de beesten een tijdje, trekt zich terug in de studeerkamer, en komt drie uur later juichend terug. "Ik heb de oplossing gevonden! Er is alleen nog één probleempje - het werkt alleen voor bolvormige koeien in een vacuüm..."

De clou van de grap geeft goed weer hoe natuurkundigen vaak te werk gaan. Een probleem wordt eerst in een eenvoudige situatie opgelost - bijvoorbeeld in een vacuüm - waarna correcties worden berekend voor de afwijking van die situatie - in dit geval, door uit te rekenen wat de belangrijkste effecten van de aanwezige luchtdruk zijn. Vaak is dit een iteratieve procedure. Er wordt een eerste correctie berekend, daarna een correctie op de correctie, daarna een correctie op de correctie op de correctie, enzovoort. Zulke opeenvolgende correcties noemen we correcties van de eerste orde, tweede orde, enzovoort. Dit proces wordt net zo lang herhaald tot de werkelijke uitkomst van het probleem voldoende dicht benaderd is.

Feynmandiagrammen

Een belangrijk natuurkundig model waarin op deze manier berekeningen worden gedaan, is het zogenaamde standaardmodel van de elementaire deeltjes, of kortweg het "standaardmodel". Dit model beschrijft hoe de diverse soorten elementaire deeltjes waaruit de wereld om ons heen is opgebouwd - elektronen, quarks, neutrino's, enzovoort - zich gedragen en met elkaar wisselwerken. De sterkte van de wisselwerkingen tussen de verschillende soorten deeltjes (zoals bijvoorbeeld de elektromagnetische kracht) wordt bepaald door een aantal natuurconstanten, die "koppelingsconstanten" worden genoemd.

Het berekenen van exacte uitkomsten van experimenten in het standaardmodel is enorm gecompliceerd, en dus wordt ook hier gebruik  gemaakt van de storingsrekening. De uitkomsten worden eerst berekend in de ideale situatie waarin alle koppelingsconstanten nul zijn, waarna de correcties worden bepaald voor het feit dat die constanten in de praktijk níet gelijk aan nul zijn.

Hoewel de berekening van die correcties zelf gecompliceerd is, bestaat er een grafische weergave van die berekeningen, ontwikkeld door de Amerikaanse fysicus Richard Feynman, die op een eenvoudige manier duidelijk maakt wélke correcties moeten worden berekend. Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar een experiment waarin een deeltjesversneller twee deeltjes afvuurt die een wisselwerking met elkaar kunnen hebben. In de modelsituatie waarin alle koppelingsconstanten nul zijn, is er helemaal geen wisselwerking, en vliegen de twee deeltjes zonder elkaar te beïnvloeden rechtdoor. Feynman gaf dat aan met behulp van het volgende diagram:



Wanneer we nu de koppelingsconstante voor deze specifieke wisselwerking "aanzetten", kunnen de deeltjes wél interactie met elkaar hebben. Een van de manieren waarop dat kan, is doordat de deeltjes elkaar ontmoeten en samensmelten tot een nieuw deeltje, dat na een tijdje weer uit elkaar valt, waarna de oorspronkelijke deeltjes elk hun eigen weg gaan. Dit gaf Feynman aan met het volgende diagram:



Ook ingewikkelder interacties zijn natuurlijk mogelijk - zie bijvoorbeeld dit diagram, waar de deeltjes elkaar twee keer ontmoeten en samensmelten, om vervolgens weer te vervallen in de oorspronkelijke deeltjes:



Het moge duidelijk zijn dat we op deze manier tot in eeuwigheid door kunnen gaan met het tekenen van mogelijke interactiediagrammen. Het is echter intuïtief ook duidelijk dat niet alle soorten van interacties even waarschijnlijk zijn. De kans dat deeltjes elkaar tweemaal ontmoeten en samensmelten is natuurlijk kleiner dan de kans dat ze elkaar maar eenmaal ontmoeten.

Feynman maakte dat idee heel precies: hij toonde aan dat we de uitkomst van een experiment als volgt kunnen berekenen. Bereken eerst de uitkomst in de theorie waarin alle koppelingsconstanten nul zijn - die berekening komst dus overeen met het eerste diagram hierboven. De belangrijkste correcties komen vervolgens van de interacties waarbij de diagrammen een zo klein mogelijk aantal "kruispunten" hebben. In het tweede diagram hierboven zijn er bijvoorbeeld twee. Er zijn echter meer diagrammen waarin maar twee kruispunten voorkomen, bijvoorbeeld het geval waarin een van de twee deeltjes een nieuw deeltje uitzendt, dat vervolgens door het tweede deeltje wordt opgevangen:



Om een goede eerste-ordebenadering van het eindantwoord te krijgen, moeten we in berekeningen voor dit soort wisselwerkingen rekening houden met álle diagrammen met twee kruispunten. Vervolgens kunnen we een benadering van tweede orde maken door ook interacties met vier kruispunten mee te nemen in de berekeningen. (Het blijkt dat in diagrammen zoals ik die hierboven heb getekend alleen interacties met een even aantal kruispunten kunnen voorkomen. Er zijn ook modellen waarin dat niet zo is - als bijvoorbeeld de deeltjes met elkaar zouden kunnen botsen waarna ze direct weer verder vliegen zou er een diagram in de vorm van een X met een enkel "vierpuntskruispunt" zijn. In dat geval zou dat diagram dus een eerste-ordecorrectie op de berekening weergeven.) Het derde diagram hierboven in bijvoorbeeld zo'n diagram met vier kruispunten, maar er vallen er nog veel meer te tekenen - bijvoorbeeld het diagram voor het geval waarin een deeltje tweemaal een ander deeltje uitzendt, waarna allebei de uitgezonden deeltjes door het andere deeltje worden opgevangen:



Voor alle interacties van deze vorm moet in de berekening gecorrigeerd worden om een goede tweede-ordebenadering van de uitkomst van een experiment te berekenen.

Een grote vereenvoudiging

Wie er een stuk papier en een pen bijpakt, zal snel zien dat het tekenen van alle Feynmandiagrammen met bijvoorbeeld zes of acht kruispunten een hele klus is. Het aantal diagrammen groeit snel als we het aantal kruispunten groter maken - en dat wordt alleen maar erger als in het model meerdere soorten deeltjes voorkomen (die we bijvoorbeeld kunnen weergeven door lijnen met verschillende kleuren), als er ook X-vormige kruispunten mogelijk zijn, als we ook bepaalde eigenschappen van de deeltjes willen aangeven (bijvoorbeeld hun lading of hun heliciteit - zie verderop), enzovoort.

Daar komt nog eens bij dat voor de meeste experimenten het berekenen van de correctie die elk Feynmandiagram voorstelt op zich al een flinke klus is. Stel dat we bijvoorbeeld willen uitrekenen wat de kans is dat bij een botsingsexperiment in de Large Hadron Collider bij het CERN in Genève het beroemde Higgsdeeltje gevormd wordt. Wat de Feynmandiagrammen ons laten zien, is dat in een dergelijke berekening het rekenen met correcties van bijvoorbeeld derde of vierde orde een hels karwei wordt. Zelfs met snelle computers komt men in zulke berekeningen meestal niet verder dan een orde of twee, drie.

De experimenten in grote deeltjesversnellers zoals de Large Hadron Collider worden echter intussen steeds beter. Gevolg: er zijn tegenwoordig diverse experimenten waarvoor "meetprecisie" en "rekenprecisie" elkaar nauwelijks meer ontlopen. Om de betreffende modellen beter te testen, zijn dus niet alleen betere experimenten nodig; we moeten ook op zoek naar nieuwe rekenmethodes die de diverse correcties effectiever bepalen dan de storingsrekening met behulp van Feynmandiagrammen dat doet.

Jarenlang leek dit een onbegonnen zaak, en werd de methode van de Feynmandiagrammen gezien als de enige realistische manier om dit soort berekeningen te doen. Recent is daar echter verandering in gekomen. Zoals zoveel ontwikkelingen in de moderne theoretische natuurkunde begon deze ontwikkeling, inmiddels zo'n acht jaar geleden, met een idee van de Amerikaanse fysicus Edward Witten. Witten werkte het idee verder uit met een aantal van zijn collega's (met name Freddy Cachazo), waarna een groot aantal fysici - in het bijzonder de groep van Lance Dixon, Zvi Bern en David Kosower - de ideeën op grote schaal begon toe te passen op modellen die sterk lijken op de modellen die moderne botsingsexperimenten beschrijven.

In heel grote lijnen komt het idee hierop neer. Zoals gezegd is het aantal Feynmandiagrammen van een bepaalde orde (dus met een bepaald aantal "kruispunten") vaak enorm groot. Het blijkt echter dat zulke diagrammen slim gegroepeerd kunnen worden. De groepen bestaan uit diagrammen die bepaalde eigenschappen gemeen hebben - bijvoorbeeld dat de deeltjes vóór en ná de botsing een bepaalde heliciteit hebben. Heliciteit is een eigenschap die is te vergelijken met de polarisatie van licht: het is een grootheid die aangeeft "in welke richting een deeltje trilt". In het geval van licht kunnen we die polarisatie mooi zien met behulp van een polaroidzonnebril: wanneer we met zo'n bril naar een strakblauwe hemel kijken, zal de hoeveelheid licht die de bril doorlaat sterk veranderen als we de bril wat draaien. Een polaroidbril laat namelijk alleen licht door dat in een bepaalde richting gepolariseerd is. Als we de bril dus zo draaien dat die richting samenvalt met de polarisatie van het zonlicht zien we veel licht; draaien we de bril een kwartslag zodat de richtingen loodrecht op elkaar staan, dan zien we weinig zonlicht.

Wanneer we nu in een berekening alle correcties optellen die weergegeven worden door diagrammen met een vast gekozen heliciteit voor de deeltjes, blijkt iets bijzonders: de wiskundige eigenschappen die de berekeningen voor de diagrammen in de groep gemeen hebben, beperken tot op grote hoogte de vorm die het antwoord kan hebben! Iets soortgelijks geldt als we de diagrammen groeperen aan de hand van de ladingsverdeling die de deeltjes hebben. Bij elkaar zijn deze beperkingen dusdanig groot dat ze het rekenwerk aanzienlijk vereenvoudigen. In plaats van het uitrekenen van de correctie voor elk diagram afzonderlijk, kunnen de diagrammen in een groep nu namelijk tegelijkertijd doorgerekend worden, en kan de totale correctie voor de hele groep diagrammen met een betrekkelijk eenvoudige berekening bepaald worden. Op die manier kan het uitrekenen van duizenden of zelfs miljoenen correcties vereenvoudigd worden tot het uitrekenen van correcties voor enkele, of hooguit enkele tientallen, groepen van diagrammen. Een forse vereenvoudiging!

Het zou wat ver gaan om te zeggen dat deze nieuwe rekenmethode al op grote schaal bij experimenten wordt toegepast. Een groot deel van de toepassingen van de methode is nog altijd in een klasse van modellen die daarvoor nét iets te ver van de experimentele werkelijkheid af staan - de beroemde "supersymmetrische" modellen, bijvoorbeeld. Ook die modellen hebben echter een duidelijke overlap met meer realistische modellen, en het lijkt erop dat de nieuwe rekenmethode ook in berekeningen voor echte experimenten uiteindelijk tot grote vereenvoudigingen kan leiden.

In het derde en laatste deel van deze serie zal ik nog een andere recente ontwikkeling beschrijven die ertoe bijdraagt dat we als natuurkundigen langzaam maar zeker leren om méér te doen dan alleen storingsrekening. Nog lang niet alle koeien die we beschrijven hebben daarmee twee horens en vier poten, maar het aantal berekeningen dat bolvormige koeien in vacuüm beschrijft, wordt gelukkig steeds kleiner.

Geschreven in Wetenschap | 2 Reacties | Vaste link | Afdrukken

05. December 2010, 14:42

In Zeno's bekende paradox over Achilles en de schildpad stelt een schildpad aan de Griekse held voor om een hardloopwedstrijd te houden. De schildpad beweert dat Achilles hem nooit zal inhalen, als hij tenminste een voorsprong krijgt - zelfs als die voorsprong maar een meter is.

De redenering van de schildpad is als volgt. Stel dat Achilles tienmaal zo snel loopt als hijzelf. In de tijd dat Achilles de meter achterstand overbrugt, heeft de schildpad zelf tien centimeter afgelegd. Achilles zal die tien centimeter dus nog moeten inhalen - maar als hij zoveel verder is, is de schildpad ook alweer een centimeter verder. Legt Achilles ook die ene centimeter af, dan is de schildpad weer een millimeter verder, enzovoort. Steeds als Achilles is waar de schildpad was, is de schildpad al iets verder.

Ik wil het hier niet hebben over de verstrekkende filosofische betekenis van deze paradox, maar wel over de natuur- en wiskundige implicaties. Het zal u niet verbazen dat de schildpad het niet bij het juiste eind blijkt te hebben: hij wordt in de praktijk wel degelijk door Achilles ingehaald. We kunnen zelfs uitrekenen waar dat precies gebeurt. Dat gaat als volgt: zeg dat de schildpad, op het moment Achilles hem inhaalt, X meter heeft afgelegd. In dezelfde tijd heeft Achilles, die tienmaal zo snel rent, 10X meter afgelegd. We weten bovendien dat deze afstand een meter meer is dan de afstand die de schildpad gelopen heeft. In een wiskundige vergelijking:

10 X = X + 1

Aan beide zijden van de vergelijking X aftrekken levert 9X = 1, oftewel X = 1/9 meter. De schildpad legt dus zo'n elf centimeter af, en Achilles een meter meer:

1 + X = 1 + 1/9 m = 1,1111111... m

Ook als u niets van het oplossen van wiskundige vergelijkingen weet, zal het uiteindelijke antwoord u niet verbazen - het volgt namelijk direct uit de redenering van de schildpad zelf! In diens redenering legt Achilles eerst een meter af, dan nog tien centimeter (0,1 meter), dan nog een centimeter (0,01 meter), dan een millimeter (0,001 meter), enzovoort. Het optellen van al die afstanden geeft hetzelfde resultaat als de bovenstaande meer abstracte berekening: 1,111111... meter.

Goochelen met getallen

Daarmee, zou je zeggen, is alles over deze simpele hardloopwestrijd wel gezegd. Niets is echter minder waar. Laten we hetzelde antwoord om dat te zien op nog twee andere manieren schrijven:

1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 10/9

Ik heb de eenheid "meter" hier voor het gemak weggelaten. Aan de linkerkant van deze vergelijking is de som 1 + 0,1 + 0,01 + ... in breuken uitgeschreven; aan de rechterkant hs het getal 1 + 1/9 herschreven als 10/9.

Om de betekenis van deze schrijfwijze te begrijpen, gaan we nu wat goochelen met getallen. We kunnen de breuk 10/9 iets ingewikkelder schrijven: 10 gedeeld door 9 is hetzelfde als 1 gedeeld door 0,9, en 0,9 is 9/10, wat we ook weer kunnen schrijven als 1 - 1/10. Alles bij elkaar vinden we dus

1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 1 / (1 - 1/10)

De reden om de rechterkant van de vergelijking op deze manier te schrijven, is dat het fundamentele getal 1/10 - de verhouding tussen de snelheid van de schildpad en die van Achilles - er nu duidelijk in naar voren komt.

Aan de linkerkant van de vergelijking zien we ook het getal 1/10 staan. Verder zien we daar bijvoorbeeld  het getal 1/100, wat het kwadraat is van 1/10. En we zien 1/1000, wat de derde macht is van 1/10. Om de belangrijke rol van het getal 1/10 in deze vergelijking dus nóg beter naar voren te laten komen kunnen, we die ook schrijven als

1 + 1/10 + (1/10) ² + (1/10)³ + ... = 1 / (1 - 1/10)

Waarom nu al deze moeite? De reden is dat we de uitkomst van het probleem nu volledig herschreven hebben in termen van het getal waarmee het probleem begon: de snelheid van de schildpad ten opzichte van die van Achilles. We kunnen daarmee iets leren over een meer algemene klasse van problemen. Wat als de schildpad bijvoorbeeld een kind was geweest dat half zo hard liep als Achilles? De bovenstaande uitdrukking doet vermoeden dat Achilles het kind dan had ingehaald na een afstand die we ook weer op twee manieren kunnen schrijven: als

1 + 1/2 + (1/2) ² + (1/2)³ + ... = 1 / (1 - 1/2)

meter. De linkerkant van de vergelijking is weer de uitkomst volgens de "schildpad-redenering". De rechterkant geeft ons een eenvoudige manier om die uitkomst te berekenen: 1 gedeeld door (1 - 1/2) is gelijk aan 1 gedeeld door 1/2, wat weer gelijk is aan 2. We vermoeden dus dat Achilles het kind na twee meter inhaalt. Een heel logisch antwoord: gezien de ene meter voorsprong heeft het kind op dat moment zelf een meter afgelegd, wat helemaal klopt met de bewering dat Achilles tweemaal zo snel loopt. Wie een rekenmachine bij de hand heeft kan nagaan dat ook de optelsom aan de linkerkant van de vergelijking het getal 2 steeds dichter benadert.

Ook dit voorbeeld is natuurlijk nog betrekkelijk eenvoudig - we hadden het antwoord ook zonder ingewikkeld rekenwerk wel kunnen raden. Lastiger wordt het al als Achilles bijvoorbeeld zeven maal zo snel loopt als zijn tegenstander; het uitrekenen van de optelsom

1 + 1/7 + 1/49 + ...

valt dan beslist niet meer mee. Aan de andere kant kunnen we de uitkomst

1 / (1 - 1/7)

direct op een rekenmachine intypen, en zo snel het antwoord vinden: Achilles haalt deze tegenstander in na 1,1666666... meter.

Tweeduizend jaar later...

Goed, voor een weblog dat over de moderne natuur- en wiskunde moet gaan heb ik het nu al wel erg lang over hardloopwedstrijden die tweeduizend jaar geleden door de oude Grieken werden besproken. Wat heeft dit alles met de moderne wetenschap te maken?

Het volgende: het probleem van Achilles en de schildpad blijkt een mooi voorbeeld voor wat in de moderne wetenschap bekend staat als storingsrekening. In het bovenstaande voorbeeld hadden we twee manieren om de afgelegde afstand uit te rekenen: als een oneindige optelling van steeds kleiner wordende termen, of als een eenvoudige breuk. De breuk geeft de exacte uitkomst; de oneindige optelsom geeft een steeds beter wordende benadering daarvan.

In de moderne natuurkunde zijn berekeningen helaas vaak dusdanig ingewikkeld dat het onmogelijk is om het exacte antwoord uit te rekenen. Aan de andere kant kunnen we wel vaak een benadering vinden die de vorm aanneemt zoals we die in het voorbeeld van Achilles en de schildpad zagen: een oneindige optelsom van steeds kleiner wordende getallen, die uiteindelijk de juiste uitkomst willekeurig dicht benaderen.

Een goed voorbeeld hiervan is het zogenaamde Standaardmodel van de elementaire deeltjes. Dit Standaardmodel bestaat uit een verzameling wiskundige vergelijkingen, waaruit in principe alle eigenschappen van de elementaire deeltjes waaruit wij bestaan (protonen, neutronen, elektronen, quarks...) kunnen worden berekend. Die berekeningen vallen echter beslist niet mee! Sterker nog, het exact uitrekenen van zelfs de eenvoudigste grootheden is vaak onmogelijk. Er bestaat echter wel een methode, ontdekt door en vernoemd naar de Amerikaanse fysicus Richard Feynman, waarmee we dergelijke antwoorden met behulp van storingsrekening willekeurig dicht kunnen benadert.

Een voorbeeld is het magnetische moment van het elektron. Het magnetische moment van een deeltje is een getal dat aangeeft hoe sterk de magnetische krachten zijn die dat elementaire deeltje op zijn omgeving uitoefent. Wanneer we het magnetische moment van het elektron uitdrukken in de eenheden die in de quantummechanica gebruikelijk zijn, valt betrekkelijk eenvoudig uit te rekenen dat dit magnetische moment vrijwel gelijk is aan 2. Voor het uitrekenen van het exacte antwoord is daarentegen gecompliceerde quantummechanica nodig, en de berekening is een helse opgave. De enige methode die we op dit moment kennen om het antwoord te benaderen is een storingsrekening volgens de methode van Feynman. Een dergelijke Achilles-en-de-schildpadbenadering geeft als antwoord

magnetisch moment = 2,00231930419922...

Verbazenderwijs kan het magnetische moment van het elektron in experimenten ook met een dergelijke enorme precisie worden gemeten, en het blijkt dat alle decimalen in de bovenstaande uitkomst precies kloppen! Dit voorbeeld wordt gezien als een van de belangrijkste bewijzen voor de juistheid van het Standaardmodel. Maar dat niet alleen - het geeft ook een goed beeld van de geweldige kracht van de methode van storingsrekening! Het is niet overdreven om te zeggen dat de storingsrekening een van de fundamentele ingredienten van de moderne natuurkunde is, en dat vrijwel alle vergelijkingen tussen experimentele resultaten en theoretische voorspellingen in de elementaire-deeltjesfysica van de afgelopen decennia gebruik maken van dit idee.

Wolken aan de horizon

Toch is ook storingsrekening niet zaligmakend. Bij het toepassen van de methode kan een fysicus te maken krijgen met twee problemen. Het eerste is, dat ook het uitrekenen van een storingsbenadering nog een enorme klus kan zijn. In het voorbeeld van Achilles en de schildpad gaf het optellen van de eerste vier of vijf getallen in de optelsom al een heel goede benadering van het exacte antwoord. In de quantummechanica is het echter vaak zo dat voor een goede benadering eerder duizenden, miljoenen of zelfs miljarden getallen moeten worden opgeteld. Bovendien is voor het bepalen van elk van deze getallen afzonderlijk vaak een lastige berekening vereist. Zelfs met behulp van computers kunnen dergelijke berekeningen voor een precisie van meer dan twee of drie decimalen al ondoenlijk worden - de bovengenoemde extreem nauwkeurige uitkomst voor het magnetische moment van het elektron is wat dat betreft een vreemde eend in de bijt.

Een tweede probleem met storingsrekening is zo mogelijk nog groter: soms leidt storingsrekening überhaupt niet tot zinvolle uitkomsten. Stel dat Achilles een race zou lopen tegen Superman. Griekse helden leggen het vanzelfsprekend af tegen moderne helden - Superman loopt nog eens tweemaal zo snel als Achilles. Achilles zal Superman, als deze laatste een meter voorsprong krijgt, dus nooit inhalen. In eerste instantie lijkt dit in overeenkomst met het naief toepassen van de storingsrekening: de optelsom

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

leidt niet tot antwoorden die een bepaald getal steeds dichter benaderen. Aan de andere kant kunnen we ook het exacte antwoord naïef generaliseren:

1 / (1 - 2) = 1 / (-1) = -1

Dit antwoord is, als we er even over nadenken, op zich zo gek nog niet. Stel dat Superman inderdaad een meter voorsprong op Achilles heeft - maar niet omdat hij die meter voorsprong krijgt, maar omdat de race al een tijdje bezig is. Hij heeft Achilles dus op een eerder tijdstip ingehaald. Toen Achilles één meter minder ver was dan hij nu is (de uitkomst van bovenstaande berekening) was Superman twee meter minder ver dan nu, en waren de twee dus op hetzelfde punt. Superman heeft Achilles dus een meter terug ingehaald, en dit is de betekenis van de uitkomst van het exacte antwoord.

We zien hier dat het exacte antwoord wel degelijk een betekenis heeft, maar dat de storingsrekening dat antwoord niet reproduceert. De reden is, dat het getal 2 te groot is. De opeenvolgende getallen in de storingsrekening worden, door de grootte van dit getal 2, steeds groter, in plaats van steeds kleiner. De enthousiaste lezer kan met wat experimenteren zichzelf ervan overtuigen dat de storingsrekening in het schildpadprobleem altijd werkt voor getallen kleiner dan 1, en nooit voor getallen groter dan 1. (Het hoeft hier niet eens om positieve getallen te gaan - ook voor negatieve getallen groter dan -1 werkt de storingsrekening. Het is een aardige opgave om zelf te proberen de fysische betekenis van deze uitkomsten, bijvoorbeeld voor het getal -1/2, te begrijpen.)

Ook in de moderne natuurkunde komen we dit probleem tegen. Wanneer we bijvoorbeeld berekeningen doen aan quarks, in plaats van aan elektronen, stuiten we regelmatig op storingsberekeningen waarin de opeenvolgende correcties steeds groter worden in plaats van steeds kleiner. Dit is de reden dat veel eigenschappen van quarks, zoals het feit dat ze nooit alleen voorkomen, maar altijd in groepjes van twee of meer, nog altijd erg slecht begrepen zijn. In dergelijke gevallen heeft de storingsrekening dus geen nut, en zit de fysicus met de handen in het haar.

Hoe nu verder?

Het gigantische aantal correctietermen dat we soms moeten uitrekenen, en het feit dat de storingsrekening af en toe überhaupt niet werkt, zijn twee grote problemen voor de moderne fysica. In de zoektocht naar oplossingen is wat allebei de problemen betreft zeer recent een aantal interessante vorderingen gemaakt. Dit stukje is echter al meer dan lang genoeg geworden - het bespreken van die recente ontwikkelingen bewaar ik dus voor een volgende keer!

Geschreven in Wetenschap | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken