14. April 2013, 19:55

Er zijn heel wat problemen die al verschillende eeuwen meegaan, en daarom dus waarschijnlijk wel interessant zullen zijn. Nu en dan zullen we proberen er een voor te stellen in deze blog. Het eerste probleem veroorzaakt al meer dan 2000 jaar publicaties.

Boeken die verloren gegaan zijn, zijn altijd interessant voor speculatie. Apollonius van Perga (262-192 voor Christus) schreef een boek (over wiskunde) met als titel Over aanrakingen. Een van de problemen die hij stelt in dit boek, is het volgende. Gegeven drie cirkels. Bepaal een cirkel die raakt aan deze 3 cirkels. Deze sangaku (van Hotta Jinsuke uit 1788) maakt er duidelijk gebruik van (rechts zie je het origineel):

Het boek van Apollonius is verloren gegaan, maar dankzij Pappus van Alexandrië (290-350) weten we dat het heeft bestaan, en ook dat het probleem door Apollonius inderdaad is opgelost. Sinds dan hebben heel wat wiskundigen de draad van dit Probleem van Apollonius weer opgepakt. Bijvoorbeeld de Fransman François Viète (of Vieta, 1540-1603) die er een boek over schreef, met als titel Apollonius Gallus:

Lachen met de Belgen was er ook in die tijd al bij. Vieta beantwoordde een uitdaging gesteld door de Leuvense wiskundige Adriaan van Roomen (1561-1615) met een andere uitdaging:

Gezocht: een cirkel die raakt aan deze twee gegeven cirkels.
Het is duidelijk dat er meerdere oplossingen zijn. In de volgende figuur zie je er enkele:


Om er een te selecteren geven we een extra punt erbij. We zoeken nu de cirkel die raakt aan beide cirkels en door het aangegeven punt op de grootste cirkel gaat:


Hoe gaan we te werk? Je ziet hier de opeenvolgende stappen in het proces:

Het middelpunt van de gezochte cirkel ligt op de zwarte lijn, door symmetrie.

Teken met het gegeven punt als middelpunt een cirkel even groot als de tweede. Deze cirkel snijdt de zwarte lijn in het blauwe punt.

Als we nu een cirkel zoeken met middelpunt op de zwarte lijn, door de twee blauwe punten, dan zal de gezochte cirkel hetzelfde middelpunt hebben. De rode rechte is de verzameling van alle punten die op gelijke afstand liggen van de twee blauwe. Het middelpunt van de cirkel door de twee blauwe punten is dus het rode punt.

Nu kunnen we de gezochte cirkel tekenen. Middelpunt is het rode punt, straal is de afstand van dit punt tot het punt op de omtrek van de groene cirkel.  Klaar.

Geschreven in De klassieke problemen uit de wiskunde | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken

14. Maart 2013, 06:19

Uw zwakke brein kan plots verkeerd beslissen. Of ook: I nunc, O Baili, Parnassum et desere rupem, dic sacra Peridium deteriora quadris! En dit allemaal als gevolg van de verzuchting: how I wish I could enumerate pi easily...
Naar jaarlijkse traditie (de vorige versie vind je hier) presenteren we hier ter lering en vermaak opnieuw een hele resem $\pi$-weetjes.

Wist je al ...

• $\ldots$ dat het vandaag 14 maart $\pi$-dag is? Waarom? Omdat in de Amerikaanse schrijfwijze de datum 14 maart genoteerd wordt als 3/14 en 3,14 is een benadering voor het getal $\pi$.
• dat Eric Baranyanka (vroeger bij de Ketnetband) een nummer heeft gemaakt over het getal $\pi$, en $\pi$-dag? Klik hier.
• $\ldots$ dat je vandaag om 15 u taart moet eten?
  Ik kreeg mijn eerste echte $\pi$-taart vorig jaar: Zoals je kunt zien was het een zeer grote. Goed voor 18 personen. Ik heb ze gekregen van mijn baas, die echt wel zin krijgt in $\pi$-dag. Bedankt Martine!
  
  
  
  
• $\ldots$ dat het record uit 2010 voor het berekenen van de verste decimaal van het getal $\pi$, dat op naam stond van een team van Yahoo dat hiervoor 1000 computers gebruikte, is verpulverd door Ed Karrels in augustus 2012?
  Beginnend vanaf de 1.000.000.000.000.000ste plaats zijn de volgende 26 hexadecimale cijfers:
  
  8353CB3F7F0C9ACCFA9AA215F2
  
  Karrels maakte hiervoor gebruik van een speciale formule ontdekt door Fabrice Bellard in 1997.
  Deze formule is speciaal in de zin dat je er decimalen van $\pi$ mee kan berekenen zonder de vorige uit te rekenen zoals de meeste algoritmes doen.
• $\ldots$ dat de volgende bekende formule
  $$\cos {{\pi}\over{3}} = \frac{1}{2}$$ slechts een speciaal geval is van een oneindige rij van soortgelijke formules met in het rechterlid $\frac{1}{2}$? Hier zijn de volgende drie: $$ \cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5}= \frac{1}{2} $$ $$ \cos \frac{\pi}{7} - \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7}= \frac{1}{2} $$ $$ \cos \frac{\pi}{9} - \cos \frac{2\pi}{9} + \cos \frac{3\pi}{9} - \cos \frac{4\pi}{9}= \frac{1}{2} $$ Dit werd bewezen door Packard en Reitenbach in april 2012.
• $\ldots$ dat als je een configuratie hebt zoals deze:
  
  
  
  
  
  met 4 cirkels (cirkels doen - hopelijk - aan $\pi$ denken) die elkaar raken, dat de stralen van deze cirkels dan voldoen aan de volgende vergelijking?
  $$ \frac{1}{(R_1)^2} + \frac{1}{(R_2)^2} + \frac{1}{(R_3)^2} + \frac{1}{(R_4)^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} \right)^2 $$ Dit staat bekend als de Cirkelstelling van Descartes.
• $\ldots$ dat de film Life of Pi onlangs 4 Oscars heeft gewonnen?
  Het boek waarnaar de film is gemaakt: Life of Pi door Yann Martel, won de Booker Prize in 2002. Van het boek werd onlangs het 3.141.593ste exemplaar in de originele versie verkocht. En het zal wel geen toeval zijn dat de hoofdpersoon Pi een schipbreuk overleeft en precies $\underline{227}$ dagen in een reddingsboot/vlot (samen met een Bengaalse tijger) blijft ronddobberen ($\frac{22}{7}$ is een bekende benadering van $\pi$).
  
  
  
  
  
  Dit is hoe de hoofdpersoon, Pi, aan zijn bijnaam komt:
  
  
  My name is Piscine Molitor Patel, known to all as - I double underlined the first two letters of my given name - Pi Patel. For good measure, I added, $\pi$ = 3.14, and I drew a large circle, which I then sliced in two with a diameter, to evoke that basic lesson of geometry.
  
• $\ldots$ dat op 12 september 2012 vijf vliegtuigen met dot-matrix luchtschrifttechnologie duizend decimalen van $\pi$ hebben geschreven in de hemel van de San Francisco Bay Area op een hoogte van 3.000 meter?
  De cijfers waren elk bijna 400 m hoog, en ze waren geplaatst in een 161 km lange lus: 
  
  
  
  
  
  Dit evenement werd Pi in the Sky genoemd, en het is een $\pi$-record: de grootste fysieke uitdrukking voor het getal $\pi$ ooit.
• $\ldots$ dat de Poolse wiskundige Adam Adamandy Kochanski in 1685 een eenvoudige constructie van (een benadering van) het getal $\pi$ heeft gepubliceerd? Hier is ze:
  
  
  
• $\ldots$ dat er heel wat materiaal is voor $\pi$-verzamelaars?
  
  
  
  
  
  (Dank u, Imanol, voor de fles!)
• $\ldots$ dat het volgende geldt? $$ \cos (\pi \cos (\ln (\pi+20))) = -1 $$ Als je het nog niet wist, het heeft geen zin het te onthouden, want het is niet waar. Het is slechts een benadering, maar een hele goede. Als je dit berekent met je rekentoestel, dan krijg je inderdaad $-1$. Maar de werkelijke waarde is: $$ -0.99999999999999999717719... $$ die zeer dicht bij $-1$ zit . Dit is een gevolg van het feit dat $e^\pi-\pi =19.999099979...$.
• $\ldots$ dat er een limerick is die het trieste verhaal vertelt van William Shanks (1812-1882)? Hij berekende de eerste 707 decimalen van het getal $\pi$ met de hand. Het kostte hem 15 jaar. Later, in 1944, werd ontdekt dat alleen de eerste 527 correct waren. De limerick is van de hand van N. Rose.
  
  
  Seven hundred seven, Shanks did state,
  Digits of $\pi$ he would calculate
  And none could deny
  It was a good try
  But he erred in five twenty-eight.

Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

23. Februari 2013, 21:19

Volmaakte getallen en een Franse monnik

Historici kibbelen nog een beetje over wanneer juist de mens de priemgetallen ontdekt heeft, maar we kunnen wel stellen dat ze voor het eerst uitgebreid bestudeerd zijn in de Griekse oudheid. Een getal zoals 6 werd door de Grieken (en nog altijd) een samengesteld getal genoemd omdat het kan ontbonden worden als product van andere getallen: 6 = 2 × 3. Priemgetallen zijn enkel deelbaar door 1 en zichzelf en spelen dus binnen de getaltheorie de rol van basiselementen zoals de atomen in de chemie. Maar deze metafoor is niet erg geslaagd, want er bestaat niet zoiets als een tabel van Mendeljev voor priemgetallen.

Om te beginnen zijn er oneindig veel priemgetallen, reeds in de 3de eeuw voor Christus bewezen door Euclides. Bovendien duiken ze willekeurig op tussen de natuurlijke getallen en schijnen ze zich aan geen enkele wet of regel te storen (zoals “onkruid”, om met Don Zagier te spreken). Anderzijds is het een boeiend tijdverdrijf voor getaltheoretici om juist tussen deze schijnbare willekeur naar patronen te zoeken. Lees bijvoorbeeld onze vroegere blogbijdrage over de eenzaamheid van de priemgetallen. Iets minder bekend (voor het grote publiek) is dat de oude Grieken de samengestelde getallen onderverdeelden in drie categorieën:

Aan volmaakte getallen werden mystieke en religieuze eigenschappen toegeschreven, niet alleen door de Grieken, maar ook door de christenen, de Egyptenaren en wie weet nog altijd heden ten dage door sommige esoterische zonnegroetende medemensen. Nochtans kenden de Grieken maar 4 volmaakte getallen: 6, 28, 496 en 8128. Merk op dat al deze volmaakte getallen even zijn. Tot nu toe heeft men nog geen enkel oneven volmaakt getal gevonden en er zijn sterke aanwijzingen dat oneven volmaakte getallen niet bestaan.

De Grieken hadden deze volmaakte getallen gevonden met behulp van een procedé van Euclides: neem een priemgetal p en bereken 2^p-1(2^p-1):


Helaas liep het mis bij p = 11. Inderdaad, 2¹⁰(2¹¹-1) is niet volmaakt. De reden van het falen is dat 2¹¹−1 = 2047 = 23×89 geen priemgetal is, een inzicht dat al aanwezig was bij Euclides.
Maar het was wachten tot de 18de eeuw vooraleer Leonhard Euler (Zwitserse wiskundige buiten categorie) dit mooi verband tussen priemgetallen en volmaakte getallen bewees:

p	Mp
2	3
3	7
5	31
7	127
13	8191
17	131071
19	524287
31	2147483647

Wie goed heeft opgelet, beseft dat deze lijst meteen ook 8 volmaakte getallen oplevert, via de formule van Euclides-Euler: N = 2^p-1(2^p-1). Mersenne had ook nog M₆₇, M₁₂₇ en M₂₅₇ in zijn lijst opgenomen, maar hiervan ontdekte men achteraf dat M₆₇ en M₂₅₇ samengestelde getallen zijn. Onze monnik had dus geen foutloos werk afgeleverd, en had bovendien M₆₁, M₈₉ en M₁₀₇ over het hoofd gezien, die wel priemgetallen waren.

Een priemrecord

In de loop der geschiedenis is deze lijst van Mersennepriemgetallen druppelsgewijs aangevuld. Zoals andere priemgetallen worden ook zij steeds zeldzamer naarmate de getallen langer worden, het is zelfs geenszins zeker dat er oneindig veel Mersennepriemgetallen bestaan. Behalve hun rol in het construeren van volmaakte getallen, zijn Mersennepriemgetallen ook handig in de zoektocht naar grote priemgetallen.

Juist vanwege het ontbreken van enige regelmaat of formule voor priemgetallen is het zelfs voor de snelste supercomputers uitputtend werk om voor een groot getal (van pakweg een miljoen cijfers) na te gaan of het al dan niet een priemgetal is.
Deze maand werd in de betere kranten en tijdschriften melding gemaakt van een opmerkelijk record: op 25 januari 2013 heeft Curtis Cooper, een wiskundige uit Missouri, een priemgetal met 17.425.170 cijfers ontdekt. Dit is het grootste tot nu toe bekende priemgetal, en bovendien een Mersennepriemgetal: 2^57.885.161-1.
Dit is geen toeval, alle vorige records van de laatste 20 jaar waren ook Mersennepriemgetallen. Het zit namelijk zo dat voor getallen van de vorm M_p = 2^p-1 de zogenaamde Lucas-Lehmertest ontwikkeld is, waarmee ze sneller ontmaskerd worden als een priemgetal dan een ander getal van dezelfde lengte. Opgelet, het blijft een titanenwerk natuurlijk (het vorige record dateert alweer van 5 jaar geleden).
Eigenlijk is Curtis Cooper een deelnemer van het vrijwilligersproject Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), waarin wereldwijd ongeveer 360.000 computerprocessoren verbonden zijn in een grid-configuratie, die op piekmomenten ongeveer 150 × 10¹² berekeningen per seconde maakt.
Het priemgetal dat in 25 januari 2013 gevonden werd door Curtis (en nadien door anderen gecontroleerd) is het 48ste Mersennepriemgetal dat tot nu toe ontdekt werd. En wie weet, misschien het allerlaatste dat sowieso voorhanden is. Misschien heeft God om een of andere reden beslist om ons maar 48 volmaakte getallen te schenken.

Grote priemgetallen en veilig bankverkeer 

Maar kan je daar nu ook iets nuttigs mee doen, met grote priemgetallen? hoor ik je al vragen. Sinds kort wel. En wel als gevolg van een ander probleem ermee, dat zelfs niet met 360.000 computers is op te lossen. We proberen het even uit te leggen.

Het is heel eenvoudig twee grote getallen met elkaar te vermenigvuldigen. Neem bijvoorbeeld 352617 en 273872. Wil je hiervan het product hebben, dan neem je een rekentoestel, je tikt de getallen in en je krijgt je resultaat:

Maar het omgekeerde is lastiger: je krijgt een groot getal, zoek de factoren ervan. Bijvoorbeeld het getal 3141592657389793238462643383. Zelfs als je weet dat dit getal het product is van slechts twee priemfactoren, het is heel moeilijk om die twee factoren te bepalen, want in essentie moet je daarvoor achtereenvolgens de getallen 2,3,4,... als delers testen.
Opmerking: het resultaat is overigens


Er is iets asymmetrisch aan de zaak, en die asymmetrie kan gebruikt worden om een zeer veilig beveiligingssysteem te maken. We schetsen de grote lijnen.
Het gaat hier om het veilig uitwisselen van informatie tussen twee partijen, laten we het even houden op een bank en haar klanten. Een van de klanten wil informatie doorsturen naar de bank, en allle klanten hebben van de bank een "sleutel" gekregen waarmee ze die informatie kunnen versleutelen. De sleutel bestaat uit 2 getallen, een van beide is het product van 2 grote priemgetallen. We zullen het eenvoudig houden, en met kleine priemgetallen werken, stel 17 en 19, met product 323. Het andere getal is tamelijk willekeurig te kiezen, neem bijvoorbeeld 7. Dus alle klanten kennen die 2 getallen: 7 en 323.
Klant A wil iets doorsturen naar de bank, het kan bijvoorbeeld ook een tekst zijn, of een woord, laten we het houden op het woord BAD (onwaarschijnlijk, ik geef het toe). Wat moet de klant dan doen om deze boodschap te versleutelen?
Eerst moet hij met een welbepaald systeem dat de bank ook kent dit woord omzetten naar een getal, voor de eenvoud zullen we elke letter laten overeenkomen met de plaats ervan in het alfabet.
BAD wordt dan 214.
Dat resultaat verheft de klant tot de zevende macht (7 was het eerste deel van de sleutel), dus de klant berekent:

Hij kijkt hoeveel maal 323 (het tweede deel van de sleutel) in dit getal past, en bepaalt de rest:

Geschreven in Algemeen | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

16. Juli 2012, 10:17

Nu en dan breekt de zon door de wolken, en lijkt het ons een goed idee even een frisse neus te halen. We reden recht naar het gemeentehuis van De Panne om daar te gaan genieten van een kunstwerk in het kader van Beaufort04. Een eerder wiskundig kunstwerk, wat hadden jullie gedacht? Van de Maltese kunstenaar Norbert Francis Attard (geboren in 1951), met als titel Boundaries of Infinity:

Je ziet er o.a. de rij van Fibonacci, en de gulden spiraal.
Het goede nieuws hier is dat het er ook na Beaufort04 nog blijft staan. 
Een typisch voorbeeld van wisku(n)st. 
Vandaar ging het naar Brugge, waar we bij de echte vader van de Wisconst uitkwamen: Simon Stevin (1548-1620) wiens standbeeld prijkt op het ... Simon Stevinplein. Met de moderne camera kan je zo'n beeld dichterbij brengen, en dus hebben we ook de details kunnen bestuderen:

Bovenaan rechts zie je een afbeelding die te maken heeft met de hydrostatische paradox, en net daaronder de beroemde Clootcrans (die o.a. door Richard Feynman de hemel werd ingeprezen). Je herkent ook een tekening van de Zeilwagen die door Stevin werd uitgevonden, en die door Nederlandse schrijver Hugo Grotius (1583-1645) als volgt bezongen werd:


(mogelijke vertaling, van Prudens Van Duyse uit 1846:

Maar kan iemand me vertellen wat het onderste detail voorstelt? Graag in een reactie op deze blog!

Vakantie betekent voor mij ook: lezen. Naar jaarlijkse traditie bespreek ik hier dan ook enkele boeken die ik recent met plezier heb gelezen.

Het eerste boek gaat over de wiskunde achter de Sudoku. Maar dan ook alle wiskunde achter de Sudoku.
Wie lost er eens niet graag een Sudoku op?
Hier zie je er alvast een waarvan de vorm ons wel aanstaat. Zien jullie waarom?


  

---

Jason Rosenhouse en Laura Taalman, Taking Sudoku Seriously. The Math Behind the World's Most Popular Pencil Puzzle. Oxford University Press (2011) 214 pagina's.  Dit is een prachtig, in kleuren uitgegeven boek in verband met sudoku's. Het gaat niet zozeer over hoe je een sudoku moet oplossen, maar wel over allerlei dingen die met sudoku te maken hebben. Hoeveel sudoku's zijn er mogelijk, en hoe bereken je dat aantal? Hoe maak je zelf een sudoku vertrekkend van een 9 bij 9-veld dat volledig leeg is? Wat is het verband met Grieks-Latijnse vierkanten?  Sudoku's worden ook gebruikt als aanleiding om over wiskunde te praten, meer bepaald over bijvoorbeeld grafentheorie, en over veeltermen. Het boek is geschreven net voor bewezen werd dat er minstens 17 getallen bij de start moeten ingevuld zijn om een unieke oplossing te hebben (lees meer hier). Op dat punt hadden de auteurs dus pech.  Het laatste hoofdstuk bevat sudoku-varianten, voor de liefhebbers van het genre. Met oplossingen. Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο Score: Θ Θ Θ Θ Ο

---

Dat mathematics en magic goed samengaan, dat weten we al langer, dankzij Martin Gardner bijvoorbeeld. Zelf vind ik het goochelen met speelkaarten erg aantrekkelijk, ook omdat je er weinig meer voor nodig hebt dan een spel kaarten. Een van de bekendste kaarttrucs die gebaseerd is op een wiskundig principe is de truc met de 21 kaarten.



Lees meer hier, de eerste truc.
Over de auteurs van het volgende boek valt heel wat te vertellen. Persi Diaconis begon als goochelaar, en ging later wiskunde studeren. Ron Graham was niet alleen president van de American Mathematical Society maar ook van de International Juggler's Association. Beiden hebben ze Erdösgetal 1.

---

Persi Diaconis en Ron Graham, Magical Mathematics. The Mathematical Ideas that Animate Great Magic Tricks. Princeton University Press (2012) 244 pagina's. Ook een prachtig boek. Over wiskunde en goocheltrucs, met en zonder speelkaarten. Eerst met. Het eerste hoofdstuk begint met Baby Hummer, een truc genoemd naar de uitvinder ervan, Bob Hummer, en een aanloop naar een uitgebreide versie: Royal Hummer. Hier en daar vind je een stelling, met bewijs. Hoofdstukken 2, 3 en 4 gaan over de Bruijn-rijen, en hoe ze in kaarttrucs nut hebben. Dan is er een hoofdstuk over het geweldige Gilbreath-principe (zie ook het filmpje hier), en het verband met de Mandelbrotverzameling. En een over perfecte en andere shuffles.  Vervolgens gaan de auteurs op zoek naar de oudste goocheltrucs, bespreken ze de magie in de I Ching, hebben ze het over jongleren en tot slot belichten ze op een persoonlijke manier 7 goochelaars.  De wiskunde achter de trucs is soms wel lastig, maar je kan die stukken ook gewoon overslaan. De trucs zijn erg leuk. Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο Score: Θ Θ Θ Ο Ο

---

Het volgende boek gaat volledig over het Handelsreizigersprobleem (Traveling Salesman Problem of TSP). Het probleem is het volgende: gegeven n steden en de afstanden tussen elk paar van deze steden (via bestaande wegen).

Een handelsreiziger moet elk van deze steden precies eenmaal bezoeken. Bepaal de kortste weg die hiervoor kan worden gebruikt.
Dit probleem kadert in de grafentheorie, een tak van de wiskunde die geïnitieerd werd door Leonhard Euler met zijn 7 bruggen van Königsberg: de Russische stad Königsberg bestaat uit twee eilanden en een deel van de oevers van de Pregel. Er zijn 7 bruggen die de verschillende delen van de stad met elkaar verbinden. De vraag is of je deze stad kan bezoeken door elke brug precies 1 keer te gebruiken.

Het antwoord is: neen.
TSP is gerelateerd aan het P versus NP-probleem, een van de millenniumproblemen.

---

William J. Cook, In Pursuit of the Traveling Salesman. Mathematics at the Limits of Computation. Princeton University Press (2012) 228 pagina's. In dit boek lees je echt alles over wat er op dit ogenblik geweten is in verband met het Handelsreizigersprobleem: geschiedenis, oplossingsmethodes, toepassingen, verbanden met andere disciplines. Omdat de auteur de zaken in detail beschrijft, is dit zeker geen gemakkelijk boek om te lezen. Hier en daar komt er ook wat algebra bij kijken.  Het boek geeft wel een goed overzicht van deze bloeiende tak van de wiskunde.  Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο Score: Θ Θ Ο Ο Ο

---

Ook elliptische krommen zijn hot topics in de wiskunde, en niet alleen omdat een ander millenniumprobleem, met name het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer, in deze branche zit. Elliptische krommen worden o.a. gebruikt in de cryptografie, en het zou best kunnen dat je GSM elliptische krommen gebruikt om gegevens mee te versleutelen.

---

Avner Ash en Robert Gross, Elliptic Tales. Curves, Counting and Number Theory. Princeton University Presss (2012) 253 pagina's.  Dit boek is te moeilijk voor de leek. Je moet al wel wat wiskunde kennen om het tot het einde toe te kunnen volgen. Maar het loont om door te zetten: als je er doorheen geraakt, dan begrijp je waar het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer precies over gaat. En je komt op de weg daar naartoe heel wat te weten over elliptische krommen. De auteurs doen hun best om alles zeer geleidelijk op te bouwen, en ze zeggen wel dat je niet zoveel voorkennis nodig hebt, maar enkele jaren wiskundestudies zijn toch echt wel nodig. Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο Score: Θ Ο Ο Ο Ο    Score voor wiskundigen: Θ Θ Θ Θ Ο

---

Nog twee te gaan. We beperken ons tot de essentie.

---

Dana Mackenzie, The Universe in Zero Words. The Story of Mathematics as Told through Equations. Princeton University Press (2012) 224 pagina's. Dit boek is ideaal voor de geïnteresseerde leek die wel wat wiskunde gehad heeft. De titel zegt het al: het gaat om een geschiedenis van de wiskunde verteld aan de hand van de belangrijkste wiskundige formules en vergelijkingen. Het is iets breder: ook belangrijke vergelijkingen uit de fysica, zoals bijvoorbeeld $E=mc^2$, komen aan bod. Het boek is opgedeeld in vier delen: de oudheid - tot de 19de eeuw - de 19de eeuw - de 20ste eeuw. Korte hoofdstukken, die erg leuk zijn om te lezen. Met mooie illustraties. Een aanrader! Kan zeker ook als coffee table book gebruikt worden. Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο Score: Θ Θ Θ Θ O

---

Benjamin Wardhaugh, A Wealth of Numbers: An Anthology of 500 Years of Popular Mathematics Writing. Princeton University Press (2012) 370 pagina's. Je zou kunnen denken dat dit boek perfect past in deze blog, die de bedoeling heeft de wiskunde te populariseren (of is het andersom: deze blog past perfect in dit boek?). Het gaat om een anthologie: een bundeling van een aantal teksten die een periode van meer dan 500 jaar omspannen, en die de bedoeling hebben de wiskunde te populariseren.  De oudste tekst in dit boek dateert van 1481, en is een Engelse vertaling van een deel van een Frans boek uit 1246. Het gaat over vier van de seven vrie consten, o.a. de geometrie en de arithmetica.  Puzzels, spelletjes, humor, dialogen, gedichten,... voor elk wat wils.  Het is niet echt een boek dat je van het begin tot het einde doorleest. De teksten die er in voorkomen zijn ook niet altijd echt boeiend. Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο Score:  Θ Θ Ο Ο Ο

---

Geschreven in Actuele wiskunde | 5 Reacties | Vaste link | Afdrukken

14. Juni 2012, 10:21

In een periode dat studerend Vlaanderen met proefwerken of examens zit, is het misschien niet zo opportuun veel over wiskunde te schrijven. Daarom gaan we de lichtere toer op door enkele anekdotes over bekende en minder bekende wiskundigen te vertellen. Toch een waarschuwing hierbij: hoewel de foto's die je hieronder vindt de indruk zouden kunnen wekken dat wiskundigen saaie en kleurloze figuren zijn, willen we dat met klem tegenspreken. Moest je denken dat er toch blijkbaar iets mis is met wiskundigen, dan willen we daar tegenoverstellen dat wiskundigen vaak gewoon een ander soort gevoel voor humor hebben. Noodgedwongen moeten we ons tot mannen beperken, niet omdat vrouwelijke wiskundigen eerder schaars zijn, maar omdat ze zich minder laten betrappen op afwijkend gedrag. 

---

1729 staat bekend als het Ramanujan-Hardy getal. De Britse wiskundige G. H. Hardy (1877-1947), die gespecialiseerd was in getaltheorie, en vooral bekend is door het feit dat hij het wiskundige wonderkind, de Indier Srinivasa Ramanujan (1887-1920), naar Cambridge haalde, vertelde dat hij op ziekenbezoek ging bij Ramanujan, en dat ze het op een bepaald moment hadden over het nummer van de taxi waarmee Hardy gekomen was. Hardy vond dat nummer, 1729, weinig interessant. "Helemaal niet", zei Ramanujan daarop, "1729 is het kleinste getal dat op twee verschillende manieren te schrijven is als de som van twee derdemachten." Inderdaad: $$1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 +10^3 $$

---

Norbert Wiener (1894-1964), een toegepast wiskundige, was bekend om zijn verstrooidheid. Op een dag ging hij naar een conferentie, en parkeerde zijn auto op de (grote) parking van de universiteit. Na de lezingen liep hij terug naar de parking, maar omdat hij vergeten was waar hij zijn auto had gezet, en eigenlijk ook niet meer wist hoe zijn auto eruit zag, was hij genoodzaakt daar te blijven wachten tot alle andere auto's weg waren. Op een bepaalde ogenblik verhuisde hij met zijn familie naar een ander huis een paar blokken verder. Zijn echtgenote, die wist dat ze aan haar man toch niets had bij zo'n bedoeningen, had hem naar zijn werk gestuurd 's morgens. 's Avonds zou dan wel alles verhuisd zijn. Voor de zekerheid had zij hem een papiertje met het nieuwe adres meegegeven. Na het werk wist Wiener niet meer wat zijn nieuwe adres was, en al evenmin wat er met dat papiertje gebeurd was. Hij ging dus maar gewoon naar zijn oude huis, en zag daar een kind staan waar hij aan vroeg: "Weet jij misschien naar welk adres de Wieners verhuisd zijn?" Waarop het meisje antwoordde: "Ja, papa. Mama dacht wel dat je naar hier zou komen, en heeft mij daarom gestuurd om je de weg te wijzen."

---

Henri Poincaré (1854-1912) was een van de grootste Franse wiskundigen. Over hem doet het volgende verhaal de ronde. Poincaré ging elke dag een brood kopen bij de bakker op de hoek. Hij merkte al snel op dat het brood, dat normaal 1 kg moest wegen, vaak merkelijk veel minder woog, en hij hield dan ook een jaar lang zorgvuldig bij wat het dagelijkse gewicht van het brood was. Hij zette de resultaten hiervan uit op een grafiek, en die bleek een mooie Gausscurve te zijn met als gemiddelde 950 g. Hij diende een klacht in bij de lokale politie, en de bakker kreeg een waarschuwing. Een jaar later diende Poincaré opnieuw klacht in. Hoewel het brood dat hij kocht bij de bakker nu wel het juiste gewicht had, kon hij bewijzen dat de bakker toch zijn klanten bedroog. De politie confronteerde de bakker met de aanklacht, waarop die de vraag stelde: "Hoe kan Poincare´ nu weten dat mijn broden toch niet het juiste gewicht hebben als er bij hemzelf geen problemen zijn?" Poincaré antwoordde met deze grafiek.

---

Logicus Kurt Gödel (1906-1978) was niet van deze wereld. In 1939 was hij uitgeweken naar de Verenigde Staten, en na enkele jaren in Princeton besloot hij mee te doen aan het examen om Amerikaans staatsburger te worden. Bij het bestuderen van de Amerikaanse grondwet ontdekte hij allerlei inconsistenties, en was daardoor erg in de war. Zijn collega John Von Neumann wist hem echter duidelijk te maken dat als je de zaken op een bepaalde manier bekeek, dat er dan geen logische problemen optraden. De dag van het examen kwam. Albert Einstein (rechtsboven) en Oskar Morgenstern (linksonder) begeleidden hem naar het examen. De rechter die het examen afnam vond het geweldig eens te kunnen praten met een beroemdheid zoals Einstein, en ze hadden het o.a. over Nazi-Duitsland. Op een bepaald ogenblik richt de rechter zich tot Gödel en zegt: "Maar je hebt waarschijnlijk wel gemerkt bij het doornemen van onze grondwet dat zoiets hier nooit kan gebeuren. Waarop Gödel: "Maar ...", en hij kreeg prompt (onder de tafel) een stamp van Morgenstern. Gödel kreeg het staatsburgerschap.

---

Abram Besicovitch (1891-1970) was een Russisch wiskundige die de wereld rondreisde en in 1927 in Cambridge (Engeland) terechtkwam. Op een dag ging hij op bezoek bij een collega die enkele honderden kilometers ver woonde. Dit gebeurde in een tijd dat telefoneren om een afspraak te maken erg duur was, dus hij stapte gewoon in zijn auto, reed enkele uren, belde aan en was blij te constateren dat zijn collega thuis was. Al snel ging het over wiskunde, en het was makkelijk Besicovitch te overtuigen om te blijven voor de lunch. Na de middag werkten ze verder, het werd avond, en Besicovitch's collega nodigde hem uit voor het avondeten. "Maar moet je niet even naar huis bellen om je vrouw te laten weten dat je nog hier bent? Misschien maakt ze zich wel ongerust, of is ze al eten aan het koken." Waarop Besicovitch antwoordt: "Dat is niet nodig. Ze weet dat ik nog hier ben: ze wacht in de auto."

---

We sluiten af met Paul Erdös (1913-1996), een van de grootste wiskundigen van de vorige eeuw, die we ook al op deze blog zijn tegengekomen. Erdös had de gewoonte wiskundecollega's op te bellen, op willekeurige momenten. Hij kende hun telefoonnummers van buiten, maar kende van niemand de voornaam. De enige die hij aansprak met zijn voornaam was Tom Trotter, die hij Bill noemde. Erdös ontmoette eens een wiskundige op de een of andere conferentie, en vroeg hem van waar hij was. Toen bleek dat hij werkte in Vancouver, zei Erdös: "Dan ken jij waarschijnlijk mijn goede vriend Elliott Mendelson?" De ander antwoordde: "Ik BEN je goede vriend Elliott Mendelson." Zie ook het Erdös-getal en Erdös-Bacon getal.

---

Bronnen:

Steven Krantz, Mathematical Apocrypha: Stories and Anecdotes of Mathematicians and the Mathematical, The Mathematical Association of America (2002)

Steven Krantz, Mathematical Apocrypha Redux: More Stories and Anecdotes of Mathematicians and the Mathematical, The Mathematical Association of America (2005)

(over Paul Erdös) Paul Hoffman, The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion (1998) of de Nederlandse vertaling bij Bert Bakker (1999)

(over Srinivasa Ramanujan) Robert Kanigel, The Man Who Knew Infinity, Washington Square Press (1992)

(over Srinivasa Ramanujan) David Leavitt, The Indian Clerk, Bloomsbury (2008) of de Nederlandse vertaling bij De Harmonie (2009)

en natuurlijk ook het volgende recent verschenen boek:

Rueben Hersh en Vera John-Steiner, Loving + Hating Mathematics. Challenging the Myths of Mathematical Life, Princeton University Press (2011) 416 pagina's.  Dit boek gaat niet zozeer over wiskunde, maar over wiskundigen, over hoe ze functioneren, wat hen triggert, waarom ze wiskunde doen, hoe ze omgaan met anderen,... Hersh en John-Steiner proberen komaf te maken met een aantal mythes die rond wiskundigen hangen, zoals de mythe dat het eenzaten zijn, en eerder asociale wezens. Ze doen dit met voorbeelden, en proberen hun punt te maken aan de hand van verhalen en anecdotes over wiskundigen. Een deel van het boek heeft rechtstreeks betrekking op het onderwijssysteem in de Verenigde Staten, en is als dusdanig voor ons niet zo interessant. Maar voor de rest is het zeker een aanrader. Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Ο Ο Ο Ο Score: Θ Θ Θ Ο Ο

Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

14. Maart 2012, 10:25

Nu de magie van het getal $\pi$ eindelijk is doorgedrongen tot de kring der BV's (bedankt Tom Waes!), en vrienden/familieleden op feestjes spontaan en trots de decimalen ervan beginnen te reciteren, willen we ervoor zorgen dat deze $\pi$-dag zeker niet onopgemerkt voorbij gaat. Naar jaarlijkse traditie hebben we een aantal $\pi$-curiosa bij elkaar gezocht.


Wist je ...

• $\ldots$ dat het vandaag 14 maart $\pi$-dag is? Waarom? Omdat in de Amerikaanse schrijfwijze de datum 14 maart genoteerd wordt als 3/14 en 3,14 is een benadering voor het getal $\pi$.
• $\ldots$ dat veel decimalen van het getal $\pi$ berekenen een manier is om in het Guinness Book of Records te komen? De berekening van decimalen van $\pi$ is een lastige zaak omdat er geen regelmaat in zit.
  
  
  
  
  
• $\ldots$ dat de Japanse ingenieur Shigeru Kondo in oktober 2011 zijn eigen wereldrecord decimalen-van-$\pi$-berekenen verdubbeld heeft, precies zoals hij dit de vorige keer had aangekondigd ? In totaal werden nu 10 000 000 000 000 decimalen berekend, op zijn zelfgemaakte computer met een harddisk van 48 TB (1,5 keer zo groot als de vorige).
• $\ldots$ dat het getal $\pi$ ook een belangrijke rol speelde in een aflevering van de tv-reeks Star Trek? Een wezen van een vreemde planeet had de boordcomputer overgenomen. Spock slaagde erin het ding uit de computer te krijgen door deze laatste de opdracht te geven $\pi$ te berekenen tot op de laatste decimaal.
  
  
  
  
  
• $\ldots$ dat er allerlei mooie wiskundige formules zijn waarin het getal $\pi$ voorkomt? Welke vinden jullie de mooiste? $$ {}\hspace{-0.2cm}\frac{2}{\pi} \!= \textstyle\!\sqrt{\frac{1}{2}} \!\cdot\! \sqrt{\frac{1}{2} \!+\! \frac{1}{2} \!\cdot\! \sqrt{\frac{1}{2}}} \!\cdot\! \sqrt{\frac{1}{2} \!+\! \frac{1}{2} \!\cdot\! \sqrt{\frac{1}{2} \!+\! \frac{1}{2} \!\cdot\! \sqrt{\frac{1}{2}}}} \!\cdot\! \ldots $$ $$\frac{2}{\pi} = \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 6} \cdot \ldots $$ $$ \frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} + \ldots $$ $$ \sqrt{\pi} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, d x $$ $$ \sqrt{\pi} \cdot \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-n^2} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-n^2\pi^2} $$
• $\ldots$ dat er ook uitdrukkingen voor het getal $\pi$ ontdekt zijn maar nog niet bewezen? Zoals deze: \[ \frac{32}{\pi^3} = \sum_{n=0}^\infty r(n)^7 (1 + 14 n + 76 n^2 + 168 n^3) \cdot \frac{1}{8^{2n}} \] waarbij \[ r(n) = \frac{(1/2)_{n}}{n!} = \frac{1/2 \cdot 3/2 \cdot \, \ldots \, \cdot (2n-1)/2}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} \]
• $\ldots$ dat Albert Einstein geboren werd op 14 maart?
• $\ldots$ dat er recent een palindroomdag geweest is: 21 februari 2012? Inderdaad: 21022012. Op de volgende is het nog even wachten. Natuurlijk zijn er mensen die op zoek gegaan zijn naar palindromen in de decimale ontwikkeling van $\pi$. Op de 9128219-de plaats na de komma start de rij decimalen 9136319. Beide getallen zijn palindromen, meer nog het zijn ook allebei priemgetallen. We spreken dan van palpriemgetallen. Het zijn zelfs opeenvolgende palpriemgetallen!





• $\ldots$ dat de recent overleden Poolse dichteres Wislawa Szymborska (1923-2012, Nobelprijs literatuur in 1996) een gedicht heeft geschreven over het getal $\pi$? Het gaat zo:
  Het getal pi
  Het getal pi is bewonderenswaardig
  drie komma een vier een.
  Alle verdere cijfers zijn ook begincijfers,
  vijf negen twee omdat het nooit eindigt.
  Het laat zich zes vijf drie vijf niet vangen in één blik,
  noch acht negen door enige berekening,
  of zeven negen door enige verbeelding,
  en zelfs drie twee drie acht niet door de lach of vergelijking
  vier zes met wat ook maar
  twee zes vier drie ter wereld.
  De grootste slang op aarde houdt na ruim tien meter op.
  Sprookjesslangen doen hetzelfde, al wachten ze wat langer.
  De rij van cijfers die samen het getal pi vormen
  laat zich niet stuiten door de rand van het papier,
  kan verder gaan over de tafel, door de lucht,
  over muur, blad, vogelnest, wolken, recht omhoog,
  dwars door ‘ s hemels opgezwollen bodemloosheid.
  Ach, de staart van een komeet, wat is die kort, een muizenstaartje!
  Wat nietig de straal van een ster die zich in elke ruimte kromt!
  Terwijl hier twee drie vijftien driehonderd negentien
  mijn telefoonnummer jouw maat overhemd
  het jaar negentienhonderddrieënzeventig zes hoog
  het aantal inwoners vijfenzestig cent
  heupmaat twee vingers charade en code
  waarin zing o nachtegaal, zing toch en vlieg,
  maar ook verzoeke de rust te bewaren liggen besloten,
  en hemel en aarde zullen vergaan, maar niet het getal pi, nee, pi zeker niet,
  pi heeft nog altijd een niet onaardige vijf,
  niet de eerste de beste acht,
  zeker niet de minste zeven,
  waarmee het de bloedeloze eeuwigheid aanspoort, ja, aanspoort om maar voort te duren.
  
  (vertaling G. Rasch)
• $\ldots$ dat er weinig postzegels te vinden zijn waar het getal $\pi$ op voorkomt? Dit is er een:
  
  
  


• $\ldots$ dat je op youtube kan luisteren (en kijken) naar een muzikale interpretatie van het getal $\pi$? Meer bepaald hier.
• $\ldots$ dat je het getal $\pi$ ook kan vieren op 22 juli, omdat 22/7 een benadering geeft voor $\pi$? We noemen deze dag dan ook: pi approximation day. 
  
  
  
  
  
  
• $\ldots$ dat de uitvinder van pi-dag een fysicus is? Larry Shaw begon er mee in 1988.
• $\ldots$ dat we de mooiste formule die $\pi$ bevat tot het einde bewaard hebben?
  
  
  
  
  
  

We ronden af met een tekening van René Magritte:

Geschreven in Actuele wiskunde | 3 Reacties | Vaste link | Afdrukken

22. Februari 2012, 10:18

Deze conclusie kreeg enkele weken geleden de nodige persaandacht. Ze was het gevolg van een vergelijkende studie bij 2500 vrouwen en mannen uitgevoerd door NCP, een Britse uitbater van parkeergarages. Eigenlijk werd de competentie in het parkeren met auto’s getest, maar dit is in wezen hetzelfde als rekenen in een Lie-algebra, zoals direct duidelijk zal worden. Ziehier een overzicht van het bewuste NCP-onderzoek:

Mannen hebben dan wel minder tijd nodig (ze parkeren gemiddeld 5 seconden sneller), de kwaliteit van hun uiteindelijke parkeerresultaat blijkt eveneens minder.  Dit is onder andere te wijten aan het vrouwelijke talent in geduldig over en weer geschuifel om zich juist te positioneren (“reposition shuffle” en “central finish”). Laat het nu juist dit aspect zijn van stuurvaardigheid dat wiskundig beschreven wordt door de Lie-haak, een algebraïsche bewerking ingevoerd door de Noorse wiskundige Sophus Lie.

 

Helaas is de theorie van de Lie-algebra’s een zeldzaamheid in de curricula van onze academische opleidingen. Ingenieursstudenten krijgen het meer niet dan wel voorgeschoteld, en zelfs wiskundestudenten leren het enkel als ze een zuiver wiskundig traject kiezen. Nochtans is het een nuttig gereedschap voor iedere ingenieur die verantwoordelijk is voor de automatisering van robots of autonoom bewegende voertuigen. Laten we dit motiveren a.h.v. het parkeerprobleem.

Een eenvoudig model van een auto is een rechthoek in het vlak waarvan de positie voorgesteld wordt door de coördinaten $(x,y)$ van het centraal punt tussen de achterwielen, en de hoek $\theta$ tussen de centrale as en de horizontale richting (positieve $x$-as). We zeggen dat het voertuig drie vrijheidsgraden heeft: $x$, $y$ en $\theta$.

 

De positie van een auto wordt dus voorgesteld door een punt $(x, y, \theta)$ in een 3-dimensionale ruimte, de configuratieruimte. Merk terzijde op dat deze ruimte gekromd is, omdat de $\theta$-as niet rechtdoor loopt zoals de $x$-as of de $y$-as, maar eerder cirkelvormig is vermits de hoeken 0 en $2\pi$ samenvallen. Wanneer we parkeren, beschrijven we een traject $\gamma$ in deze ruimte, waarbij $x$, $y$ en $\theta$ op een “gladde manier” in de tijd variëren:

$$\gamma(t) = (x(t), y(t), \theta (t) )$$

 

\begin{eqnarray*}(\frac{\mbox{d} x}{\mbox{d} t},\frac{\mbox{d} y}{\mbox{d} t}) &=& v\cdot (\cos\theta, \sin\theta)\\\frac{\mbox{d} \theta}{\mbox{d} t} &=& v\cdot c\end{eqnarray*}

waarbij $v$ de snelheid van het moment is (regelbaar met gaspedaal), en $c$ de kromming van de draaicirkel ($r=1/c$ is de “kromtestraal”, regelbaar met stuur). De eerste vergelijking drukt uit dat het referentiepunt van de auto ogenblikkelijk beweegt in de richting van de centrale wagenas, de tweede dat de snelheid $v$ gelijk is aan de hoeksnelheid vermenigvuldigd met de kromtestraal $r$.

In het kader van de 3-dimensionale configuratieruimte van de auto, geeft dit een beperking voor de afgeleide van het traject $\gamma(t)$ in de huidige positie, of met andere woorden, een beperking op de toegelaten richtingen in de raakruimte aan deze configuratieruimte in de huidige positie.

$$\gamma ‘(t) = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ \theta \end{array}\right) =\left ( \begin{array}{cc} \cos\theta & 0\\ \sin\theta & 0\\ 0&1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} v\\ vc \end{array}\right)$$

 

Een auto mag dan wel 3 positievrijheden bezitten, hij heeft slechts 2 controlevrijheden, $v$ en $c$, wat kan vertaald worden in een tweedimensionaal deel van de raakruimte van uitvoerbare richtingen. Gelukkig bestaat er zoiets als “manoeuvres” (en ook zoiets als vrouwen die er goed in zijn). Deze manoeuvres gebruiken toegelaten raakvectoren en genereren zogenaamde gladde derivaties, die op hun beurt opnieuw realiseerbaar zijn als een stukje traject in de configurateruimte.

Een belangrijke operatie in de raakruimte die realiseerbare manoeuvres oplevert, is nu juist het Lie-product of Lie-haak, gedefinieerd als bewerking op vectorvelden $f$ en $g$:

$$[f, g] = (f\cdot \nabla) g – (g\cdot \nabla) f$$

waar informeel gesproken $(f\cdot\nabla)g$ de “verschuiving van vectorveld $g$ in de richting van $f$” voorstelt. Dankzij de kromming van de configuratieruimte van de auto zijn $(f\cdot\nabla)g$ en $(g\cdot\nabla)f$ niet hetzelfde, wat in een netto-beweging resulteert, die volgens de wiskundige theorie realiseerbaar is als een stukje traject:

Laten we deze Lie-haak eens uitwerken voor $f=(\cos\theta, \sin\theta, c)$ (snelheid $v=1$ en constante hoeksnelheid $c$) en $g=(\cos\theta , \sin\theta, 0)$ (voorwaartse beweging zonder draaien):

 

Dan observeren we dat dit “Lie-manoeuvre” een zijwaartse beweging oplevert. Dit vectorveld is bovendien onafhankelijk met de toegelaten ogenblikkelijke bewegingen van de auto, zodat uiteindelijk alle richtingen in de raakruimte realiseerbaar zijn. Hieruit volgt de Parkeerstelling :

Als de plaats groter is dan onze auto, dan kunnen we hem altijd in deze plaats parkeren (met eindig veel manoeuvres).

Deze Lie-algebra-techniek kan uitgebreid worden voor de besturing van wagens met een of meerdere trailers. Een resultaat hiervan kan bijvoorbeeld in onderstaand filmpje bewonderd worden:

Figuren zijn geleend van: “Motion Planning for Nonholonomic Vehicles. An Introduction” van Bill Triggs.

Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

31. Januari 2012, 13:57

Nieuwsflash 17x17-probleem opgelost! Lees meer hier.

Toen hij 17 jaar was bewees de jonge Carl Friedrich Gauss dat de regelmatige 17-hoek te construeren is met passer en liniaal, een onwaarschijnlijke krachttoer. In 2000 jaar was er namelijk niets interessants gebeurd wat betreft constructies: de oude Grieken hadden geen problemen met regelmatige driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, en ze konden ook een hoek in twee delen, dus zeshoeken, achthoeken, tienhoeken lukten ook. Vijftienhoeken waren een combinatie van driehoek en vijfhoek, ook daar geen probleem. En dan kwam Gauss, en bleek dat de 7-hoek niet maar de 17-hoek wel te construeren was.

Met passer en liniaal betekent eigenlijk: je kan met de passer cirkelbogen trekken, en met het liniaal rechte lijnen tekenen. Maar meten is niet toegestaan. Ik denk dat Gauss het eerder als een puzzel zag, toen hij het probleem aanpakte. Een theoretische puzzel in zijn geval, want een echte constructie volgde pas later:

(Gauss was eigenlijk 19 toen hij dit resultaat aantoonde, maar in een blog met deze titel paste dat niet. Zijn geboortejaar begint overigens wel met 17.) 
Gauss had graag gewild dat een regelmatige zeventienhoek zijn graftombe sierde, maar de steenkapper van dienst vond dat geen goed idee. De zeventienhoek lijkt teveel op een cirkel, en de steenkapper vreesde dat hij daardoor als een amateur zou overkomen op de mensen.

Win een biografie van Gauss!
Omdat het een blogpost is over puzzels, hebben we er ook een puzzel ingestoken. Hier en daar staat een cijfer blijkbaar zonder reden in kleur. Als je al deze cijfers achter elkaar zet, dan vind je geboorte- en sterftejaar van een wiskundige waarover we al geblogd hebben en die invloed heeft gehad op het leven van Gauss. Weet je wie het is, mail dan je antwoord naar dit adres. Tussen de deelnemers worden 2 exemplaren van de biografie van Gauss verloot die we al eerder besproken hebben op deze blog. Je kan meedoen tot en met 15 februari.

---

Puzzels met 17. Daar gaan we het over hebben.

---

Recent werd door een Iers wiskundige, Gary McGuire, bewezen dat er minstens 17 vakjes moeten ingevuld zijn bij een sudoku, anders heeft deze zeker geen unieke oplossing. Je leest er meer over op kennislink. Hier is er alvast een voor de liefhebbers:

Voor zijn bewijs heeft McGuire de computer ingeschakeld, en daarom staat het nog niet voor 100% vast dat het geldig is. 

---

17 is ook het aantal kamelen die een sjeik met 3 zonen in zijn testament had staan. Die moesten zo verdeeld worden: de oudste krijgt de helft van de kamelen, de middelste zoon krijgt een derde, en de jongste moet het stellen met het negende deel. Hoe gaan ze dat regelen?

---

Wisten jullie dat je op de volgende manier kan nagaan of een getal deelbaar is door 17:
neem het laatste cijfer 5 maal, en trek het resultaat af van je oorspronkelijke getal waar je het laatste cijfer van weggelaten hebt.
Dus bijvoorbeeld:
want je trekt van 9 082 630 242 het getal 20 (=4 x 5) af.
Herhaal de procedure:

Dan stopt het. Indien het getal dat overblijft deelbaar is door 17, dan is het startgetal dat ook.
Kan je dit bewijzen? Graag in een reactie!

---

Dan is er het raadsel van de brug die over 17 minuten zal instorten. Vier jongens moeten nog aan de overkant zien te geraken. Elk van de jongens doet dat aan een ander tempo. Ze hebben respectievelijk 2, 3, 5 en 6 minuten nodig. Maar de brug kan maar twee personen tegelijkertijd aan. Bovendien is het nacht, en donker, en er is maar een zaklamp. Die moet dus telkens als er twee zijn overgestoken worden teruggebracht. Hoe moeten ze het aanpakken?

---

17 is ook het aantal essentieel verschillende behangpatronen. Met een behangpatroon bedoelen we een patroon dat zich in (minstens) twee verschillende richtingen voortzet. De kristallograaf E. S. Fedorov bewees in 1891 dat het er precies 17 zijn. Escher was een krak in het maken van mooie behangpatronen. Hier zie je er enkele:


Het is voor mij een raadsel hoe je kan bewijzen dat er precies 17 zijn. Ik heb al wel wat bewijzen van dit resultaat gezien, maar niet echt begrepen, en geen enkel dat intuïtief duidelijk is. Ken je er een? Graag in een reactie.

---

Dan is er natuurlijk ook nog de Onmogelijke Puzzel, gepubliceerd in 1969 door Hans Freudenthal. Hij gaat als volgt.
Twee getallen x en y zijn beide strikt groter dan 1 en de som is maximaal 100. Steven kent enkel de som van deze twee getallen, en Pascale enkel het product. Zowel Steven als Pascale zijn keien in logisch denken.

Bepaal x en y.
Ook deze puzzel heeft met 17 te maken.

---

Op het zeventiende probleem van Hilbert moet je overigens niet meer zoeken, want dat is ondertussen al opgelost, meer bepaald al in 1(92)7. David Hilbert formuleerde in 1900 23 belangrijke onopgeloste problemen uit de wiskunde met de uitdaging er klaarheid in te scheppen tegen het jaar 2000. Dat is niet gelukt. Voor het 17de wel.

---

We zijn nog lang niet aan 17 puzzels, maar met de volgende boeken bij de hand, kom je er zeker... Toch nog even meegeven dat $\pi$ naar het schijnt de 17de letter is in het oorspronkelijke oud-Griekse alfabet. En bekijk ook zeker dit filmpje eens: je ziet er de puzzelontwerper Oskar van Deventer bezig met zijn 17x17x17 Rubik's Cube, gemaakt met een 3D-printer! (Kostprijs: zo'n 1500 euro)

Ken je nog puzzels met 17? Stuur een reactie!

---

Ivan Moscovich, Het grote breinbrekerboek. De 1000 beste puzzels, raadsels en doordenkers.  Lannoo nv, Tielt (2011) 432 pagina's. Een prachtig boek, met 1000 puzzels, moeilijkheidsgraad varierend van 1 tot 10. Bekijk hier pagina 3 en pagina 357 (weliswaar uit de oorspronkelijke Engelse versie van het boek). Met een voorwoord van Ian Stewart. Ivan Moscovich woont in Nederland. Hij is een van de bekendste bedenkers van puzzels en raadsels. De puzzels zijn gegroepeerd per onderwerp, een beetje zoals in het bekende 536 puzzles & curious problems van die andere puzzelontwerper Henry Dudeney. Een ideaal boek om a. jezelf cadeau te doen; b. als coffeetablebook te gebruiken; c. in de auto te hebben liggen voor in de files en op vakantie op het strand. Het enige minpunt is dat het boek erg groot is en veel weegt. Het feit alleen al dat er een pagina besteed wordt aan krommen van constante breedte is voor ons voldoende om het boek erg te kunnen waarderen. Formuledichtheid:  Ο Ο Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: niet van toepassing Score: Θ Θ Θ Θ Θ

---

Jaap Klouwen, Denkwaar. Spelen met getallen, woorden en vormen. 75 intrigerende breinbrekers.  Veen Magazines, Diemen (2010) 192 pagina's. Henry Dudeney komt ook voor in dit boek met 75 puzzels. Een ander concept dan het vorige, de puzzels zijn iets langer maar je vindt er vast je gading, want het gaat van cijferpuzzels (geef acht manieren om met acht achten het getal 1000 te vormen), via vierkante wielen (!), tot een opgave waar gevraagd wordt de vervangingsweerstand van een kubusschakeling te berekenen. Vaak erg originele puzzels, met telkens een leuk verhaaltje erbij. Iets moeilijker dan het vorige boek, want hier en daar komt er toch wat wiskunde bij kijken (bijvoorbeeld bij de beste baan voor een vierkant wiel). De auteur Jaap Klouwen maakt al 27 jaar puzzels voor enkele bladen van de Universiteit van Amsterdam. Dit boek is een bundeling van de interessantste. Achteraan in het boek staan ook uitgewerkte oplossingen.   Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: niet van toepassing Score: Θ Θ Θ Θ Ο

---

George Grätzer, Train Your Brain. A Year's Worth of Puzzles. A K Peters/CRC Press (2010) 235 pagina's. Sommigen kennen de auteur misschien wel van het boek Math into LaTeX. In dit boek staat een verzameling denkoefeningen om het jaar goed door te komen, en je hersenen te trainen. Er zijn 52 hoofdstukken, voor elke week van het jaar is er een. Voor de eerste 36 weken zijn er telkens 3 puzzels, voor de laatste 16 zijn er 2 black belt opgaven. Ook dit is een erg leuke collectie die wel degelijk de bedoeling heeft de lezer op regelmatige basis te doen nadenken. Bij sommige opgaven kan je ook een hint krijgen, en ook in dit boek staan de oplossingen achteraan.  Een voorbeeld: twee koppels willen een rivier oversteken. Er is een bootje voor 2 personen. De mannen zijn eerder jaloers en willen niet dat hun vrouw alleen is met de andere man. Hoe gaan ze te werk? Nog een voorbeeld: zelfde vraag maar met drie koppels. Een leuk boek, met veel afwisseling in de problemen. In het Engels wel. Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: niet van toepassing Score: Θ Θ Θ Θ Ο

 

---

Geschreven in Algemeen | 4 Reacties | Vaste link | Afdrukken

19. November 2011, 09:47

Nog voordat hij deftig kon praten, maakte de mens constructies met boomstammen of andere materialen. De doelen waren verscheiden: beschutting, klimtuigen, draagberries, … Maar hoe hard de mens zich ook uitslooft met plannen en bouwen, iedere constructie ontmoet vroeg of laat haar beperking.

(voetbalstadion FC Twente)

(Brugge, ijspiste)

(Pukkelpop)

De maximale belasting van een constructie wordt natuurlijk bepaald door de keuze van het materiaal en van de aanhechtingspunten, maar ook (en vooral) door de keuze van het ontwerp.  Nu juist hier blijkt wiskunde nuttig te zijn. Wiskundigen beperken zich niet tot het bewijzen van stellingen, ze maken deze ook star en stevig. We onderscheiden twee niveaus:

1.     Combinatorisch-topologisch: Hoeveel stangen (buizen, balken,…)  gebruiken we, hoeveel knooppunten (scharnieren), en welke knooppunten worden door welke stangen verbonden? Bijvoorbeeld, een kubusconstructie telt 12 stangen en 8 knooppunten, waarin telkens 3 stangen samenkomen.

2.     Meetkundig: Kiezen we voor een bepaalde symmetrie? Willen we dat enkele stangen evenwijdig lopen of even lang zijn? Of zijn er complexere voorkeuren, bijvoorbeeld alle knooppunten op een boloppervlak?

Een mooie illustratie van niveau 1 treffen we aan als we een vlak rooster willen stutten:

De algemene theorie leert ons dat voor een rooster met R rijen en K kolommen we altijd een starre constructie kunnen bekomen door R+K-1 diagonalen toe te voegen (en door dus evenveel vierkanten te stutten). Bijvoorbeeld:

Links het geblokkeerde rooster (met 5+5-1=9 stutdiagonalen), rechts het schematische overzicht van de gebruikte stutstrategie.

Maar let op, een voldoende aantal stangen is nog geen garantie voor starheid, de stangen moeten ook nog vakkundig verdeeld worden over de constructie:

 

Hier ziet u een 3 bij 3 rooster dat toch niet voldoende gestut is door 3+3-1=5 diagonalen. De verklaring wordt gegeven door het bijbehorende stutschema dat uit twee aparte stukken bestaat:

De telregel voor algemene vlakke structuren is redelijk eenvoudig. Als een constructie V scharnieren telt, dan geldt voor het minimaal aantal stangen E dat vereist is voor starheid:

E = 2V-3 voor vlakke constructies

E = 3V-6 voor ruimtelijke constructies

Bijvoorbeeld, onderstaande vlakke constructie heeft V=5 scharnieren, en dus volstaan 2x5-3=7 staven voor een starre constructie, zoals aangetoond in de linkse figuur:

Maar de rechtse figuur is duidelijk niet star (de bovenste staaf kan onafhankelijk van de rest roteren), ondanks het juiste aantal stangen.  De schuld ligt uiteraard bij de slechte verdeling. We ontdekken immers een deelconstructie waar we overdreven gestut hebben. Inderdaad, we hebben hier een deelvierhoek (V’=4) met E’=6 stangen. Dus hebben we een stang verspild (E’=6 > 2V’-3=5), wat we elders in de constructie bekopen (met flexibiliteit). Het is m.a.w. noodzakelijk om onze 2V-3 staven zodanig te verdelen dat voor geen enkele deelconstructie E’ > 2V’-3. Dit was al bekend door Maxwell.

Maar een klassieke stelling van de Nederlandse wiskundige Gerard Laman (1970) zegt dat ook het omgekeerde waar is:  voorgaande verdeelsleutel garandeert altijd een star ontwerp in het vlak. Meer dan honderd jaar geleden ontwikkelde de ingenieur Henneberg een handige grafische methode om alle vlakke starre ontwerpen te genereren met het minimaal aantal staven E=2V-3:

Startend met een staaf worden de scharnieren 1 per 1 toegevoegd.  We bevestigen de nieuwe scharnier aan de bestaande constructie met 2 staven (van (i) naar (ii)), of met 3 staven na het weglaten van een staaf tussen twee van de drie aanhechtingspunten (van (ii) naar (iii)).

Let op, met een star ontwerp bedoelen we dat behoudens een ongelukkige keuze van onderlinge lengteverhoudingen dit ontwerp als een starre constructie kan gebouwd worden. Statistisch gezien zijn deze ongelukkige keuzes heel onwaarschijnlijk, maar onze onvermijdelijke drang naar schoonheid en symmetrie blijkt erg nefast. Bekijk bijvoorbeeld onderstaand star ontwerp (i) met V=6 scharnieren en E=2V-3=9 staven (verdeeld volgens het Laman-principe):

Maar als we toevallig de binnenste driehoek in puntperspectief plaatsen met de buitenste driehoek, zoals in Figuur (ii), dan wordt de constructie “infinitesimaal vervormbaar”, in de zin dat we de driehoeken een beetje kunnen doen “waggelen” t.o.v. elkaar (probeer dit thuis met de meccano op zolder). De realisatie in Figuur (iii) vertoont zelfs zulke mate van regelmaat dat de ene driehoek een volledige cirkelvormige baan kan maken rond de andere.

De 3D-zieners onder jullie merken ongetwijfeld op dat de niet-starre realisaties (ii) en (iii) van het nochtans starre ontwerp kunnen opgevat worden als projecties van ruimtelijke objecten (Figuur (ii) is een afgeknotte tetraëder, Figuur (iii) een prisma). Deze observatie werd al in de negentiende eeuw gemaakt door James Clerk Maxwell. Een en ander verklaart waarom Projectieve Meetkunde een handig kader verschaft voor de starheidsanalyse van constructies.

In de jaren 70 van de vorige eeuw vroeg de architect Janos Baracs aan enkele wiskundigen in de Universiteit van Montréal of de statica van 3D-constructies kon bestudeerd worden door ze als projecties van 4-dimensionale objecten te beschouwen.

(Ontwerp van Baracs in Quebec)

Uit deze suggestie ontstond het “Structural Topology”-project in Canada, dat intussen uitgegroeid is tot een aparte wiskundige discipline, dikwijls kortweg “Rigidity” genoemd. Behalve de studie van starre constructies, houdt dit gebied zich ook ledig met mechanismen, polyeders, stapelingen en ruimtevullingen (herlees onze blog “Stapelgekke wiskunde”).

De “rigidity community” mag dan wel een klein hutje zijn in het grote wiskundedorp, de problemen die ze behandelen spreken een groot publiek aan. Grote namen zoals Grünbaum, Coxeter, Ziegler en Demaine zijn  vrienden aan huis. Bovendien staat de deur open voor bezoekers van verschillende allooi en komaf: informatici, ingenieurs, architecten, biologen, natuurkundigen, chemici en natuurlijk ook de onvermijdelijke kunstenaars. Starheidonderzoekers blijken flexibele mensen te zijn.

Hoewel, we doen de geschiedenis meer recht aan door de geboorte van het vak “Wiskundige Starheid” eerder in de 18^de eeuw te situeren. De Zwitserse wiskundige L. Euler (wie anders?) vroeg zich af of een getrianguleerd gesloten oppervlak een starre ruimtelijke constructie vormt. Hij vermoedde van wel. Maar het duurde tot 1813 alvorens hierop een gedeeltelijk antwoord kwam, en dan nog wel niet van de minste.

Cauchy bewees dat het skelet van een convexe getrianguleerde polytoop een starre constructie is.

Eigenlijk bewees Cauchy zelfs dat iedere convexe polytoop star is, indien we de zijvlakken onvervormbaar houden (bijvoorbeeld als metalen plaatjes die aan elkaar vasthangen met scharnierassen). Dit levert stevige architecturale mogelijkheden:

Vorige maand vond een interessante “rigidity workshop” plaats in Toronto, waar bovenstaande vragen en aanverwante kwesties aan bod kwamen. 

Hieronder ziet u Robert Connelly aan het werk, met zijn onvermijdelijke modellen en knutselarijen. Deze wiskundige, die er uitziet alsof hij al jaren met beren samenleeft in de Canadese bossen, gaf een lezing over het efficiënt stapelen van cirkels op een torus. In 1976 verbaasde hij vriend, beer en vijand door de ontdekking van flexibele getrianguleerde polyeders (wegens Cauchy dus noodzakelijkerwijs niet-convex).

En kijk eens over welk mooi ding ik toen struikelde:

Het buitenste skelet is een kunstwerk van Rinus Roelofs, die ook regelmatig opduikt op Rigidity-bijeenkomsten. Maar binnenin bouwde Bob Connelly een “tensegrity” (constructie met staven en aangetrokken kabels) met dezelfde structuur als het werk van Rinus.

Ook origami-wizard Erik Demaine was van de partij, de “Mozart van de wiskunde” zoals collega Dirk Huylebrouck hem noemde. Erik, de man die zijn volk leerde plooien, kwam al meermaals aan bod in deze blog.

Maar het heet hangijzer op deze bijeenkomst bleek eens te meer de zoektocht naar de “heilige graal” van de rigidity-folks, waarvan nu al ettelijke decennia beweerd wordt dat ze binnen handbereik ligt. Ik bedoel de karakterisatie van starre 3D-ontwerpen met stangen en scharnieren. Zo een karakterisatie zou bijvoorbeeld een veralgemening kunnen zijn van het grafische Henneberg-principe, maar nu om 3D-constructies te genereren door scharnieren 1 voor 1 toe te voegen. Of misschien een veralgemening van het verdelingsprincipe van Laman. Dat dit niet eenvoudig zal zijn, wordt aangetoond door volgende ruimtelijke constructie met V=8 scharnieren, E=3V-6=18 staven en geen enkele deelconstructie met overbodige staven (E’>3V’-6). Het aantal staven klopt dus, en ze lijken goed verdeeld, maar toch is de constructie duidelijk niet star.

Dit voorbeeld, bekend onder de naam dubbelbanaan,  bezorgt ons al dertig jaar een pijnlijke nek en staat symbool voor de struikelblok naar het inzicht in starre 3D-ontwerpen.

Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

08. September 2011, 14:26

Nu voor de meesten onder ons de vakantie voorbij is, breekt de periode aan dat we onze vrienden en collega’s verblijden met onze vakantiekiekjes, en belangstelling veinzen wanneer de anderen ons hun foto’s tonen. Aanschouw bijvoorbeeld ondergetekende tijdens een bezoek in een Javaanse basisschool:

Wat valt ons hierbij op, buiten het feit dat sommige Europeanen menen dat ze er als een volslagen idioot mogen bijlopen zodra ze zich in een ander continent bevinden? Een rekenles op anekdotische wijze! De onderwijzer verkoos die bewuste dag de kinderen te prikkelen met enkele merkwaardige kwadraten, eerder dan het uitleggen van algemene rekentechnieken. Inderdaad, de tweedemachten van 11, 111, 1111, 11111 enzovoorts, vertonen een mooi patroon. De opgedane kennis mag dan wel heel particulier zijn, terwijl kinderen van een vijfde leerjaar (zie foto hieronder, let vooral op de mooie hemdmotieven) allicht nog veel oefening en routine nodig hebben in doordeweeks cijferen.

Maar verwondering wekt nieuwsgierigheid, en nieuwsgierigheid is de aandrijfmotor van elk leerproces (zie ook eerder op deze blog).

We vinden deze les over kwadraten dus zeer geschikt. Nog net in beeld zien jullie ook de kwadraten van 15, 25, 35 enzovoorts opgelijst. Voor de jonge amateur, die net kennis maakt met getallen en vermenigvuldigingstafels, springen de kwadraten meestal onmiddellijk in het oog:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

Niet in het minst natuurlijk omdat ze hun naam niet gestolen hebben: het zijn vierkantgetallen, ze treden op als oppervlakte van vierkanten met zijde 1, 2, 3, … Om analoge redenen worden mensen aangetrokken door derdemachten: 1, 8, 27, 64, … Deze kwam ik ook geregeld tegen op mijn reis, maar dan vooral in de vorm van een slangenkubus, een 3D-puzzel die duidelijk heel populair is in Java.

Deze slang bestaat uit 27 kubussen (of 8 of 64 of…) waarbij iedere kubus met een zijvlak vasthangt tegen het zijvlak van zijn voorganger/opvolger door middel van een centrale rotatie-as. Hierdoor kan men de slang dus altijd platdrukken zodat we een opeenvolging krijgen van korte rijtjes van 2 of 3 blokjes (in de foto hierboven, als we bovenaan starten: 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 3). Om de puzzel op te lossen moet de slang opgevouwen worden tot een hamiltoniaans pad van de volledige kubus (dit is een pad dat over de kubus kronkelt waarbij alle blokjes juist 1 keer bezocht worden):

           

De oplosbaarheid van de puzzel wordt gegarandeerd bij aankoop, omdat hij zich dan in opgevouwen kubustoestand bevindt. Maar als wiskundige vroeg ik me af of er meerdere oplossingen mogelijk zijn? Kan eenzelfde slang (gedefinieerd door het 2-3-rijtje zoals hierboven) verschillende hamiltoniaanse paden van de kubus vormen?  En stel dat in de winkel de puzzel toch in een uitgerekte vorm ligt, hoe kan je dan weten dat je geen slang in de zak koopt en hij inderdaad oplosbaar is? Bij het geval van 27 blokjes mag je al zeker geen vier of meer kubussen op een rij hebben, maar wat zijn de andere voorwaarden? Ik moet jullie voorlopig het antwoord schuldig blijven. Ergens op het net vond ik wel iemand zo gek om met brute computerkracht alle mogelijke kubusslangen te berekenen (met 27 blokjes).

Maar genoeg gespeeld, laten we even terug onze tweedemachten en derdemachten bekijken, maar nu samengevoegd:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, …

Dan merken we dat 8 en 9 slechts een eenheid verschillen, terwijl de andere machten verder uit elkaar staan. In de 14^de eeuw vermoedde de wiskundige rabbijn Gersonides al dat 8 en 9 de enige opeenvolgende natuurlijke getallen zijn die voorkomen als vierkant of kubus. In 1844 opperde de Belgische wiskundige Catalan bovendien dat behalve 8 en 9 geen algemene natuurlijke machten naast elkaar staan.  Het was wachten tot 2002 voor een formeel bewijs van dit vermoeden (Preda Milhailescu).

De Belg Eugène Charles Catalan (1814–1894) is onder wiskundigen vooral bekend door de Catalan-getallen:

$$C_n = \frac{1}{n+1} {2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)! n!}$$

De eerste getallen van deze rij (rij A000108 in OEIS):

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,…

Eigenlijk is deze rij ontdekt door Euler, die $C_n$ identificeerde als het aantal manieren waarop een convexe ($n+2$)-hoek in driehoeken kan verdeeld worden m.b.v. diagonalen. Catalan zelf vond het getal $C_n$ terug als het aantal manieren waarop $2n$ haakjes in elkaar kunnen nestelen ($n$ open haakjes en $n$ gesloten haakjes). Bijvoorbeeld, $C_3 = 5$ kan aldus gevisualiseerd worden:

()()(), ()(()), (())(), (()()), ((()))

Andere combinatorische toepassingen van de Catalan-getallen zijn legio. Maar ondertussen zijn we ver afgeweken, want eigenlijk is dit een vakantieverhaal. Zo kocht ik in Yogyakarta ook nog een houten ei, een 3D-puzzel zoals de kubusslang.

 

    

Maar ditmaal zijn de bouwstenen exotischer dan simpele blokjes, maar ze sluiten perfect tegen elkaar aan, zodat binnenin geen ruimte verloren wordt. Enkel aan de buitenkant zien we enkele uitsparingen (concaviteiten). Hierin scoren kubussen duidelijk beter, ze vullen namelijk perfect de ruimte op.

Een populair en bloeiend deelgebied in de wiskunde houdt zich bezig met het ontwerpen van blokjes (al dan niet convex, al dan niet met enige regelmaat of symmetrie) die de ruimte volledig opvullen zonder gaatjes (al dan niet met een periodiek patroon). Of als het niet lukt (bijvoorbeeld met bollen of tetraëders) dan zoekt men een optimale stapeling, met een zo groot mogelijke dichtheid, en dus minimaal ruimteverlies. Deze wetenschap wordt dikwijls aangeduid met de naam “packings and tessellations”. Lees in deze context zeker ook eens een vorige bijdrage op deze blog: Stapelgekke Wiskunde .

Stel even dat je de ruimte perfect wil opvullen met perfecte blokjes, namelijk convexe polytopen met als zijvlakken identieke regelmatige veelhoeken. Dit zijn de zogenaamde Platonische lichamen : de regelmatige tetraëder, octaëder, icosaëder, dodecaëder en de kubus. Dan blijkt, als je maar met 1 type blokje werkt, dat enkel de kubus geschikt is. Maar als je mag combineren dan lukt het ook met tetraëders en octaëders. Zie bijvoorbeeld hieronder:

Het belang van zulke constructies is niet enkel artistiek of zuiver wiskundig.  Ze geven ons ook meer inzicht in de structuur van materie en de organisatie van cellen, en ze stellen ons soms in staat nieuwe materialen te ontwerpen of transportnetwerken beter te beheersen of gegevens efficiënter op te slaan. Vanuit dit oogpunt kwam het belangrijkste wiskundige nieuws van deze zomer misschien uit Princeton:  Conway, Jiao en Torquato hebben een nieuwe “ruimtebetegeling” gevonden met octaëders en tetraëders.

Het is verbazend dat met deze eenvoudige bouwstenen nog steeds nieuwe ontdekkingen gebeuren. Nu is het wachten op de eerste fabrikant die een 3D-puzzel ontwerpt op basis van deze vondst.

Ondertussen, op het thuisfront...

een schoolbord in chocolade, waarschijnlijk uit de inboedel van het peperkoekenhuisje (met dank aan KL voor de foto).

Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

27. Juni 2011, 11:37

In onze recente bijdrage naar aanleiding van pi-dag hebben we het er al over gehad: er is een beweging die tot doel heeft de wiskundige constante $\pi$ te laten vallen ten voordele van het dubbele ervan, dat we dan zouden voorstellen door de griekse letter tau, $\tau$.
Je vraagt je misschien af waarom. We laten hierover Vi Hart aan het woord, die er waarschijnlijk wonderwel in slaagt u, de lezer, te overtuigen.

 

(Je kent Vi al uit een vorige blog, waar ze samen met Rinus Roelofs aan het kunstpuzzelen is.)
De beweging is waarschijnlijk opgestart door Bob Palais, een wiskundige, met een artikel in The Mathematical Intelligencer uit 2001 dat als titel heeft $\pi$ is wrong. Bob gebruikt niet tau, maar een nieuw symbool voor $2\pi$:

Een meer logische keuze dan $\tau$, maar voor een aantal tekstverwerkers een probleem (niet in LaTeX, probeer \def\newpi{{\pi\mskip -7.8 mu \pi}}).
Door toedoen van het tau-manifest, in 2010 geschreven door de fysicus Michael Hartl, kwam er meer beweging in de beweging. Diezelfde Michael Hartl was het die voorstelde om elk jaar op 28 juni (6/28) tau-dag te vieren. Inderdaad, iedere strekking die zichzelf een beetje au sérieux neemt, heeft een bijbel en een hoogdag. Nu nog een logo en de merchandising kan beginnen. Uiteraard roept iedere poging tot verandering ook weerstand op, niet altijd onterecht. Het gevaar bestaat dat het anders zo gesloten front van wiskundigen in twee kampen zal gespleten worden, de $\pi$-risten en de $\tau$-logen. Als u vandaag niet in het centrum van Brussel geraakt, omdat alle toegangswegen geblokkeerd zijn door een mars van $\tau$-militanten, die op hun beurt gehinderd worden door taartgooiende tegenbetogers, dan hebt u hier tenminste wat achtergrondduiding gekregen.

Een beetje geschiedenis. Leonhard Euler (1707-1783) (links), een van de grootste wiskundigen aller tijden, gebruikte om de verhouding van de omtrek van een cirkel tot de diameter voor te stellen soms het symbool p (van perimeter, van het Griekse perimetron of perifereia), soms het symbool c (circumferentia, uit het Latijn). In 1737 stapte hij echter definitief over op de Griekse letter $\pi$. Johann Bernoulli (1667-1748) (rechts), ook niet van de minste, gebruikte de letter c.


Nu is het niet zo duidelijk waarom deze wiskundigen de omtrek van een cirkel betrokken op de diameter, en niet op de meer voor de hand liggende straal. Als ze dat wel hadden gedaan, dan was $\pi$ nu waarschijnlijk inderdaad gelijk geweest aan $6,2831...$. Toegegeven, dit pleit voor Palais en Hartl. Hartl zegt verder dat in vele formules niet $\pi$ voorkomt, maar wel $2\pi$. Dan is de keuze voor de Griekse letter tau inderdaad niet zo slecht, omdat je dan met corrector gemakkelijk de nodige aanpassingen kan doen in de handboeken:

Maar als we dit nu toepassen op taarten:
dan lijkt de keuze $\tau$ toch niet de juiste.
Wij houden het bij $\pi$ en $\pi$-dag. En u? Maar waarom je druk maken, als $\pi$ toch eigenlijk gewoon 4 is?


Misschien moeten we de Britse wiskundige Marcus Du Sautoy volgen, die op Twitter voorstelt om op 28 juni niet tau-day te vieren, maar perfect day. Perfect day of perfecte dag omdat 6 en 28 de twee kleinste perfecte getallen zijn.

Geschreven in Actuele wiskunde | 3 Reacties | Vaste link | Afdrukken

11. Juni 2011, 09:20

Pythagoras, vooral bekend als het drukbezochte Turkse eethuis op de Turnhoutsebaan in Borgerhout, is ook de naam van een Nederlands wiskundetijdschrift voor jongeren. Meer nog, het is ons standaardantwoord wanneer onze kinderen zich afvragen hoe wij onze jeugd overleefd hebben zonder Facebook, iPad of Wii. Nu het tijdschrift zijn vijftigste verjaardag viert, nemen we de gelegenheid te baat het iedereen aan te prijzen, de jonge leeuwen onder ons in het bijzonder. De artikels in Pythagoras zijn doorgaans vlot geschreven en gemakkelijker te verteren dan de pita’s in het gelijknamige restaurant. Ondergetekenden behoren misschien niet meer tot de doelgroep, maar beleven nog elke maand plezier aan de nieuwe uitgave. Boys will be boys.

Ter gelegenheid van dit jubileum heeft Pythagoras een boek uitgegeven met als titel “De Pythagoras Code”. In samenwerking met de Nederlandse wetenschapssite Kennislink (al eerder bewierookt op deze blog, en ons standaardantwoord wanneer onze kinderen zich afvragen hoe wij nog altijd kunnen overleven zonder Facebook, iPad of Wii) werd een prijsvraag uitgeschreven waarmee je dit jubileumboek kan winnen: vind een ludieke naam voor een bestaande wiskundige stelling. Leuke opgave, spijtig dat we er zelf niet op gekomen zijn. Voor de iets minder wiskundige lezer volgt nu een opsomming van enkele stellingen met commerciële namen, de iets meer wiskundige lezer wordt hierbij uitgenodigd om het lijstje aan te vullen met stellingen die nog ontbreken (door middel van commentaar, onderaan toe te voegen - kan ook zonder Facebook). We hebben zelf ook een eigen duit in het zakje gelegd.

Ham-Sandwichstelling  Gegeven zijn twee sandwichhelften (of twee boterhammen) en een schelletje hesp. Dan is het altijd mogelijk, ongeacht de ruimtelijke schikking van deze drie objecten, om met één enkele zwaai met een hakmes (lees: vlakke sectie) al deze drie objecten exact te halveren. Deze stelling kan in iedere dimensie geformuleerd worden, als je het aantal objecten gelijk neemt aan de dimensie, en met een aangepast hypervlak in de rol van hakmes. Ook al zegt een variant van deze stelling dat met één houw van een slagzwaard in een perfecte vlakke beweging drie gijzelaars kunnen onthoofd worden, vinden we de benaming Al-Qaedastelling eerder ongepast.  In dimensie 2 (het vlak) spreekt men soms van de Pannenkoekstelling.

Stelling van de Harige Bal  Misschien is het je vanmorgen gelukt je te kammen zonder zijstreep, maar voor een bal die helemaal rondom behaard is, blijkt dit een onmogelijke zaak. Om dezelfde reden zijn ook kiwi’s en kokosnoten gedoemd om ofwel ongekamd ofwel met zijstreep door het leven te gaan.

Stelling van de Dronken Man en de Dronken Vogel  (klinkt als de titel van een parabel): een zatlap geraakt altijd terug thuis. Inderdaad, een man die een grillig traject aflegt door op ieder ogenblik willekeurig een  stap te nemen in een van de vier windrichtingen, zal met een waarschijnlijkheid van 100% ooit terug op zijn startpunt uitkomen. In drie dimensies echter, waar op ieder ogenblik een random keuze tussen zes hoofdrichtingen gemaakt wordt, blijkt er wel een kans te bestaan dat het beginpunt nooit meer bereikt wordt. Een dronken vogel vindt misschien nooit zijn nest terug.

Huwelijksstelling  Stel dat bijvoorbeeld 10 vrouwen elk een keuzelijst mogen maken uit 10 mannelijke kandidaten. Kan het huwelijksbureau dan garanderen dat iedere vrouw een man krijgt die op haar lijstje stond? Dat hangt er natuurlijk van af. Als twee kieskeurige dames een lijstje inleveren met maar 1 man, en toevallig dezelfde man, dan kunnen ze niet beiden gelukkig gemaakt worden. Bij uitbreiding, als $k$ vrouwen hun lijstjes beperken tot $k-1$ gemeenschappelijke mannen dan is een bevredigende oplossing evenmin mogelijk. De Huwelijksstelling beweert dat in geval voorgaand probleem zich niet voordoet, iedere vrouw een man uit haar lijstje kan krijgen. Misschien is de benaming een beetje gedateerd, misschien is Datingsitestelling meer van deze tijd.

Kunstgaleriestelling  Beschouw een polygonale kamer (bijvoorbeeld een expositieruimte) met $n$ hoeken. Wat is dan het minimaal aantal camera’s (of suppoosten) dat volledige beveiliging garandeert (hele kamer is in beeld)? Voor een saaie kamer zonder inhammen (convexe veelhoek) is 1 camera altijd voldoende, maar wat kunnen we zeggen voor kamers met een willekeurige (veelhoekige) vorm? Volgens de Kunstgaleriestelling volstaan steeds $\lfloor{n/3}\rfloor$ bewakers ($\lfloor{k}\rfloor$ rondt $k$ naar onder af). Een betere grens kunnen we niet geven, want er bestaan kamers waarvoor $\lfloor{n/3}\rfloor$ camera’s vereist zijn. Omdat we in deze posities alle hoeken van de kamer zien, lijkt Wilde-Nachtstelling ons een geschikte alternatieve naam.

Kerstsokstelling (of Hockeystick-stelling of Golfclub-stelling of voor ons part Didgeridoo-stelling) De driehoek van Pascal is een bodemloos vat wat mooie relaties betreft tussen (binomiale) getallen. Deze stelling kan je best met bijbehorende figuur uitleggen: brei je kerstsok startend op een willekeurig punt van een Pascalzijde en volg de diagonaal tot de wol of de goesting op is en eindig met een bocht naar linksonder. Het getal in de “teentip” is dan altijd juist de som van de gepasseerde diagonaalgetallen. De Davidsterstelling is een ander voorbeeld van een eigenschap die mooi gevisualiseerd wordt in deze driehoek. Zie ook hier.

Schrijnwerkerslatstelling  In welke vorm deze vouwlat zich ook bevindt, zonder cross-overs weliswaar, je kan hem altijd tot een rechte lijn uittrekken zonder cross-overs. Maar ook hier geldt beter voorkomen dan genezen: laat je kinderen niet met je gereedschapskist spelen. Erik Demaine is een van de acteurs van het bewijs, hij kreeg al eerder aandacht in deze blog.

Cox-Zuckermachine  Een mannen-aan-de-toognaam voor een algoritme bedacht door David Cox en Steven Zucker in 1979 voor de constructie van een basis in een Mordell-Weilgroep. Uitdaging voor de lezer: zoek nog andere wiskundigen die beter niet samen een artikel schrijven.

Van Goghstelling  In iedere veelhoek bestaan drie opeenvolgende hoekpunten $A, B, C$ zodat $[A,C]$ een diagonaal is (het verbindingslijnstuk tussen $A$ en $C$ verlaat de veelhoek niet). In dit geval wordt de driehoek gevormd door $A, B, C$ ook wel eens een “oor” genoemd (zie figuur). Eigenlijk kan men zelfs bewijzen dat iedere veelhoek met minstens 4 hoekpunten minstens 2 oren heeft. Het bestaan van dergelijk oor leidt tot inductieve redeneringen voor veelhoeken, bijvoorbeeld bij het trianguleren (de veelhoek verdelen in driehoeken m.b.v. diagonalen). Inderdaad, je snijdt gewoon een oor af en voert de constructie recursief uit op de kleinere veelhoek. 

Geschreven in Actuele wiskunde | 1 Reacties | Vaste link | Afdrukken

22. Mei 2011, 18:49

Programma's om contouren te tekenen van oppervlakken in de ruimte, intrigeren me al vele jaren. Vooral omdat zelfs als het programma het niet goed doet, er vaak toch leuke, en soms ook kunstzinnige dingen uitkomen. Ik geef een voorbeeld. Tekenen we de contouren of de niveaulijnen van het oppervlak met vergelijking $$z=\frac{-5x}{x^2+y^2+1}$$
met beperkte nauwkeurigheid, dan vinden we dit:

Doen we een kleine aanpassing aan de vergelijking van het oppervlak, en ook aan de kleuren die we gebruiken, dan zie je voor $$z=\frac{-5x}{2x^2+3y^2+x+y}$$

het volgende resultaat:

Deze amateuristische pogingen om wiskunde en kunst te combineren zijn niet te vergelijken met wat zich afspeelde in Gent op vrijdag 20 en zaterdag 21 mei. Onder de naam Wiskunst in Gent brachten Gudrun de Maeyer en Dirk Huylebrouck in een tweedaagse meeting een aantal mensen samen die iets met kunst én met wiskunde hebben. Je ziet de beide organisatoren hier op de foto, voor een van de tentoongestelde kunstwerken:


Er werden voordrachten gegeven, er waren kunstwerken tentoongesteld, er werden ter plekke kunstwerken gemaakt. (Er waren ook broodjes, gratis;-) Je kon er bekende en minder bekende, binnenlandse en buitenlandse, grote en kleine kunstenaars ontmoeten, en met hen over hun werk praten. Om maar enkele namen te noemen, je zag er Rinus Roelofs aan het werk samen met Vi Hart bij het maken van een geometrisch kunstwerk:


Je kon er ook naar een lezing luisteren van Peter Raedschelders die het had over vlakverdelingen en magische vierkanten, en kunstwerken maakt die echt de moeite waard zijn:


Tom Verhoeff had het dan weer over het werk van zijn vader, de kunstenaar Koos Verhoeff, die bekend is om zijn kunstwerken in hout:

en recent tentoongesteld werd in het Mathematikum, in Giessen, Duitsland.
Een deel van de tentoongestelde werken stond opgesteld in de witte zaal van Sint-Lucas, een reden voor architect Patrick Labarque om een kunstwerk te maken dat gebaseerd is op deze zaal. Hij paste er een bolinversie (de driedimensionale variant van de cirkelinversie, je vindt die ook terug in het werk van Jos Leys, eveneens aanwezig, en o.a. bekend door de prachtige film Dimensions) op toe en liet het resultaat maken door een 3D-printer: hier ziet u de witte zaal voor en na de bolinversie.


Kortom, er viel heel wat te beleven, dit weekend in Gent.

Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

14. April 2011, 17:45

Het eerder wiskundige verhaal van de uitvinding van het schaakspel en de beloning voor de uitvinder ervan, is welbekend. De keizer van Indië vroeg aan deze uitvinder wat hij graag als beloning wilde hebben, en het antwoord was: mijn schaakbord gevuld met rijstkorrels, eentje op het eerste veld, twee op het tweede, vier op het derde, en dan telkens verdubbelen.

Op het laatste veld liggen er dus $2^{63}$ rijstkorrels, en het totale aantal kunnen we als volgt berekenen:
$$\large \begin{array}{rcl@{}l} \mbox{totaal} & = & 1+\!\!& 2+2^2+2^3+\ldots+2^{62}+2^{63} \\
2\cdot \mbox{totaal} & = & & 2+ 2^2+2^3 +\ldots+2^{62}+2^{63}+2^{64}
\end{array}$$Indien we nu de bovenste som aftrekken van de onderste, dan vinden we voor het totaal aantal rijstkorrels:
$$\large\mbox{totaal} = 2^{64}-1 = 18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615 $$De keizer dacht eerst dat dit een eerder bescheiden wens was, maar al snel zag hij in dat dit niet het geval was...

Eenzelfde soort gevoel moet de leerlingen van de St. Mark's School in Southborough, Massachusetts, bekropen hebben toen ze op 2 april een poging deden om het wereldrecord papiervouwen te verbreken. Papiervouwen doe je door een blad papier dubbel te vouwen, en dan nog eens dubbel, enzovoorts. Telkens verdubbelen dus, of telkens opnieuw maal twee, zoals in de fabel van het schaakbord.
Het vorige wereldrecord stond op naam van Britney Gallivan, en dateert uit 2002. Zij slaagde erin papier twaalf maal dubbel te vouwen. Daarvoor kocht ze een (grote) rol wc-papier van 85$, en begon er aan. Ze had eerst uitgerekend hoeveel verlies er is bij de vouwen:


Op de rol van Britney zat 1200 m wc-papier. Hier zie je het resultaat na 11 maal vouwen:



Daarmee kwam abrupt een einde aan de idee dat je papier maar zeven of acht keer kan dubbelvouwen.
Britney zat nog op de middelbare school toen ze dit presteerde. Aanleiding was een kans om extra punten te verdienen door iets 12 keer dubbel te vouwen.

Dat moet beter kunnen, dachten de leerlingen van de St. Mark's School. Of misschien was het wel hun wiskundeleraar James Tanton? Voor de recordpoging kon worden ondernomen, moesten er eerst enkele hindernissen genomen worden. Een van de grootste hindernissen was ... de wind. Die liet het wc-papier niet zomaar liggen waar het moest liggen. Binnenshuis werken bleek de oplossing te zijn, en een goede omgeving was de Oneindige Gang (Infinite Corridor) van het MIT. Deze gang van 251 m lang verbindt een aantal gebouwen van het Massachusetts Institute of Technology met elkaar (en twee keer per jaar gaat de zon precies onder in het verlengde van de gang, zie foto's, een verschijnsel dat MITHenge wordt genoemd).

De leerlingen van St. Mark's startten met zo'n 4000 m wc-papier. Zij gingen voor 13 keer vouwen! Als we even veronderstellen dat de dikte van het papier 0,1 mm is, dan kom je na 13 keer dubbelvouwen aan een dikte van zo'n 82 cm.


Maar je moet natuurlijk ook rekening houden met het feit dat dubbelvouwen in het Engels folding in half is. Dus wat overblijft moet ook nog een zekere lengte hebben. Als we geen rekening houden met de randeffecten, en de 4000 m 13 keer door 2 delen, dan blijft er nog zo'n 50 cm over. In dit filmpje zie je dat het toch iets minder is (in het filmpje zie je ook even een gastoptreden (?) van Martin Demaine, de Amerikaanse kunstenaar die o.a. bekend is om zijn papiervouwkunstwerken- de gelinkte werken waren recent nog in Rotselaar te bezichtigen - en wiens zoon Erik al even vernoemd werd in deze blog).

Het is niet zeker dat deze recordpoging erkend wordt, want zoals je ziet in het filmpje, er is bij de dertiende vouw heel wat moeite nodig om het papier gevouwen te houden. James Tanton heeft al laten weten dat hij volgend jaar opnieuw een poging doet, maar deze keer met zeker voldoende papier. Zo zie je maar dat wc-papier onverhoopte wiskundige toepassingen kent!

Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken

13. Maart 2011, 22:05

Het is weer zover. Naar jaarlijkse traditie (de vorige versie vind je hier) presenteren we hier ter lering en vermaak en in afwachting van de speciale feestdag van volgend jaar opnieuw een hele resem $\pi$-weetjes.


Wist je ...

• $\ldots$ dat het op maandag 14 maart $\pi$-dag is? Waarom? Omdat in de Amerikaanse schrijfwijze de datum 14 maart genoteerd wordt als 3/14 en 3,14 is een benadering voor het getal $\pi$.
• $\ldots$ dat op 3 augustus 2010 een nieuw wereldrecord decimalen-van-$\pi$-berekenen is gevestigd door de Japanse ingenieur Shigeru Kondo?
  In totaal werden 5 000 000 000 000 decimalen berekend, op een zelfgemaakte computer met een harddisk van 32 TB. Kondo gaat nu voor het dubbele aantal decimalen. Yukiko, de vrouw van Kondo, is er niet echt blij mee, want hun elektriciteitsrekening schoot de hoogte in.
  
  
  
  
  
• $\ldots$ dat Nicholas Sze, een onderzoeker bij Yahoo, in september 2010 ook een $\pi$-record gebroken heeft? Hij berekende het 2 000 000 000 000 000ste binaire cijfer na de komma, en het bleek een 0 te zijn. Voor de berekening werden meer dan duizend computers tegelijk ingeschakeld. Merk op dat als je zelf deze waarde zou hebben proberen te raden, dat je één kans op twee gelijk had.
  Ter info, de eerste binaire cijfers van $\pi$ zijn:
  
  
  11,
  00100100 00111111 01101010 10001000
  10000101 10100011 00001000 11010011
  00010011 00011001 10001010 00101110
  00000011 01110000 01110011 01000100
  10100100 00001001 00111000 00100010
  00101001 10011111 00110001 11010000
  00001000 00101110 11111010 10011000
  11101100 01001110 01101100 10001001
  
  
• $\ldots$ dat het getal $\pi$ echt wel voorkomt in de natuur? Bewijs ervan zie je op de volgende foto, een variant van de spinnenorchis (Ophrys Sphegodes) die we misschien s$\pi$nnenorchis kunnen noemen?
  
  
  
  
  
• $\ldots$ dat de wiskundige Pierre Simon de Laplace in 1811 de volgende prachtige formule bewees die de getallen $\pi$ en e combineert? $$\Large \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2+1}\, {\rm d} x = \frac{\pi}{{\rm e}} $$
• $\ldots$ dat er ook in 2010 nog nieuwe formules gevonden zijn waarin het getal $\pi$ een prominente plaats inneemt? Bijvoorbeeld de volgende: $$\Large \pi^3 = \frac{216}{7} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{ 2n \choose n }}{16^n(2n+1)^3} $$
  (Pilehrood & Pilehrood).
• $\ldots$ dat er sinds het begin van de vorige eeuw mensen zijn die zich bezighouden met het maken van zinnen waarin de lengtes van de opeenvolgende woorden de decimalen van $\pi$ zijn? Het bekendste voorbeeld is wellicht:
  
  
  How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
  
  
  Een probleem hierbij is natuurlijk: wat als er een 0 optreedt? De afspraak is dan: komt overeen met een woord van 10 letters. Ook als er enkele kleine cijfers verschillend van 0 elkaar opvolgen: daarmee kunnen we woorden van meer dan 10 letters laten overeenkomen, bijvoorbeeld 1211 kan dan 12 letters - 11 letters worden. Met deze afspraken (en nog enkele meer) kunnen we nu een boek schrijven dat de decimalen van $\pi$ verwoordt. Dat is precies wat Mike Keith gedaan heeft, in Not A Wake: A Dream Embodying $\pi$'s Digits Fully For 10000 Decimals.
  Het boek bestaat uit 10 secties, elke sectie komt overeen met 1000 decimalen.
  Zo begint het boek:
  
  

  Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees
  Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe.
  So scream with the old mischief, ask me another conundrum
  About bitterness of possible fortunes near a landscape Italian.
  

  
  Merk op dat ook de titel voldoet aan de voorwaarden...
• $\ldots$ dat op het graf van de wiskundige Ferdinand von Lindemann het getal $\pi$ staat? 
  
  
  
  
  Hier zie je het bewuste detail:
  
  
  
  
  Omheen $\pi$ staan een cirkel en een vierkant die met elkaar verstrengeld zijn.
  Dit alles heeft te maken met het feit dat von Lindemann als eerste bewees dat het getal $\pi$ transcendent is, d.w.z. geen oplossing is van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten. Een onmiddellijk gevolg hiervan is dat de kwadratuur van de cirkel (met enkel passer en liniaal een vierkant construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel) onmogelijk is.
• $\ldots$ dat er wetenschappers zijn die vinden dat $\pi$ verkeerd is? Ze bedoelen hiermee dat het een foute keuze was het getal $3,1415...$ voor te stellen met de afkorting $\pi$. Het was logischer geweest het dubbele, namelijk $6,2831$ met de letter $\pi$ aan te duiden. Het zou het lezen van de $\pi$-klok alvast een stuk gemakkelijker maken: links zie je de huidige situatie, rechts die bij de andere keuze.
  
  
  

  
  
• $\ldots$ dat we ondertussen ook weten waarom precies pi(e) gebruikt wordt als benaming voor deze constante?
  
  
  
• $\ldots$ dat we tenslotte nu ook begrijpen waar de pi in 'piano' vandaan komt?
  
  
  
  
  

Nog een pi-weetje dat niet weerhouden werd: $$\Large \ln 2 = \frac{2}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{2}}}\cdot\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}\cdots $$ Dit is een pi-weetje omdat het bewijs ervan precies op dezelfde manier verloopt als het bewijs van de formule van Vieta voor het getal $\pi$!

Geschreven in Actuele wiskunde | 0 Reacties | Vaste link | Afdrukken