Van deze 3d-figuur kunnen we de inhoud berekenen (opnieuw met een integraal). Blijkt dat deze inhoud eindig groot is (meer bepaald pi m³ als we de eenheden in m uitdrukken).
Kan dit wel? De resulterende figuur wordt de Hoorn van Gabriel (of de Trompet van Torricelli) genoemd. Zie ook de paradox van de schilder die verwant is met dit probleem:

Ook de paradox van de kapper is algemeen bekend:

En je kent waarschijnlijk wel de paradox van de leugenaar (die aan de basis ligt van de onvolledigheidsstelling van Kurt Gödel), hier te zien in een variant:

Paradox van de leugenaar

Een leuk voorbeeld vinden we ook in het boek Finite Dimensional Vector Spaces van Paul Halmos.
Daar staat op p. 198 in de index: Hochschild, G.P. ... 198.

Zelfreferentie leidt vaak tot logische problemen. zoals bijvoorbeeld in de klassenparadox van Bertrand Russell (1872-1970). We kunnen deze als volgt kaderen.

De bibliothecaris in de bibliotheek van Babel vindt dat je niet genoeg kan classificeren. Hij heeft dan ook in de loop der jaren allerlei indexen gemaakt  in boekvorm met de bedoeling een boek gemakkelijk te kunnen terugvinden in de reusachtige bibliotheek. Zo heeft hij een boek waarin alle boeken (en hun plaats in de bib) zijn opgenomen die een rode omslag hebben. Niet toevallig heeft deze index zelf ook een rode kaft.
Hij heeft bijvoorbeeld ook een boek gemaakt dat alle boeken van meer dan 3000 pagina's oplijst. Dit boek is niet al te dik.
Nu vindt de bibliothecaris dat hij ook een index moet maken met daarin alle boeken die zichzelf vermelden zoals het rode boek over de rode boeken. Noem deze index Z.
En dan ook een index met boeken die zichzelf niet vermelden (zoals het >3000 p. boek). Noem deze NZ.
Deze twee boeken bevatten samen alle boeken van de bibliotheek van Babel.

De klassenparadox van Russell In welk van deze beide boeken moet hij het boek NZ vermelden? Is het antwoord op deze vraag NZ, dan staat het boek NZ in NZ en hoort het te staan in Z. Dus moet het staan in boek Z, maar in Z staan enkel de boeken die zichzelf vermelden: een contradictie.

Russell was filosoof en wiskundige. Hij vond deze paradox in 1901, toen hij al bezig was aan zijn magnum opus, de Principia Mathematica. Deze paradox deed de wiskunde, meer bepaald de verzamelingenleer, op haar grondvesten beven.  Meer over deze periode kan je lezen in het erg leuke stripverhaal Logicomix.

---

Apostolos Doxiadis, Christos H. Papadimitriou, Alecos Papadatos, Annie Di Donna, Logicomix. Een epische zoektocht naar de waarheid.  De Vliegende Hollander (2009) 345 pagina's. Dit stripverhaal over de beginselen van de wiskunde en de vragen en problemen waarmee de wiskundigen van het begin van de twintigste eeuw geconfronteerd werden, kent een enorm succes. De figuur van Bertrand Russell staat centraal.  De Engelse versie van dit boek komt voor in verschillende lijstjes bij de 10 beste boeken van 2009. Een aanrader. Apostolos Doxiadis is bij ons bekend van zijn roman Oom Petros en het vermoeden van Goldbach. Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Ο Ο Ο Score: Θ Θ Θ Θ Θ

 

---

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (1)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

Deze combinatie doet me dadelijk denken aan het boek Frøken Smillas fornemmelse for sne (Smilla's gevoel voor sneeuw) uit 1992 van de Deense auteur Peter Høeg waarin de hoofdrolspeelster Smilla op een bepaald ogenblik zegt ”Het valt me makkelijker me voor de wiskunde te interesseren dan van mijn medemensen te houden”. (Nu ik terugdenk aan dit boek, weet ik plots weer waar ik de sfeer uit het boek De eenzaamheid van de priemgetallen van Paolo Giordano van ken.)

In deze uitspraak worden twee zaken met elkaar in verband gebracht waarvan ik liever heb dat ze niet samen genoemd worden. Het staat er wel niet letterlijk, maar het beeld van de mensenschuwe wiskundige is dichtbij. 

Mensenschuw en sneeuwpret liggen dan gelukkig weer mijlenver uit elkaar. Stan Wagon, een wiskundige (en o.a. auteur van het boek The Banach-Tarski Paradox), en een aantal collega's laten de sneeuw in elk geval niet liggen. Elk jaar doen ze mee aan een internationale sneeuwsculptuurwedstrijd in Breckenridge (Colorado). Ze maken dan samen een wiskundige sneeuwsculptuur (en halen er nog prijzen mee binnen ook). Zoals de bovenstaande uit 2003, met de naam Whirled White Web (pdf, 2.7 MB). Zilveren medaille.

In het jaar 2000 maakten ze een Enneper-oppervlak, een oppervlak genoemd naar de Duitse wiskundige Alfred Enneper (1830-1885) (waar waarschijnlijk niemand die dit leest al ooit van gehoord heeft). Hier zie je wat meer ervan: in volgorde Enneper zelf, een stelsel parametervergelijkingen van het bewuste oppervlak en de sneeuwsculptuur van Team Minnesota. Zilveren medaille.

Het gaat om een zogenaamd minimaaloppervlak. Minimaaloppervlakken kom je (behalve als sneeuwsculpturen) in de natuur wel vaker tegen, bijvoorbeeld bij zeepbellen. Ook in de kunst duiken ze op. Het oppervlak van Enneper deed me denken aan het kunstwerk dat ik recent nog gezien heb, naar aanleiding van het bezoek van Erik Demaine aan België. Hij neemt een ringvormig stuk karton en maakt daarin (met veel geduld) cirkelvormige plooien. Als hij dan de zwaartekracht haar werk laat doen na het plooien, dan is bijvoorbeeld dit het resultaat:

Mensenschuw kan je wiskundige Demaine zeker niet noemen, als je kijkt naar zijn indrukwekkende lijst co-auteurs.

Lees het artikel 'De Mozarts van de wskunde' (pdf) over Erik en Martin Demaine (Eos-magazine, februari 2009, door wiskundige Dirk Huylebrouck)

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (0)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

Naast zijn stelling is vooral de Pythagoreïsche school bekend. Pythagoras stichtte zijn school, die wel wat weg heeft van een sekte, rond 530 v. C. in Crotone, een stad gelegen in de hiel van Italië. De Pythagoreeërs geloofden in de onsterfelijkheid van de ziel, en in reïncarnatie. Om die reden aten ze ook geen vlees.
Maar terug naar de stelling en het bewijs ervan:

Er zijn heel veel bewijzen te vinden van deze stelling. Bruno Ernst, bekend door zijn boeken over M.C. Escher, schreef er dit over. De leukste vind ik persoonlijk die waar weinig uitleg bijhoort. Ik geef er hier enkele. Een van de bekendste:

Of dit veel minder bekende:

 

Er is er ook een leuke in de categorie Hinged Dissections.

Paul J. Nahin, vooral bekend van zijn schitterende boek An Imaginary Tale (over de complexe getallen), geeft in zijn laatste boek een bewijs "vanuit de fysica". Het vertrekt van de volgende figuren:

Nahin merkt op dat het duidelijk is dat de oppervlakte van de driehoek links volledig bepaald is door de waarden van A en φ.  Omdat de eenheden die bij een oppervlakte horen het kwadraat zijn van de eenheden voor een lengte, zal die afhankelijkheid zo moeten zijn: oppervlakte = A² maal (uitdrukking die afhangt van de hoek φ). Uit de tweede figuur halen we dan dat de oppervlakte van de blauwe en de rode rechthoek gelijk zijn aan respectievelijk B² maal (uitdrukking die afhangt van de hoek φ) en C² maal (uitdrukking die afhangt van de hoek φ). Uit de gelijkheid van de oppervlakte links en rechts en de gelijkheid van de hoeken in kwestie, volgt dan de stelling.

Als je geïnteresseerd bent in de geschiedenis van de stelling van Pythagoras, dan is het boek van Eli Maor (zie verder), die we ook kennen van Trigonometric Delights, en e: The Story of a Number, een aanrader. Zoals we gewoon zijn van Maor is zijn boek zeer volledig. Je vindt er dus ook een aantal bewijzen van de stelling, en er worden heel wat verbanden gelegd met andere dingen, zoals de relativiteitstheorie en de laatste stelling van Fermat. Wat ik er niet in terugvind, dat is het recente inzicht dat er al een bewijs van de stelling te vinden is in de Indische geschriften bekend als de Apastamba Sulba Sutra uit 600 v.C. Er is dan ook een theorie in omloop die zegt dat Pythagoras het bewijs gekopieerd heeft tijdens een reis door India.

Heel recent verscheen ook een boek voor de liefhebbers van het genre waar Dan Brown bekend voor is. Wat bekendheid betreft moeten Pythagoras en zijn stelling niet onderdoen voor Da Vinci en de gulden snede. En omdat er toch nog steeds een waas van mysterie hangt rond Pythagoras, is hij de ideale figuur om een boek rond te schrijven.
Titel: De Wraak van Pythagoras, auteur: Arturo Sangalli, een wiskundige die ook wetenschapsjournalist is. Een aanrader waar ik niet teveel over ga vertellen.

 

 

Maar ... een exemplaar van het boek in kwestie is te winnen.

Wat moet je doen om kans te maken? Schrijf in een commentaar op deze blog jouw antwoord neer op de vraag: "Waarom hebben wiskundigen een beter gevoel voor humor?", of op de vraag "Wat is uw beste herinnering aan Pythagoras?". 

(Het boek is ondertussen verloot tussen de eerste inzendingen.)

---

Eli Maor, The Pythagorean Theorem, A 4.000-Year History. Princeton University Press (2007) 259 pagina's. Volgens Eli Maor is de stelling van Pythagoras de meest gebruikte stelling uit de wiskunde. In dit boek vertelt hij er ons alles over. Het boek is zeer goed geschreven en heel mooi geïllustreerd.  Formuledichtheid: Θ Θ Θ Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο Score: Θ Θ Θ Θ Ο

---

Arturo Sangalli, Pythagoras' Revenge, A Mathematical Mystery. Princeton University Press (2009) 183 pagina's. Zoals al blijkt uit de ondertitel: wiskunde en mysterie worden in elkaar verweven in dit erg vlot lezende boek. Een aanrader! Formuledichtheid: Θ Ο Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Ο Ο Ο Ο Ο Score: Θ Θ Θ Θ Ο

---

Paul J. Nahin, Mrs. Perkins Electric Quilt. Princeton University Press (2009) 391 pagina's. Dit boek gaat over de interactie tussen fysica en wiskunde. Een aantal fysische verschijnselen zoals de zwaartekracht binnen in een bol, en de beweging van een kogel (met en zonder wrijving) worden wiskundig volledig uitgebeend. Nahin slaagt erin ons al vanaf het begin te verbazen door de limietdefinitie van de exponentiële functie af te leiden uit de bewegingswetten van Newton. En hij gaat zeer grondig te werk in zijn afleidingen. Dat maakt het boek eerder moeilijk, er komen ook Fourierreeksen en Monte Carlo methodes in voor. Het boek is bedoeld voor mensen die een wetenschappelijke richting gevolgd hebben in het hoger onderwijs. De score onderaan is in dit geval heel persoonlijk. Ik vond het te moeilijk voor deze blog. Formuledichtheid: Θ Θ Θ Θ Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Θ Ο Score: Θ Θ Ο Ο Ο

---

Geschreven in Algemeen  Vaste link 

Reacties :
• (24)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

Vorige week donderdag veroorzaakte een klein artikeltje in de krant een glimlach op het gezicht van menig wiskundige. De lottotrekking van 10/09 in Bulgarije gaf als uitslag

4, 15, 23, 24, 35 en 42

Op zich niets speciaals, ware het niet dat bij de trekking hiervoor, op 06/09, juist dezelfde balletjes uit de draaiende trommel vielen (weliswaar niet in dezelfde volgorde).

Grote opschudding bij de Bulgaren, met als gevolg dat experten nu onderzoeken of het toeval niet een beetje gemanipuleerd werd. De organisatie van de Bulgaarse lotto is verontwaardigd over deze verontwaardiging en sluit formeel iedere vorm van fraude uit.

Wat is de kans dat deze week bij de lotto dezelfde cijfers worden getrokken als vorige week? Iedere wiskundige zal hierop antwoorden dat deze kans gelijk is aan 1 op 5245786 (omdat er juist zoveel combinaties zijn van 6 getallen uit 42). Behalve dan de Bulgaarse wiskundige Konstantinov volgens het artikel in De Morgen, maar deze arme kerel werd allicht verkeerd geciteerd door de krant (dan haal je als wiskundige eens de internationale pers). De kans dat zoiets gebeurt is inderdaad microscopisch klein, maar het is even onwaarschijnlijk dat deze week de combinatie die u ingevuld hebt uit de bus komt. Lottoballetjes hebben immers geen geheugen, en door het systeem van de draaiende trommel garandeert de organisatie dat iedere keuze van zes getallen evenveel kans heeft. Ook deze van vorige week.

Surf tijdens uw lunchpauze eens naar de website van Lotto.  Daar kan je statistieken opvragen over de frequentie van de getrokken getallen van 1978 tot nu. Het bijbelse geluksgetal 7 blijkt het meest populair, en is bijna 28% meer uit de trommel gevallen dan het meest zeldzame getal, namelijk 41, toevallig een Sophie-Germainpriemgetal (lees onze bijdrage over dit wiskundemeisje). Duidt dit dan toch op een manipulatie van het toeval? Zouden na vele jaren van lottotrekkingen niet alle frequenties ongeveer gelijk moeten zijn? Belangrijk in deze bewering is natuurlijk wat men bedoelt met "vele jaren" en "ongeveer gelijk". De beroemde wet van de grote getallen (of beter: grote aantallen) stelt wel dat een uniforme verdeling voor de getrokken getallen van 1 tot 42 met de tijd waarschijnlijker wordt, maar ze sluit helemaal niet uit dat af en toe de grilligheden van het lot roet in het uniforme eten gooien. Elke wiskundeleraar die met kanssimulaties experimenteert in de klas, maakt soms tot zijn grote frustratie mee dat het frequentiehistogram na 500 dobbelsteenworpen beter de uniforme verdeling benaderde dan na 1000 worpen.

Nog een toepassing van de wet van de grote getallen:

De menselijke intuïtie neigt naar een overdreven patroonherkenning in de willekeur van het toeval. Een kanstheoreticus maakt gemakkelijk het onderscheid tussen een rij van 200 echte muntstuktossen en een door de mens bedachte rij. De Psychology of Randomness is in dit verband een leuk artikel. Nee, er is niets aan de hand met onze lotto, en er is niets speciaal met 7 of 41 (toch niet in deze context).

Dus, lach je collega nooit uit als hij op zijn lottoformulier de winnende combinatie van vorige week invult. Hij getuigt dan enkel van een gezond kanstheoretisch inzicht. Dit kan ook gezegd worden van de 18 Bulgaarse winnaars bij de bewuste trekking van 10/09. Achttien! Dit is pas een statistische uitschieter (in Bulgarije zijn er zeker niet meer deelnemers dan in België of Nederland). De verklaring ligt natuurlijk in de menselijke psychologie, en niet in de kanstheorie. Balletjes hebben dan wel geen geheugen, maar mensen wel. En dus waren 4, 15, 23, 24, 35 en 42 niet zo maar willekeurige getallen. De dag dat 1, 2, 3, 4, 5 en 6 uit de trommel vallen, voorspel ik ook verbazend veel winnaars, omdat deze combinatie voor ons mensen een speciaal patroon vormt (en dus is de kans groter dat meer mensen hiervoor kiezen).

Besluit: Wiskundigen kunnen je niet helpen bij het invullen van je lottoformulier, ze kunnen je alleen vertellen hoe klein je winstkans is (bekijk deze cartoon). Maar dat was ze ook voor de winnaar van deze week.
(RP)

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (0)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

Dit vroegen velen zich onlangs af na het lezen van de bestseller “De eenzaamheid van de priemgetallen”, of gewoon nadat ze de titel hoorden. We zijn intussen bekomen van de steek van jaloersheid (waarom bedenken wij niet zulke titels?) en gaan laaghartig in de tegenaanval. Want, beste mensen, eigenlijk hebben de priemgetallen niet zo te klagen over eenzaamheid. Priemtweelingen, priemneven en zelfs de zogenaamde sexy priemgetallen hebben het best gezellig samen. Nee, dan leiden bijvoorbeeld de Mersenne-priemgetallen of de Andersen-getallen een veel schraler bestaan, om nog maar te zwijgen over sociale gevallen zoals de priemvampiergetallen.

Toegegeven, naarmate we oprukken in de rij der getallen worden de priemgetallen steeds zeldzamer. Inderdaad, uit de priemgetallenstelling volgt dat voor een (groot) priemgetal x de afstand tot het volgende priemgetal gemiddeld ln(x) bedraagt (lees onze bijdrage op deze blog over Het Bewijzenboek). Hierbij is ln(x) het natuurlijke logaritme (staat op het meest eenvoudige rekentoestel). Maar dit betekent ook dat voor een priemgetal met bijvoorbeeld 5 cijfers het verschil tot het dichtstbijzijnde priemgetal gemiddeld 13 bedraagt. Dit is geen onoverbrugbare kloof als je het ons vraagt, dus wat die zogenaamde eenzaamheid betreft, zal het wel best meevallen. En dan zwijgen we nog discreet over promiscue voorvallen zoals priemtweelingen (het verschil is slechts 2, bijvoorbeeld 11 en 13), priemneven (het verschil is slechts 4, bijvoorbeeld 43 en 47) of sexy priemgetallen (het verschil is slechts 6, bijvoorbeeld 97 en 103).

Anderzijds kan je wel pech hebben als priemgetal, want de afstand tot het volgende priemgetal kan soms ver boven het gemiddelde liggen. Bijvoorbeeld, na het priemgetal 1425172824437699411 gaapt een gat van lengte 1476 (tot het volgende priemgetal), meer dan 35 keer de verwachte opening ln(1425172824437699411). Dit priemgat is dit jaar gespot door Tomás Oliveira e Silva. De zoektocht naar grote priemgaten heeft al een hele reeks records opgeleverd. Verbaas u hierover op de website van Jens Andersen. We weten wel dat willekeurig grote priemgaten kunnen optreden, maar het blijkt niet eenvoudig om effectief een priemgat te vinden en te verifiëren dat het er een is (alle getallen in het gat moeten ontbindbaar zijn en de eindpunten niet). Toen J. Andersen en T. Alm in 2004 een priemgat van lengte 337446 ontdekten, was dit dankzij de nodige slimme wiskundige software. Dat sommige wiskundigen hun dagen vullen met het opsporen van priemgaten, zoals sommige astronomen zwarte gaten in het heelal zoeken, lijkt op het eerste zicht de wereldvreemdheid van het vak te bevestigen. Op het tweede zicht ook. Al kan het tegenover de belastingbetaler verdedigd worden met het excuus dat dit soort onderzoek bijdraagt tot het inzicht in hoe priemgetallen zich verspreiden tussen de andere getallen, en priemgetallen zijn per slot van rekening de bouwstenen van de getaltheorie. Hetzelfde argument legt uit waarom het zo belangrijk is dat eindelijk eens iemand het Vermoeden van Riemann bewijst.

Maar we wijken af, want we hadden het eigenlijk over eenzame priemgetallen. De omkeerbare priemgetallen zijn redelijk dun gezaaid. Zo is 13 bijvoorbeeld een omkeerbaar priemgetal, want 31 is ook een priemgetal. Met hoeveel ze zijn, eventueel oneindig veel, kan voorlopig niemand zeggen. Als een priemgetal een palindroom is, dan is het natuurlijk vanzelf omkeerbaar, bijvoorbeeld 10301. Het grootste palindroompriemgetal dat we vandaag kennen, is 10¹⁸⁰⁰⁰⁴ + 248797842 × 10⁸⁹⁹⁹⁸ + 1 (H. Dubner, 2007). Het grootste omkeerbaar priemgetal dat geen palindroom is (in het Engels een “emirp”) staat op naam van Jens Andersen (2007): 10¹⁰⁰⁰⁶+941992101×10⁴⁹⁹⁹+1. Een leuk weetje, handig als het gesprek aan tafel stilvalt, is dat 37 het 12^de priemgetal is, terwijl zijn omgekeerde (73) het 21^ste priemgetal is, en merk op dat 21 het omgekeerde van 12 is!

Duidelijker(?): als de functie P(n) het n-de priemgetal geeft, dan is n=12 een oplossing voor de vergelijking:

                                   P(omgekeerde(n)) = omgekeerde(P(n))

Sinds het artikel van J.L. Pe wordt n=12 een “palin point” voor de functie P genoemd (bij het googlen wel de optie –sarah meegeven). Probeer zelf ook eens een palinpunt voor P(n) te vinden (dit is een geschikt moment om het gezelschap te verlaten en de schotel in de oven te zetten). De enige voorbeelden die een normaal mens kan vinden zijn de voor de hand liggende eerste vijf priemgetallen. Het is opnieuw J. Andersen die als eerste een palinpunt voor P(n) ontdekte groter dan 12: n = 8114118 en P(n)=143787341 (door een gelukkig toeval zijn zowel n als P(n) palindromen). Een meer haalbare puzzel is het zoeken naar palinpunten voor de kwadraatfunctie f(n) = n² (bijvoorbeeld n=13, want 13²=169 en 31²=961).

Als de vorige anekdote uw gasten niet boeit en als hun kaken dreigen te verrekken tijdens het geeuwen,  is het misschien tijd om het probleem van 196 op tafel te gooien. Dit verhaal gaat over algemene palindroomgetallen, niet noodzakelijk priem. Bijvoorbeeld 303, toevallig het aantal palindromen in de Dikke Van Dale (dit laatste kan je met uitgestreken gezicht beweren, want wie gaat zoiets controleren?). Als een getal geen palindroom is, bijvoorbeeld 42, dan tel je hierbij het omgekeerde op, 42+24, en het is goed mogelijk dat je dan wel een palindroom krijgt, zoals hier 66. Maar soms heb je pech, maar dan herhaal je de procedure:

95 + 59 = 154

154 + 451 = 605

605 + 506 = 1111

En uiteindelijk kom je terecht bij een palindroomgetal! Test dit maar zelf uit met enkele willekeurige getallen. Maar tot hiertoe heeft nog niemand kunnen bewijzen dat dit werkelijk bij ieder getal lukt (als je de procedure maar lang genoeg volhoudt). Het is zelfs zo dat sommige getallen zich hardnekkig verzetten om een palindroom te worden. Het kleinste probleemgeval is 196. Wat is er mis met 196? Hele generaties computers hebben steeds het omgekeerde opgeteld bij de uitkomst, startend met 196, maar tot nu toe werd geen palindroom bekomen. Algemeen wordt vermoed dat dit nooit zal gebeuren, maar een wiskundige bewijs is nog niet gevonden.

U merkt hoe moeilijk het is om ons te beheersen en bij de les te blijven. We hadden het dus over eenzame priemgetallen. Een Mersenne-priemgetal M is een priemgetal van de vorm 2ⁿ – 1 (bijvoorbeeld 7 = 2³-1). Het is noodzakelijk dat de macht n zelf priem is, want anders is M zeker ontbindbaar. Helaas is dit niet voldoende: 2¹¹−1 = 2047 = 23×89 is geen priemgetal. Mersenne-priemgetallen zijn zeer zeldzaam en moeilijk te vinden. Tot heden zijn er nog maar 47 gevonden; de laatste hiervan in april van dit jaar door de Noor O. Strindmo. Ook het grootste tot nu gevonden priemgetal is een Mersennegetal: 2^43112609-1 (wat geen toeval is, omdat voor Mersennegetallen een efficiëntere priemtest bestaat dan voor willekeurige getallen). Men vermoedt dat er oneindig veel Mersenne-priemgetallen bestaan, maar zeker is dit (nog) niet. In dit geval zouden er ook oneindig veel perfecte getallen bestaan, want ieder even perfect getal is van de vorm 2^(n-1).(2ⁿ - 1) met 2ⁿ - 1 priem. Een perfect getal is de som van zijn delers (zichzelf niet meegerekend). Bijvoorbeeld 28 = 2²· (2³ – 1) =1+2+4+7+14. Tot de dag van vandaag heeft men nog geen oneven perfect getal gevonden. Perfecte getallen werden reeds in de oudheid bestudeerd en kregen dikwijls een mystieke of religieuze betekenis.

Joseph L. Pe, de man die de term “palinpoints” uitvond, introduceerde het begrip spiegelperfecte getallen (puur voor het puzzelplezier, wat ons inziens een gezonde motivatie is). Neem bijvoorbeeld 10311. Dit getal is niet perfect, want het is niet gelijk aan de som van zijn (echte) delers:

1 + 3 + 7 + 21 + 491 + 1473 + 3437.

Maar als men het spiegelbeeld van deze som beschouwt,

7343 + 3741 + 194 + 12 + 7 + 3 + 1,

dan is de uitkomst gelijk aan 11301, het spiegelbeeld van 10311. We noemen 10311 hierom een spiegelperfect getal. Ook voor deze getallen heeft men nog weinig zicht op hun verspreiding (de “eenzaamheid”)  tussen de andere getallen, en weet men niet of ze oneindig in aantal zijn. Jens Andersen, hij weeral, de man van de grote getallen, heeft een stelling gevonden waarmee gigantisch grote spiegelperfecte getallen kunnen geconstrueerd worden. Eerst zoekt hij een priemgetal van de vorm p=140z10n89, waarbij z een rijtje nullen is (eventueel lengte 0) en n een rijtje negens (eventueel lengte 0). Daarna vermenigvuldigt hij dit priemgetal met 57, en hij heeft bewezen dat de uitkomst (een “Andersen-getal”) altijd spiegelperfect is. Bijvoorbeeld

p = 140000109999989

is toevallig priem. Het bijbehorende Andersen-getal

57 x p = 7980006269999373

is dus spiegelperfect. Misschien moeten we maar eens een boek schrijven met als titel “Het onuitputtelijke puzzelplezier van de priemgetallen”.

(RP)

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (0)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

De maand juni is voor vele Belgen een zoektocht naar bankattesten, loonafschriften, bewijzen van kinderopvang, en alle andere documenten die nodig zijn om onze belastingsaangifte zo nauwkeurig mogelijk in te vullen. Onze overheid gaat er (terecht) van uit dat niet iedereen al zijn inkomsten aangeeft en dat aldus de staat rechtmatige inkomsten aan haar neus laat voorbijgaan. Daarom worden op willekeurige basis belastingcontroles uitgevoerd. Maar controles kosten dan weer geld, dus is het de kwestie om een evenwicht te vinden: hoe groot moet de fractie van de gecontroleerde aangiftes zijn (en de bijbehorende boetes) om juist de gemiste belastinginkomsten te compenseren? Anderzijds zal deze fractie de pakkans bepalen en dus ook de strategie van de fraudeurs aangaande het bedrag dat “vergeten” wordt aan te geven.

Speltheorie

Binnen de wiskundige economie bestaat een gebied met de vrolijke naam “speltheorie” dat zich bezighoudt met problemen zoals hiervoor beschreven. Deze theorie werd tijdens de Tweede Wereldoorlog ontwikkeld door Oscar Morgenstern (1902–1977) en John von Neumann (1903-1957).

Zij schreven er een boek over, getiteld Theory of Games and Economic Behaviour (1944). Voor bepaalde marktsituaties (of algemener, spelsituaties) worden modellen bestudeerd waarin één of meerdere spelers uit verschillende strategieën kiezen om een persoonlijk of gemeenschappelijk nut te verhogen. Vanuit wiskundig standpunt wordt vooral kanstheorie gebruikt. Varianten van “speltheorie” (of “vertakkingen”, afhankelijk van de geraadpleegde bron) zijn “beslissingstheorie” en “mechanisme-ontwerp”. Bovendien kan de studie van sociale samenlevingsmodellen als bastaard beschouwd worden, geboren uit overspel met de psychologie. In de speltheorie gaan we er namelijk vanuit dat de spelers enkel op rationele gronden beslissen, maar in de praktijk worden we gedreven door meer complexe psychologische motieven.

De shotgun-clausule van de Deense koning

De Sont is de zeestraat tussen Denemarken en Zweden. Tussen 1429 en 1857 werd op buitenlandse schepen die hier passeerden, tol geheven door het Deense koningshuis. Sinds 1567 werd deze Sonttol a ratio van de ladingswaarde berekend. Wat deze waarde betrof, moesten de Denen de schippers op hun woord geloven, want het was praktisch onmogelijk om de hele lading te controleren en te schatten. De Deense koning Frederik II (1534-1588) bedacht hiervoor een eenvoudige maar slimme oplossing. Hij kwam vooraf overeen met de schipper dat de opgegeven waarde voor de lading tegelijkertijd als koopprijs mocht beschouwd worden. Dus, de koning had te allen tijde het recht om de hele lading van de schipper over te nemen tegen het opgegeven bedrag. In sommige economische middens wordt dit de shotgun-clausule genoemd. Fraude wordt inderdaad ontmoedigd als je niet op voorhand weet of het opgegeven bedrag gebruikt wordt om de tol te berekenen, dan wel om je bezittingen op te kopen.

<Stel dat we r noteren voor de Deense tolvoet. Dus, als de schipper zijn lading aangeeft voor een bedrag A, dan is de gevorderde tol gelijk aan rA. Voor de Sonttol was r een waarde tussen 0,01 en 0,02. Stel verder dat de schipper beslist om zijn lading van waarde W te onderwaarderen en aan te geven voor A=W/(1+r). Dan bevindt de koning zich in een “evenwichtige situatie”. Hiermee bedoelen we dat onafhankelijk van zijn beslissing (aangifte aanvaarden of niet) de koning altijd een opbrengst verwerft van

rW/(1+r)

Inderdaad, als hij simpelweg tol heft dan levert hem dit rA=rW/(1+r) op. Maar als hij tot de koop overgaat, dan is zijn winst W-A, wat ook gelijk is aan rW/(1+r).

Als controlestrategie kan de koning beslissen om bij een fractie p=r/(1+r) van alle passerende schepen de lading op te kopen (met r nog steeds de tolvoet). Dit brengt dan weer de schipper in een evenwichtige situatie. Met welke aangifte A < W hij ook voor de dag komt, zijn verwachte kost is altijd dezelfde:

E(kost) = (1-p)rA + p(W-A) = rW/(1+r)

Lees meer over de Sonttol en verwante situaties op Kennislink.

A beautiful mind

Een dergelijke keuze van beslissingen door de spelers waarbij niemand zijn situatie kan verbeteren gegeven de strategie van de ander(en), noemen we een Nash-evenwicht.

John Forbes Nash (1928), wiskundige en econoom, is bij het grote publiek vooral bekend als hoofdpersonage in de film “A beautiful mind”, een film met Russell Crowe uit 2001, vorig weekend nog te zien op televisie. Zijn “evenwichtstheorie” is ontegensprekelijk een belangrijke bijdrage in de speltheorie. In zijn doctoraatsthesis (1950) bewees hij dat onder bepaalde omstandigheden er steeds een Nash-evenwicht bestaat (“voor elk niet-coöperatief spel met gemengde strategieën”). Zoals gekend, kreeg hij voor dit werk de Nobelprijs voor economie (1994). In 2004 kreeg hij een eredoctoraat aan de Universiteit Antwerpen. Lees zeker ook het Interview met John Nash in Eos juni 2007.

Het ultimatumspel  

Een klassiek paradigma beschrijft hoe een vader zijn twee kinderen samen honderd euro geeft, aangenomen dat ze onderling een verdeling overeenkomen. Hierbij mag de oudste juist één voorstel doen aan de jongste. Als deze laatste het hiermee niet eens is, neemt vader het geld terug en krijgen ze allebei niets. Dit wordt soms het “ultimatumspel” genoemd. Vanuit rationeel standpunt zou de jongste ieder voorstel moeten aanvaarden. Dit is de optimale strategie voor zijn persoonlijk nut, maar ook voor de gemeenschap (beide kinderen). Deze situatie is al herhaaldelijk gespeeld met proefpersonen, en het blijkt dat een voorstel van beneden de 20% zelden aanvaard wordt. Ook al blijven de spelers dan met lege handen achter. Misschien wil het “jongste kind” de “oudste” terechtwijzen voor zijn vernederend voorstel in de hoop om de volgende keer een betere verdeling af te dwingen. Maar komt er wel een volgende keer? Is onze psychologie getraind door en dus ook voor herhaalde experimenten? Kunnen wij enkel logisch redeneren op lange termijn, en hebben wij het lastig met de rationaliteit van de eenmalige gebeurtenis? De speltheorie leert ons alvast dat andere strategieën zich opdringen als we een spel meermaals spelen. In de marge doe ik jullie glimlachen met het verslag van een onderzoek van de universiteit van Cambridge. Bij experimenten van het ultimatumspel schijnt dat proefpersonen die onder invloed zijn van chocolade en kippensoep vlugger geneigd zijn om een laag voorstel te aanvaarden. De aanmaak van serotonine zou hiervoor verantwoordelijk zijn.

Het prisoner's dilemma  

Het meest geciteerde voorbeeld uit de speltheorie is ongetwijfeld het “prisoner’s dilemma”. Voor een goede beschrijving verwijzen we naar de website van de Universiteit van Twente. Hieronder zie je het schema voor de dieven Albert en Bob die na een gewapende overval met wapens betrapt worden, maar met geen bewijs voor hun betrokkenheid bij de overval zelf. Als ze dus allebei ontkennen, kan men hen enkel verboden wapenbezit aansmeren, wat 1 jaar gevangenis betekent. Toch geeft ontkennen geen Nash-evenwicht, want als de andere bekent (en jou er inluist) dan heb je 15 jaar aan je been (en gaat de onderkruiper vrijuit). Een Nash-evenwicht ontstaat wel als Bob en Albert allebei bekennen. Zoals bij het ultimatumspel verandert de situatie (en de strategie) wel degelijk als het spel herhaald wordt en als jouw huidige beslissing kan afhangen van de vorige beslissing van de tegenspeler. In het vuur van de koude oorlog bepaalde speltheorie mee de strategie tijdens de wapenwedloop.

Het laatste koekje in de schaal

De modellen in speltheorie hoeven niet noodzakelijk altijd enkel persoonlijk voordeel na te streven. Door het voordeel van anderen in de individuele nutsfunctie in te voegen (meestal met een gewichtsfactor), kunnen ook eigenschappen zoals burgerzin of altruïsme gemodelleerd worden.

Stel even dat onze dieven van het prisoner's dilemma samen uitgenodigd zijn op een communiefeest. Bob en Albert kunnen allebei het laatste koekje in de schaal begeren, maar wie het meeste lef heeft, kan genieten (met een beetje schuldgevoel). Degene die met lege handen achterblijft, moet bovendien toezien hoe de andere smult. Als niemand durft toe te tasten, dan verkommert het koekje in de schaal en blijven ze allebei verstoken van genot, maar ook van het leed om de andere te zien eten. Maar in tegenstelling tot het prisoner’s dilemma is nu galantheid ook een strategie. Bob kan het laatste koekje aanbieden aan Albert. Ook al blijft Bob op zijn honger zitten, hij voelt zich minder een verliezer en zelfs een beetje beloond door zijn altruïsme. Ook Albert zal nu met minder schuldgevoel kunnen genieten dan wanneer hij het koekje zelf botweg genomen had. Het boeiende is dat we niet allemaal goede mensen moeten zijn om deze wereld aangenamer te maken. Want als Bob en Albert allebei het koekje aan de andere aanbieden en blijven volhouden in hun beleefdheid, dan blijft het koekje eveneens in de schaal liggen en scoort niemand met zijn galantheid.

Een Nash-evenwicht wordt in sommige spelen dus enkel bereikt in een gemengde strategie waarbij een van de spelers lief is en de andere egoïstisch.

Welke les we hieruit moeten trekken voor het invullen straks van onze belastingbrief is me een brug te ver voor deze blog.

(RP)

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (2)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

In zijn cultreeks The Hitchhiker's Guide to the Galaxy (een "trilogie" in vijf delen) beschrijft auteur Adam Douglas hoe een pan-dimensionaal hoogbegaafd ras een supercomputer ontwerpt met de naam Deep Thought. Als je deze naam in je zoekmachine intikt (en de vraag van Google negeert of je misschien "deep throat" bedoelt) dan vind je dat IBM de naam "Deep Thought" van Douglas ontleend heeft voor hun fameuze schaakcomputer in de jaren 80 (voorloper van "Deep Blue"). 

De bedoeling van de ontwerpers van "Deep Thought" was om het ultieme antwoord te krijgen "op het leven, op het universum, op alles". Na zeven en een half miljoen jaren van rekenen kwam deze supercomputer met het antwoord 42 . Toen beseften de leiders van dit intelligent ras dat de vraag eigenlijk niet gekend is. Om de bevolking te sussen stelden ze "How many roads must a man walk down?" als mogelijkheid voor, maar dit lukte niet echt. Helaas bleek "Deep Thought" zelf niet bij machte om de ultieme vraag te achterhalen die het ultieme antwoord 42 geeft. Daarom ontwierp "Deep Thought" een nieuwe machine, de "Aarde", met als doelstelling om uiteindelijk de ultieme vraag te kennen. Helaas wordt de Aarde vijf minuten voor het voltooien van de berekening vernield door de "Vogons". Maar lees vooral zelf het boek.

Sinds 18 mei 2009 is de nieuwe internethype Wolfram Alpha officieel opengesteld voor het grote publiek. De makers beschrijven haar als een "Computational Knowledge Engine" met als ambitie om alle menselijke kennis gestructureerd te groeperen. Ze is echter geen zoekmachine zoals Google, maar een superbrein dat meteen het antwoord op je vraag geeft (en dus geen lijst met internetpagina's). Voorlopig kan je alleen Engels met haar praten. Type bijvoorbeeld "Newton" in en ze vraagt of je de eenheid, de persoon of de stad bedoelt. Als gebruiker kan je dan verder specifiëren.
Probeer zeker ook eens je geboortedatum of een moeilijke integraal (bijvoorbeeld integral((sin x)/x) ).

We waren wel een beetje teleurgesteld dat Wolfram Alpha geen weet heeft van het bestaan van Paul Levrie en Rudi Penne (dat ze de laatste met een pastagerecht verwart is enkel zout in de wonde). Ook haar kennis over "Eos" lijkt ons nog te beperkt. Maar we troosten ons met het feit dat ze evenmin Eddy Merckx en dEUS kent. Pater Damiaan en Marc Dutroux staan daarentegen al wel in de gegevensbank. We konden ook niet aan de verleiding weerstaan om te vragen: "How many roads must a man walk down?" Het antwoord verraste, en eigenlijk toch weer niet. 

De Brit Stephen Wolfram is de geestelijke vader van dit superbrein. Hij is onder wiskundigen vooral bekend als schrijver van de software Mathematica, een programma voor wiskundige berekeningen en figuren, dat in staat is tot symbolisch redeneren (vergelijkbaar met "Maple"). Behalve informaticus/wiskundige is hij ook een natuurkundige, en schreef als vijftienjarig wonderkind al een artikel over deeltjesfysica. Zijn bedrijf, dat naast het programma Mathematica en de website MathWorld nu ook Wolfram Alpha heeft gelanceerd, heet Wolfram Research .  Bovendien is hij de auteur van het spraakmakende boek "A new kind of science" .
(RP)

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (0)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

Het mechanisme om een beroemde blogger te worden is eindelijk blootgelegd:

(met dank aan cartoonist Dave Walker)

Geschreven in Algemeen  Vaste link 

Reacties :
• (0)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

en wel in een van de notaboekjes van Leonardo Da Vinci (1452-1519), met name de Codex Arundel, uit het begin van de zestiende eeuw. Een moderne versie van deze tekening ziet er zo uit:

Maar om welke kromme gaat het hier? Op de tekening zie je dat de gezochte kromme rakend is aan de weerkaatste stralen. In de wiskunde spreekt men over de omhullende van de weerkaatste stralen. Methodes om de vergelijking van een omhullende te vinden, bestaan al lang. In dit geval blijkt het te gaan om de helft van een nierkromme, of nefroïde, een kromme die thuishoort bij de epicycloïden. Dit zijn krommen die ontstaan indien we een cirkel omheen een vaste cirkel rollen zonder glijden, en we de beweging van een punt op de rand van de rollende cirkel volgen:

Door de eeuwen heen zijn kaustieken bestudeerd door niet de minste wiskundigen, door enkele Bernoulli's bijvoorbeeld, maar ook door Adolphe Quételet (1796-1874), wiskundige van eigen bodem en bekend uit de statistiek en als 'uitvinder' van de body mass index.
Als je er even mee bezig bent, dan kom je al snel terecht in een wereld vol krommen met exotische namen zoals evoluten, evolventen, voetpuntskrommen, orthotomics. Met leuke prentjes ook. De kaustiek van een cycloïde bijvoorbeeld is opnieuw een cycloïde die half zo groot is als het origineel:

En de kaustiek van de bekende exponentiële functie is dan weer een andere beroemde kromme, namelijk de kettinglijn:

Geïnteresseerde lezers kan ik het boek van Johann Bernoulli (1667-1748) aanraden (hier in een Duitse vertaling), de hoofdstukken over kaustieken beginnen op pagina 110, of het eerste echte Calculusboek, van de hand van Guillaume de l'Hospital (1661-1704) (vanaf pagina 148 gaat het over kaustieken). Ook nu nog worden kaustieken bestudeerd, bijvoorbeeld in de branche van de Computer Graphics (waarin collega-blogger Philip Dutré actief is).
Hier zie je een beeld dat volledig door de computer is gegenereerd:

En ook dit past volledig in het kader:

Bronnen/verder lezen

• Een deel van dit materiaal vind je terug in:
  P. L. en H. Missinne, Over grafieken, kaustieken en epicycloïden, Wiskunde en Onderwijs 32 (125), pp. 21-30, 2006.
• Ook hier kan je eens een kijkje nemen: Ch. Ucke en Ch. Engelhardt, Playing with caustic phenomena, en Kaustik in der Kaffeetasse. Op de webpagina van Christian Ucke zijn overigens nog een heleboel andere leuke dingen te lezen.

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (0)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

De eerste sudokuhype lijkt een beetje over. Maar vergis u niet, nog steeds is geen trein of wachtzaal veilig voor de eenentachtig vakjes. Bovendien hebben deze puzzels nog lang niet al hun wiskundige geheimen prijsgegeven. En af en toe duiken ze op in het nieuws. Vorige week bijvoorbeeld meldden enkele internetredacties dat een wiskundige, James Crook (what’s in a name?), een formule had uitgevonden om sudoku’s op te lossen. Lees bijvoorbeeld dit. Het bericht werd zelfs overgenomen door de krant De Morgen. Als gevolg lieten her en der liefhebbers hun bezorgdheid horen over het eventueel vergallen van hun puzzelplezier.

Zelf ben ik niet zo een puzzelaar, maar sudoku’s stammen nu eenmaal af van Latijnse vierkanten en leveren vaak leuke wiskunde op.  

Dus haastte ik me naar de website van de American Mathematical Society om het bewuste artikel A Pencil-and-Paper Algorithm for Solving Sudoku Puzzles te lezen. De “formule” waarover de nieuwsberichten het hadden, is een algoritme, een strategie in stappen dus. Zowel de publicatie als de media-aandacht van dit artikel lijken me een sterk staaltje marketing. Want James Crook zet gewoon enkele dingen op een rijtje die iedere weekendsudokuliefhebber al lang uit zichzelf doet. De sleutelrol in zijn methode zijn zogenaamde “preemptive sets”. Dit zijn k vakjes in eenzelfde vierkant, kolom of rij, waarin de enige mogelijke nog in te vullen cijfers samen ook juist k in aantal zijn.

Hiernaast zien we bijvoorbeeld een deelvierkant met twee ingevulde cijfers en met de openstaande mogelijkheden opgetekend in de andere vakjes. We zien hier een "preemptive set" gevormd door de vier vakjes (7,1), (7,2), (8,3), (9,3), omdat deze samen nog maar vier cijfers toelaten: 3, 4, 5, 9.

Gezond verstand leert ons dat deze 4 cijfers noodzakelijkerwijs over deze 4 vakjes verdeeld worden. Dus mogen we deze cijfers schrappen in de andere vakjes van dit deelvierkant: 

• Het boek van Peter Higgins, uitvinder van de cirkel-sudoku, besproken in onze boekenrubriek.
• Biological imaging by soft x-ray diffraction microscopy door Veit Elser en anderen. Verrassende invalshoek: om een deeltje kleiner dan de golflengte van het licht waar te nemen, kan je proberen verstrooide x-stralen opnieuw samen te stellen met behulp van Fouriersynthese. De ongekende faseverschuivingen worden ingevuld door het “difference-map”-algoritme van Elser. Nu blijkt per toeval dit algoritme ook geldig voor het oplossen van sudoku’s.
• Anything but square: from magic squares to Sudoku  door Hardeep Aiden. Dit artikel gaat vooral over tovervierkanten. Maar het behandelt ook de historiek van sudoku’s via o.a. Latijnse vierkanten en Euler’s probleem van de 36 officieren.
• Sudoku Squares and Chromatic Polynomials door Agnes M. Herzberg en M. Ram Murty (zie ook Sudoku en grafentheorie op kennislink). Met behulp van grafentheorie bekijken Herzberg en Murty enkele combinatorische vragen over sudoku’s. Hoeveel oplossingen zijn er bij een gegeven beginsituatie (een goede opgave mag maar 1 oplossing hebben). Hoeveel ingevulde sudoku’s zijn er eigenlijk, eventueel ook van andere afmetingen?
• Sudoku, gerechte designs, resolutions affine space, spreads, reguli and Hamming codes door R. A. Bailey, Peter J. Cameron and Robert Connelly. Leuk leesvoer is dit. Een “gerechte” is in 1956 bedacht door W.U. Behrens en is een veralgemening van een sudoku waarbij de deelvierkanten willekeurige gebieden mogen zijn. De auteurs behandelen ook toepassingen in de statistiek en het opstellen van lessenroosters. Maar hun grootste prestatie is het ontwerpen van mooie sudoku’s met bepaalde symmetrieën via Hamming codes en kwadratische regeloppervlakken over eindige lichamen. Geniet bijvoorbeeld van de "quasi-magische sudoko" hieronder, waarin elk van de negen deelvierkanten quasi-magisch is (rijsommen en kolomsommen zijn steeds dezelfde en gelijk aan 15).

Nu is het wachten op het volgende nieuwsfeit over sudoku’s.  Misschien bewijst iemand binnenkort dat een goede sudoku nooit minder dan 17 startwaarden kan hebben.

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (0)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

Taart op 14 maart 

In Amerikaanse scholen is het de traditie om op 14 maart pi-dag te vieren, maar in onze contreien passeert deze gebeurtenis geruisloos, een handvol in de woestijn roepende wiskundeleraars daargelaten. Er werden in het verleden nochtans pogingen ondernomen om ook in Nederland en België het pi-feest aan te zwengelen (kijk op kennislink of bij de wiskundemeisjes of zelfs het engagement van Manneke Pis). Natuurlijk hebben de Amerikanen een streepje voor door hun datumnotatie (3/14), en door het fonetische samenvallen van pi en taart.

Snelcursus pi 

Maar u vraagt zich misschien af waarom mensen zich zo druk maken over het getal pi. Wel, pi is bij iedere cirkel de verhouding van de omtrek tot de diameter, en cirkels spelen nu eenmaal een belangrijke rol in onze wereld (of tenminste in de wijze waarop wij de wereld begrijpen, maar dit verschil is me te subtiel). De beschavingen van de oudheid wisten al dat pi “een dikke drie” is (in de bijbel staat zelfs een ongenuanceerde drie), maar iedere poging om pi numeriek voor te stellen bleek nooit volledig exact te zijn. Bijvoorbeeld 22/7 is een bekende benadering (daarom dat 22 juli "pi-benaderingsdag" genoemd wordt, al moet gezegd dat 22/7 een betere benadering is dan 3,14). Paul Levrie maakte vorig jaar een coole pi-flyer met historische weetjes en slimme benaderingen (misschien een ideetje om op pi-dag je collega’s te verrassen; een Engelse vertaling is op eenvoudig verzoek verkrijgbaar).

In 1761 ontdekte Johann Heinrich Lambert dat pi irrationaal is, wat wil zeggen dat pi niet als een verhouding van natuurlijke getallen kan geschreven worden, alle pogingen zoals 22/7 of 355/113 ten spijt. Bovendien bewees Carl Louis Ferdinand von Lindemann in 1882 dat pi zelfs transcendent is, waaruit volgt dat pi evenmin met wortels kan uitgedrukt worden (in tegenstelling tot bijvoorbeeld de gulden snede (1+√5)/2 ). Deze resultaten verklaarden het “ongrijpbare karakter” van pi en de onmogelijkheid van de kwadratuur van de cirkel. Maar ze betekenden tegelijkertijd het begin van het eeuwigdurende spel om zoveel mogelijk cijfers na de komma te bepalen (zie onze bewuste flyer voor het huidige record). Dit vooral voor de sport neem ik aan, want we kennen pi al lang voldoende nauwkeurig voor iedere praktische toepassing (40 decimalen van pi volstaan ruimschoots om de omtrek van het gekende heelal te berekenen tot op atomaire nauwkeurigheid; extremer kan ik het niet bedenken). Wel is het zo dat deze meer dan een biljoen gevonden decimalen het vermoeden bevestigen dat pi een “normaalgetal” is. Dit wil zeggen dat ieder mogelijke cijfercombinatie, hoe lang ook, uiteindelijk aaneensluitend voorkomt in de rij van decimalen. Dit kan je uittesten op de pi-search-website. Daar kan je bijvoorbeeld zelf laten uitrekenen dat de geboortedatum van Evangeline Lilly als combinatie 03081979 op plaats 86 146 690 na de komma verschijnt in pi.

Meanderende rivieren 

Pi duikt op de meest onverwachte plaatsen op, in de natuur, in films en boeken, check internet zou ik zeggen. Als het gesprek stilvalt in de kroeg kan je bijvoorbeeld uitpakken met de lengte van lange rivieren. Onder wiskundigen circuleert (!) namelijk de anekdote dat de verhouding van een rivierlengte tot de afstand (in vogelvlucht) tussen bron en monding ongeveer pi bedraagt. Lees bijvoorbeeld dit krantenartikel. Deze verhouding wordt de “sinuosity” of de “meanderratio” genoemd. Bijvoorbeeld, de Schelde is 350km lang, en dus zou Saint-Quentin in vogelvlucht 350/pi dus ongeveer 111km van Vlissingen moeten liggen. Maar in werkelijkheid is dit eigenlijk ongeveer 180km.

Ik vroeg me af of het imago van pi als een constante meanderverhouding geen broodje aap was. Samen met collega Paul Levrie ging ik voor jullie op onderzoek in de donkere kelders met stoffige tijdschriftarchieven en kleverige googlewebben. We ontdekten dat de bottleneck van alle bronvermeldingen een paragraaf was in het boek van Simon Singh. Op zijn beurt baseerde deze auteur zich op een artikel uit 1999 van Hans-Henrik Stølum in Science. Nu blijkt wel na lezing van dit artikel dat Stølum nooit bedoeld heeft dat de meanderratio gelijk aan pi is, maar eerder het gemiddelde van de cumulatieve meanderverhoudingen beschouwd van het begin tot het einde van de rivier. Maar ja, de simplificatie van Singh bekte beter en werd dan ook gretig overgenomen door vele internetauteurs. Voor een serieuze wiskundige beschrijving verwijzen we naar de publicatie van H. von Schelling uit 1951. In een spraakmakend artikel in 1966 vonden L. Leopold en W. Langbein een handige benadering voor het model van von Schelling:

waarbij L de totale rivierlengte aanduidt, φ(l) de richting die de rivier uitgaat na een afstand l, en w de maximale hoek die een meander kan uitgaan. Opgelet, dit betekent niet de rivier zelf een sinusoïde volgt, maar wel een zogenaamd “sinusgegenereerd traject” (zie figuur).

Omdat de inverse meanderratio het gemiddelde is van alle cosinuswaarden van φ(l) over de gehele rivierlengte, bekwamen de auteurs een relatie tussen de meanderratio en w. Als je dan pi wil uitkomen voor de meanderratio, moet je uitgaan van een waarde van ongeveer 1,8rad voor w, wat zelden in de praktijk blijkt te kloppen. Wat een anticlimax, en dit op pidag!

Op het internet vonden we twee leesbare artikels over de resultaten van von Schelling en Leopold: uit de American Scientist en op FysicaPlus. In het laatste staat zelfs een tabel met de meanderverhoudingen van enkele Amerikaanse rivieren. De ratio 1,5 blijkt plausibeler dan pi!

In het bovenvermelde boek van Simon Singh wordt ook beweerd dat Albert Einstein vermoed had dat de meanderratio ongeveer pi is, maar ook hier hebben we geen andere bron gevonden die dit bevestigt. Wel is er een artikel van Einstein waar hij kort het meanderen van een rivier verklaart door helixturbulentie. Tegelijkertijd biedt Einstein aldus een argument voor de wet van Baer: in het noordelijke halfrond veroorzaken rivieren meer erosie aan de rechteroever terwijl het in het zuidelijke halfrond net omgekeerd is.

Maar we wijken af. Ik wens jullie nog een gelukkige pi-dag!  

Verder lezen

• A. Einstein, The cause of the formations of meanders in the courses of rivers and of the so-called Baer's Law, Die Naturwissenschaften, Vol. 14, 1926.
• T. Plachouri, π and river meandering .
• H. Von Schelling, Most Frequent Particle Paths in a Plane, Transactions American Geophysical Union 32, pp. 222-226, 1951.
• L.B. Leopold en W.B. Langbein, River Meanders, Scientific American 214, pp. 60-70, 1966.
• N. Movshovitz-Hadar en A. Shmukler, River meandering and a mathematical model of this phenomenon, PhysicaPlus 7.
• B. Hayes, Up a lazy river, American Scientist, december 2006.
• Onze even handige als onthullende pi-flyer ! (bedankt Paul)
  

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (3)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

In de eerste winkel ziet ze al direct een mooi paar. Maar uiteraard wil ze “nog wat verder kijken”. Ik zeg dat ze hier misschien nog spijt van krijgt, omdat het niet zeker is dat ze er nog mooier vindt. Ze weet dat ze me nooit zal kunnen overtuigen om straks in deze eindejaarsdrukte terug te keren naar een eerder bezochte winkel. Het bijbelse getal zeven volstaat om mijn liefde te bewijzen, herhalingen zouden overdreven zijn. Als ze me tot de laatste winkel meesleurt, zal ze daar haar schoenen moeten kopen.

De schoenen in de tweede winkel kunnen niet tippen aan die van de vorige winkel. Mijn vrouw is er niet meer gerust in. “Ik koop vanaf nu het eerste paar dat mooier is dan dat van de eerste winkel,” beslist ze.

Hieruit blijkt nogmaals hoe sterk de vrouwelijke intuïtie is als het over kanstheorie gaat.

Het secretaresseprobleem

De hierboven geschetste situatie is een voorbeeld van het secretaresseprobleem en is vooral bekend geworden door het artikel in Scientific American van Martin Gardner in februari 1960. Sindsdien verschijnen regelmatig uitbreidingen en varianten van dit probleem in statistische of wiskundige tijdschriften. Andere namen waaronder dit vraagstuk gepubliceerd werd: het googolspel, het huwelijksprobleem, het bruidschatprobleem van de sultan, of het taartenprobleem.

De uitdaging is om een optimale keuze te maken uit een (eindige) rij van mogelijkheden: het goedkoopste tankstation vóór de grens, de mooiste schoenen, de meest bekwame secretaresse, het lief dat het best bij u past,… Kenmerkend is telkens dat de mogelijkheden zich sequentieel aanbieden, dat iedere kandidaat kan geëvalueerd worden in vergelijking met de voorgaande, maar op een verzaakte keuze kan nooit teruggekomen worden.

Natuurlijk zijn we in deze situatie nooit helemaal zeker dat we de beste keuze gemaakt hebben, want om dit te weten, moeten we alle mogelijkheden beoordeeld hebben, en de twijfelaar die wacht tot de laatste kandidaat moet deze noodgedwongen kiezen. Maar we kunnen wel een strategie bepalen die de kans maximaliseert om de beste keuze te maken.

De optimale strategie

Stel dat we de beste uit n mogelijkheden moeten kiezen, dan is het altijd slim om de eerste r gewoon te bekijken en te laten passeren (0 ≤ r < n), en ons vanaf kandidaat r+1 voor te nemen om te kiezen voor de beste tot hiertoe. Als we pech hebben, bevindt de beste keuze zich in de eerste r gepasseerde mogelijkheden, en zullen we met deze strategie altijd doorgaan tot de laatste mogelijkheid (die we dan noodgedwongen selecteren).

De hamvraag is natuurlijk, hoe groot moet r zijn om de kans op het kiezen van de beste kandidaat te maximaliseren?

Met behulp van fundamentele kanstheorie rekenen we de kans P(n,r) uit dat we de beste keuze maken volgens bovenstaande strategie. We nemen aan dat de volgorde waarin we de kandidaten beoordelen willekeurig is. Het is geen slecht idee om eerst P(n,r,k) te berekenen, de kans op succes bij onze strategie op voorwaarde dat de beste kandidaat op de k-de plaats komt in de beschouwde rij (1 ≤ k ≤ n). Dan zien we:

                           P(n,r,k)=0 als k ≤ r

                           P(n,r,k)=1 als k = r+1

Bovendien, als k=r+2 dan missen we de optimale keuze enkel als de (r+1)-ste mogelijkheid beter is dan de eerste r mogelijkheden, dus

                           P(n,r,r+2) = r/(r+1)

Algemeen:

                           P(n,r,k)=r/(r+k-1) als  r < k ≤ n

Omdat de rangorde van deze optimale keuze willekeurig is, hebben we telkens een kans 1/n dat deze zich op plaats k bevindt, voor iedere k. We besluiten:

                           P(n,r) = 1/n [1 + r/(r+1) + r/(r+2) + … + r/(n-1)]

Merk op dat P(n,0)=P(n,n-1)=1/n, wat logisch is, want dan volgen we een strategie die ofwel altijd de eerste ofwel altijd de laatste mogelijkheid selecteert.

Als we nu terugkeren naar het verhaaltje van de schoenwinkels (n=7), dan vinden we de volgende succeskansen:

P(7,0) = 0,142857

P(7,1) = 0,35

P(7,2) = 0,414286

P(7,3) = 0,407143

P(7,4) = 0,352381

P(7,5) = 0,261905

P(7,6) = 0,142857

Omdat P(7,2) de grootste waarde geeft, is het inderdaad het slimste om in de eerste twee winkels enkel wat rond te kijken, en vanaf de derde winkel tot kopen over te gaan (als daar schoenen liggen die mooier zijn dan alle vorige kandidaten).

Het asymptotische gedrag

Stel in het voorgaande x = r/n, de fractie van de keuzemogelijkheden die we sowieso aan ons laten voorbijgaan. Als n nu voldoende groot is, dan kunnen we P(n,r) benaderen door

                           P(n,r) ≈ -x . ln(x)

welke maximaal wordt voor x = 1/e≈0.36788 (met e het getal van Euler). Bovendien is deze maximale kans dan ook gelijk aan 1/e.

Besluit: Als we dus de beste uit een lange rij van mogelijkheden willen kiezen, aangenomen dat we een niet geselecteerde kandidaat niet meer kunnen terugroepen, dan laten we best ongeveer 37% kandidaten passeren en kiezen vanaf dan de beste. We hebben dan ongeveer 37% kans dat we met deze strategie effectief de beste er hebben uitgepikt. Trouw dus niet met je eerste liefje, maar wacht ook niet te lang.

Varianten

Gilbert en Mosteller bestudeerden een versie van het secretaresseprobleem waarbij de kandidaten numeriek kunnen voorgesteld worden door een rij van getallen die onafhankelijk en uniform tussen 0 en 1 geselecteerd worden. In dit geval kan het grootste getal met een kans van ongeveer 58% gevonden worden (voor kleine waarden van n is de kans zelfs groter).

We kunnen ook streven om een zo goed mogelijke secretaresse uit de rij van kandidaten te pikken, zelfs al is het niet de beste. Hier veronderstellen we dat we een numerieke evaluatie voor de kandidaten ter beschikking hebben. In 2006 publiceerde Bearden een optimale strategie die gemiddeld de hoogste score haalt (opnieuw met de veronderstelling dat de waarden onafhankelijk en uniform uit [0,1] geselecteerd werden). Het blijkt dat we nu pas vanaf kandidaat √n de maximale waarde moeten selecteren, nadat we de voorgaande mogelijkheden hebben laten passeren.

Verder lezen

• Een goede plaats om te beginnen is "Who solved the secretary problem?" van Thomas S. Ferguson (Statistical Science 4(3), 282-296, 1989). Hij geeft een historisch overzicht van de verschillende versies van het probleem in de literatuur, en wie de oplossingen publiceerde. Hij citeert o.a. een vraagstuk uit 1875 van Arthur Cayley dat dicht aanleunt bij het secretaresseprobleem. Ferguson gaat zelfs nog verder terug in de tijd en merkt op dat de sterrenkundige J. Kepler voor zijn tweede huwelijk de optimale keuze maakte uit elf kandidaten, namelijk de vierde (Susanna Reuttinger).
  
• Martin Gardner maakte het probleem populair bij het "grote publiek" in 1960 in zijn Scientific American column van februari.
• De eerste geschreven bron die het secretaresseprobleem in onze versie formuleert (met tevens een vermelding van de optimale strategie) is een brief van Merril Flood in 1958.
  
• Een klassiek artikel in deze materie is "Recognizing the maximum of a sequence" van J. Gilbert en F. Mosteller (J. Amer. Statist. Assoc. 61, 35-73, 1966). Verschillende veralgemeningen en varianten van het probleem worden hier behandeld, o.a. wanneer de rij getallen uit een gekende verdeling komt.
• J. N. Bearden publiceerde vrij recent zijn oplossing in het geval het niet alleen om de beste keuze gaat maar om een zo goed mogelijke keuze: "A new secretary problem with rank-based selection and cardinal payoffs" (Journal of Mathematical Psychology 50, 58-59, 2006).
• Ondertussen heeft het secretaresseprobleem ook haar plaats gevonden binnen gebieden zoals "psychologische beslissingstheorie", "bestuurswetenschappen" of "gedragsmatig operationeel onderzoek". Zie bijvoorbeeld het werk van D. Seale en A. Rapoport.
• Tenslotte raden we u zeker Hoofdstuk 14 aan uit het boek "Impossible" van Julian Havil, dat volledig gewijd is aan het maken van de beste keuze (zie onze boekenrubriek).

Geschreven in Algemeen  Vaste link 

Reacties :
• (0)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

Gastbijdrage door Paul Levrie.

Een speciale editie voor Kerstmis. En een beetje geschiedenis kan dan geen kwaad.
Er zijn volgens mij maar twee bekende stellingen in de wiskunde die geassocieerd worden met Kerstmis. Beide stellingen horen thuis in de getaltheorie, de tak van de wiskunde die door Carl Friedrich Gauss de koningin van de wiskunde werd genoemd. De eerste is de Kerstmisstelling (Christmas Theorem) van Pierre de Fermat (1601-1665), zo genoemd omdat hij ze neerschreef in een brief gedateerd 25 december 1640. Fermat schreef:

Tout nombre premier, qui surpasse de l’unité un multiple du quaternaire est une seule fois la somme de deux carrés, et une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

De brief was gericht aan Marin Mersenne (1588-1648), een andere Franse wiskundige. Je ziet hen beiden hier:

Veel meer hierover kan je vinden op wikipedia.

De tweede stelling is de Kerstkousstelling (Christmas Stocking Theorem, ook wel bekend als de Hockey Stick Theorem). De naam heeft alles te maken met een structuur die we terugvinden in de bekende Driehoek van Pascal:

 

De som van de getallen in het been van de kous is gelijk aan het getal in de teen. Bijvoorbeeld: 1 6 21 56=84.
De stelling werd geformuleerd door Blaise Pascal (1623-1662) in zijn boek Traité du triangle arithmétique (1654, dus niet zoveel later dan die andere stelling). Pascal zelf schreef zijn driehoek een beetje anders:

 

Hij formuleerde de stelling zo:

Meer over wiskunde en Kerstmis vind je bijvoorbeeld hier.

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (5)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

Neem de proef op de som, bekijk of verzamel zelf een grote lijst met getallen. Bijvoorbeeld de maandsalarissen in uw gemeente of de aandeelkoersen op de beurspagina van uw krant. Natuurlijk, sommige van deze getallen beginnen met een 2, maar dat zullen er aanzienlijk minder zijn dan de getallen die met een 1 beginnen. Het begincijfer 3 blijkt nog zeldzamer, en uiteindelijk vormen de getallen die met een 9 beginnen een kleine minderheid.

Verfrommelde pagina's

Dit is verrassend omdat we van willekeurige getallen zouden verwachten dat de cijfers van 1 tot 9 evenveel kans hebben om als begincijfer op te treden. Al in 1881 observeerde Simon Newcomb dit fenomeen. Deze wiskundige astronoom ontleende een veelgebruikt boekje met logaritmetafels uit de universiteitsbibliotheek, en hij observeerde dat vooral de pagina’s met getallen met begincijfer 1 er verfrommeld uitzagen. Hij publiceerde zelfs een artikel waarin hij de volgende formule voorstelde:

waar "log" hier voor het logaritme met grondtal 10 staat.

De wet van Benford

In 1938 kwam de natuurkundige Frank Benford tot dezelfde bevinding, onbewust van de eerdere observatie door Newcomb. Het verschil was dat hij zich baseerde op meer dan twintigduizend getallen, willekeurig geplukt uit kranten en edities van Reader’s Digest. Sinds zijn publicatie refereert iedereen naar deze formule als “de wet van Benford”.

Als je de wet toepast op een grote lijst met getallen dan betekent dit voor de verschillende begincijfers de volgende fracties:

1 : 30,1%
2 : 17,6%
3 : 12,5%
4 : 9,7%
5 : 7,9%
6 : 6,7%
7 : 5,8%
8 : 5,1%
9 : 4,6%

Bovendien blijkt Benford’s wet “schaalinvariant” te zijn. De bovenstaande percentages blijven bijvoorbeeld geldig voor beursnoteringen ongeacht we euro’s, dollars of Zwitserse franken gebruiken.

Geschreven in Algemeen  Vaste link 

Reacties :
• (3)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel

Gastbijdrage door Paul Levrie.

Puzzels bestaan al eeuwenlang als tijdverdrijf. En de verscheidenheid in puzzels is erg groot. Hier zie je twee puzzels die elk uit twee identieke (?) stukken bestaan. Bij de eerste is het de bedoeling dat je er een piramide van maakt; de opgave bij de tweede is de twee stukken uit elkaar te halen.

Er zijn heel wat erg bekende puzzels, zoals de Tangram, een oude Chinese legpuzzel.

Hij bestaat uit 7 stukken, en je kan er allerlei figuren mee leggen. Een variant hiervan is de T-puzzel,  met vier stukken, waarmee je moet proberen een T te maken.

Hier zie je de 15-puzzel van Sam Loyd, maar dan in een 25-versie. Verwijder het ringetje en probeer dan door schuiven de blokjes op hun plaats de krijgen. In de originele versie van Sam Loyd was de oplossing onmogelijk, denk je dat het hier wel kan?

De kubus van Rubik hoort ook thuis in de categorie bekende puzzels.
Een aantal puzzels zijn gebaseerd op wiskundige principes, zo bijvoorbeeld ook de volgende twee:

De eerste is de bekende Chinese Ringen Puzzel, die al bestudeerd werd door de wiskundige Girolamo Cardano (1501-1576). De tweede is een moderne variant van dezelfde puzzel. Beide zijn verwant met de door Edouard Lucas (1842-1891) uitgevonden puzzel "De Torens van Hanoi", en kunnen opgelost worden m.b.v. Gray codes. F. Gray, een ingenieur bij Bell Labs, patenteerde deze zeer nuttige foutenverbeterende codes in 1953. Ze werden dus al veel vroeger gebruikt om puzzels op te lossen.

En zo zijn we van puzzels bij wiskunde beland. De twee zijn nauw met elkaar verbonden. Een aantal belangrijke wiskundigen hebben zich ook met puzzels beziggehouden. En er boeken over geschreven.

 

---

Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy, Winning ways for your mathematical plays, vols 1-4. AK Peters (2001-2004). Deze boeken bevatten alles wat je maar kan vinden over wiskundige spellen en puzzels. In vier delen. Niet altijd gemakkelijk te volgen, geschreven in een typische stijl, met leuke illustraties. Formuledichtheid: Θ Θ Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Θ Θ Θ Ο Ο Score: Θ Θ Θ Θ Ο

---

Maar heb je liever minder wiskunde en meer puzzels, dan kan ik het volgende boek aanraden:

---

J. Botermans en J. Slocum, Het ultieme puzzelboek. Uitgeverij Terra - Lannoo (2007) 144 pagina's. Dit prachtig uitgegeven boek bevat een schat aan informatie over een wereld aan puzzels. Je vindt er bijvoorbeeld de puzzels in terug waarover ik het hierboven had.  Jerry Slocum en Jack Botermans zijn specialisten in dit gebied. Het is trouwens niet hun eerste boek over dit onderwerp.  Van de prachtige puzzels vind je in dit boek naast een beschrijving ook de geschiedenis, vaak ook de oplossing en hoe je de puzzel zelf kan maken. Formuledichtheid: Ο Ο Ο Ο Ο Moeilijkheidsgraad: Ο Ο Ο Ο Ο Score: Θ Θ Θ Θ Ο

---

Nu we de beide disciplines met elkaar verbonden hebben, willen we het even hebben over de Internationale Francqui Leerstoel. Deze leerstoel is dit jaar toegekend aan iemand die werkt in het grensgebied tussen de wiskunde en de puzzelwetenschap, namelijk professor Erik Demaine. Recent schreef hij een boek Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra. Hij is ook een van de editors van het boek A lifetime of puzzles, geschreven voor de grote wiskundige puzzelaar Martin Gardner naar aanleiding van diens 90ste verjaardag. Erik Demaine gaf op 19 november aan de ULB zijn inaugurale rede met als titel Mathematics meets Art, Puzzles, and Magic: Fun with Algorithms.

Op een deel van de website van Demaine dat hij deelt met zijn vader de kunstenaar Martin Demaine vind je ook een aantal puzzels waaronder de volgende die gebaseerd is op een ontwerp van M. Uiematsu uit 2001.

 

Als je er op klikt dan krijg je een grote versie (of hier een pdf-bestand). Druk deze af, knip uit en probeer dan door vouwen (alle vouwen zijn toegelaten) het zo te regelen dat je een vierkant overhoudt van 2 op 2 waarbij zowel op de voor- als op de achterkant  het 'logo' vier keer in dezelfde richting wijst, dus zo:

Veel plezier ermee!

Geschreven in Actuele wiskunde  Vaste link 

Reacties :
• (0)
• Geef uw reactie!
• Print dit artikel